Диссертация (1151135), страница 5
Текст из файла (страница 5)
 ñëó÷àå ñòðàõîâàíèÿïîòåðè äîõîäîâ âñëåäñòâèå óòðàòû òðóäîñïîñîáíîñòè (Disability Insurane)òàêæå ïîòðåáóåòñÿ ìîäåëü ñ òðåìÿ ñîñòîÿíèÿìè (¾çàñòðàõîâàííîå ëèöî çäîðîâî¿, ¾çàñòðàõîâàííîå ëèöî áîëååò¿ è ¾çàñòðàõîâàííîå ëèöî óìåðëî¿), íîïåðåõîäîâ áóäåò óæå ÷åòûðå (äîïîëíèòåëüíûé âîçìîæíûé ïåðåõîä - èç âòîðîãî ñîñòîÿíèÿ â ïåðâîå).Ïðèâåäåì ìàòåìàòè÷åñêîå îïèñàíèå ìîäåëè ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì ñîñòîÿíèé. Îáîçíà÷èì êîíå÷íîå ìíîæåñòâî ñîñòîÿíèé êàêS = {1, 2, . .
. N }, N ∈ N,(3)à ìíîæåñòâî ïåðåõîäîâ ìåæäó íèìè êàêT ⊆ {(i,j)|i 6= j; i,j ∈ S}.(4) äàëüíåéøèõ ðàññóæäåíèÿõ áóäåì èñïîëüçîâàòü ìîäåëü ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì, ÷òî îáóñëîâëåíî âîçìîæíîñòüþ èçìåíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ çàñòðàõîâàííîãî ðèñêà â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äîãîâîðñòðàõîâàíèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â ìîìåíò âðåìåíè t = 0, è â ýòîò ìîìåíò ðèñêíàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè ñ íîìåðîì 1. Äàëåå, ñ òå÷åíèåì âðåìåíè, âîçìîæåí28ïåðåõîä çàñòðàõîâàííîãî ðèñêà èç ýòîãî ñîñòîÿíèÿ â äðóãîå, íî ìîìåíòâðåìåíè, â êîòîðûé îñóùåñòâèòñÿ òàêîé ïåðåõîä, è íîìåð íîâîãî ñîñòîÿíèÿ àïðèîðè íåèçâåñòíû.
Îáîçíà÷èì S(t) - ñëó÷àéíîå ñîñòîÿíèå, â êîòîðîìðèñê íàõîäèòñÿ â ìîìåíò âðåìåíè t. Òîãäà {S(t); t ≥ 0} - íåïðåðûâíûéñëó÷àéíûé ïðîöåññ, ïðèíèìàþùèé çíà÷åíèÿ â S . Äëÿ äàëüíåéøèõ öåëåéáóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ñëó÷àéíûé ïðîöåññ {S(t); t ≥ 0} ÿâëÿåòñÿ öåïüþÌàðêîâà ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì (ìàðêîâñêèì ïðîöåññîì). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî óñëîâíîå ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé áóäóùèõ ñîñòîÿíèé çàâèñèòòîëüêî îò íûíåøíåãî ñîñòîÿíèÿ, à íå îò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñîáûòèé, êîòîðûå ïðåäøåñòâîâàëè ýòîìó. Èíûìè ñëîâàìè, äëÿ ëþáîãî n, êàæäîãî íàáîðàìîìåíòîâ âðåìåíè 0 ≤ t0 < t1 < .
. . < tn < u è ñîîòâåòñòâóþùåãî íàáîðàñîñòîÿíèé i0 , i1 , . . . in , j ∈ S òàêèõ, ÷òîP r{S(t0 ) = i0 ∧ S(t1 ) = i1 ∧ . . . ∧ S(tn ) = in ∧ S(u) = j} > 0,(5)âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå:P r{S(u) = j|S(t0 ) = i0 ∧ S(t1 ) = i1 ∧ . . . ∧ S(tn) = in } == P r{S(u) = j|S(tn ) = in }. (6)Äëÿ ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà èç ñîñòîÿíèÿ i â ñîñòîÿíèå j îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèåì:Pij (t,u) = P r{S(u) = j|S(t) = i}.(7)Òîãäà ìîæíî îïðåäåëèòü èíòåíñèâíîñòè ïåðåõîäà µij (t), òî åñòü ¾ìãíîâåííûå¿ ïî âðåìåíè âåðîÿòíîñòè ñìåíû ñîñòîÿíèÿ i íà ñîñòîÿíèå j â ìîìåíòâðåìåíè t:Pij (t,u), u > t.u→t u − tµij (t) = lim(8)Äëÿ îïèñàíèÿ èíòåíñèâíîñòåé ïåðåõîäà â àêòóàðíîé ìàòåìàòèêå èñïîëüçóþò íåñêîëüêî àíàëèòè÷åñêèõ óíêöèé.
Íàïðèìåð, äëÿ èíòåíñèâíî-29ñòè ñìåðòíîñòè µx (t) ÷àùå âñåãî èñïîëüçóþò çàêîí îìïåðöà-Ìåéêåìà:µx (t) = A + BC x+t ,(9)ãäå A - ïàðàìåòð, îòâå÷àþùèé çà ñìåðòíîñòü îò ïðè÷èí, íå ñâÿçàííûõ ññîñòîÿíèåì çäîðîâüÿ è âîçðàñòîì, B - êîýèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè,êîòîðûé ñâÿçûâàåò èíòåíñèâíîñòü ñìåðòíîñòè ñ îñëàáëåíèåì æèçíåñïîñîá-íîñòè ÷åëîâåêà, C - ïàðàìåòð, õàðàêòåðèçóþùèé òåìï óìåíüøåíèÿ ñïîñîá-íîñòè ÷åëîâåêà ïðîòèâîñòîÿòü ðàçëè÷íûì íàðóøåíèÿì çäîðîâüÿ.
Ïåðâûéâàðèàíò ýòîãî çàêîíà (áåç ó÷åòà ñìåðòíîñòè îò íåñ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ) áûëïðåäëîæåí îìïåðöåì â 1825 ãîäó, à â 1867 Ìåéêåì ðàñøèðèë îðìóëó.Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî äàííàÿ îðìóëà õîðîøî ñîãëàñóåòñÿ ñ ïðàêòèêîé è îïè-ñûâàåò ðåàëüíóþ ñìåðòíîñòü äëÿ ëèö â âîçðàñòíîì èíòåðâàëå îò 25 äî 80ëåò.Èíòåíñèâíîñòè ïåðåõîäà â îáùåì ñëó÷àå ìîæíî îïèñûâàòü ñ ïîìîùüþïîäîáíûõ çàêîíîâ.
Îäíàêî ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî âû÷èñëåíèé ïàðàìåòðîâçàêîíà îìïåðöà-Ìåéêåìà äëÿ èíòåíñèâíîñòåé ïåðåõîäà â ìîäåëè ñ òðåìÿ ñîñòîÿíèÿìè è áîëåå íà îñíîâå ðîññèéñêîé ñòàòèñòèêè â ëèòåðàòóðå íåïðåäñòàâëåíî.Ìîäåëü ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì ñîñòîÿíèé ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ ðåøåíèÿ ðàçëè÷íûõ òåîðåòè÷åñêèõ è ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷ [19℄. Äëÿ êàæäîéèç íèõ èñïîëüçóåòñÿ îïðåäåëåííûé ÷èñëîâîé ïàðàìåòð, çíà÷åíèå êîòîðîãî óâÿçûâàåòñÿ ñ êîíêðåòíûì ñîñòîÿíèåì ñèñòåìû èëè åãî èçìåíåíèåì.Òàêèìè ïàðàìåòðàìè, â çàâèñèìîñòè îò öåëåé ïðèìåíåíèÿ ìîäåëè, ìîãóòáûòü, íàïðèìåð, âåðîÿòíîñòü íàõîæäåíèÿ çàñòðàõîâàííîãî ðèñêà â îïðåäåëåííîì ñîñòîÿíèè; ðàçìåð äåíåæíûõ ñðåäñòâ, êîòîðûå èìååò ñòðàõîâùèêïî çàñòðàõîâàííîìó ðèñêó â îïðåäåëåííîì ñîñòîÿíèè ñèñòåìû; ðàçìåð äåíåæíîãî ïîòîêà, âîçíèêàþùåãî ó ñòðàõîâùèêà, åñëè çàñòðàõîâàííûé ðèñêíàõîäèòñÿ â îïðåäåëåííîì ñîñòîÿíèè.
Îñòàíîâèìñÿ íà ïîñëåäíåì âàðèàíòå ÷èñëîâîãî ïàðàìåòðà äåíåæíîì ïîòîêå, îðìèðóåìîì èç ñòðàõîâûõ30âçíîñîâ è ñòðàõîâûõ âûïëàò, òàê êàê èìåííî åãî çíà÷åíèå äëÿ ëþáîãî èçñîñòîÿíèé çàñòðàõîâàííîãî ðèñêà èñïîëüçóåòñÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ðàçìåðàñòðàõîâîãî ðåçåðâà, ÿâëÿþùåãîñÿ îñíîâíûì èíàíñîâûì èñòî÷íèêîì âûïîëíåíèÿ ñòðàõîâîé îðãàíèçàöèåé ñâîèõ îáÿçàòåëüñòâ ïî ñòðàõîâûì âûïëàòàì.Äëÿ ýòîãî â îïèñàííóþ âûøå ìîäåëü ââîäÿòñÿ äåíåæíûå ïîòîêè ñòðàõîâûõ ïðåìèé è âûïëàò [34℄, âîçíèêàþùèå ëèáî êîãäà çàñòðàõîâàííûé ðèñêíàõîäèòñÿ â îïðåäåëåííîì ñîñòîÿíèè (íàïðèìåð, óïëà÷èâàþòñÿ ñòðàõîâûåâçíîñû â òå÷åíèå îãîâîðåííîãî â äîãîâîðå ñðîêà ïðè óñëîâèè, ÷òî çàñòðàõîâàííîå ëèöî æèâî), ëèáî â ìîìåíò, êîãäà ïðîèñõîäèò ñìåíà ñîñòîÿíèÿ (íàïðèìåð, ïðîèçâîäèòñÿ âûïëàòà ñòðàõîâîãî îáåñïå÷åíèÿ ïî äîãîâîðó ñòðàõîâàíèÿ æèçíè â ìîìåíò ñìåðòè çàñòðàõîâàííîãî ëèöà).
 çàâèñèìîñòèîò ñïåöèèêè êîíêðåòíîãî äîãîâîðà ñòðàõîâàíèÿ îïèñûâàåìûé äåíåæíûéïîòîê ìîæåò ñîñòîÿòü èç ðàçíûõ êîìïîíåíò.  îáùåì ñëó÷àå ïðè èñïîëüçîâàíèè ìîäåëè ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì îí ìîæåò ñîäåðæàòü ñëåäóþùèåêîìïîíåíòû:• ïðåìèþ, íåïðåðûâíî óïëà÷èâàåìóþ ñ èíòåíñèâíîñòüþ pi (t) ïîêà çàñòðàõîâàííûé ðèñê íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè ñ íîìåðîì i;• àííóèòåò, íåïðåðûâíî âûïëà÷èâàåìûé ñ èíòåíñèâíîñòüþ bi (t) ïîêàçàñòðàõîâàííûé ðèñê íàõîäèòñÿ â îïðåäåëåííîì ñîñòîÿíèè ñ íîìåðîìi;• ñòðàõîâóþ âûïëàòó â ðàçìåðå cij (t), ïðîèçâîäèìóþ ïðè ïåðåõîäå çàñòðàõîâàííîãî ðèñêà èç ñîñòîÿíèÿ ñ íîìåðîì i â ñîñòîÿíèå ñ íîìåðîìj;• ñòðàõîâóþ âûïëàòó â ðàçìåðå di (t∗), ïðîèçâîäèìóþ â ñëó÷àå, åñëèâ îãîâîðåííûé â äîãîâîðå ìîìåíò âðåìåíè t∗ çàñòðàõîâàííûé ðèñêáóäåò íàõîäèòüñÿ â ñîñòîÿíèè ñ íîìåðîì i.31Äëÿ êîíêðåòíîãî äîãîâîðà ñòðàõîâàíèÿ äåíåæíûé ïîòîê ìîæåò âêëþ÷àòü íåñêîëüêî êîìïîíåíò îäíîãî âèäà.
 òî æå âðåìÿ êîìïîíåíòû îïðåäåëåííîãî âèäà ìîãóò îòñóòñòâîâàòü (áûòü ðàâíûìè íóëþ).Ïî ýêîíîìè÷åñêîìó ñìûñëó ðàçìåð ñòðàõîâîãî ðåçåðâà ïî äîãîâîðó ñòðàõîâàíèÿ îòðàæàåò ðàçìåð íåâûïîëíåííûõ èëè íå èñïîëíåííûõ äî êîíöàîáÿçàòåëüñòâ ñòðàõîâùèêà ïî ñòðàõîâûì âûïëàòàì.  äîëãîñðî÷íîì ñòðàõîâàíèè ðåçåðâ â ìîìåíò âðåìåíè t îïðåäåëÿåòñÿ êàê ðàçíîñòü ìåæäó àêòóàðíîé ñòîèìîñòüþ áóäóùèõ âûïëàò è àêòóàðíîé ñòîèìîñòüþ áóäóùèõïîñòóïëåíèé ïðåìèè. Ïðåäñòàâëåííûå ìîäåëè äàþò âîçìîæíîñòü èõ âû÷èñëåíèÿ, òî åñòü äàþò âîçìîæíîñòü îïðåäåëåíèÿ ðàçìåðà ñòðàõîâîãî ðåçåðâà V̄i (t), êîòîðûé íåîáõîäèìî ñîðìèðîâàòü â ìîìåíò âðåìåíè t, åñëèçàñòðàõîâàííûé ðèñê íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè ñ íîìåðîì i.Îáîçíà÷èì èíòåíñèâíîñòü íà÷èñëåíèÿ ïðîöåíòà (èíòåíñèâíîñòü èçìåíåíèÿ ïðèðîñòà êàïèòàëà, îïðåäåëåííàÿ äëÿ êàæäîãî ìîìåíòà âðåìåíè)−êàê δ , à ñîîòâåòñòâóþùèé åé êîýèöèåíò äèñêîíòèðîâàíèÿ v = eR10δ(s)ds.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñðîê äåéñòâèÿ äîãîâîðà ñòðàõîâàíèÿ ðàâåí n.
Òîãäà âìîìåíò âðåìåíè t, åñëè S(t) = i, àêòóàðíàÿ ñòîèìîñòü áóäóùèõ ïðåìèéáóäåò ðàâíà [34℄:Pi (t,n) =ZntXPij (t,s)pj (s) ds,v s−t (10)j∈Sà áóäóùèõ âûïëàòZnXPij (t,s)bj (s) ds+Bi(t,n) = v s−t j∈St+Zntv s−t XXj∈S k:k6=jPij (t,s)µjk (s)cjk (s) ds+XXv k−t Pij (t,k)dj (k). (11)+k:k≥tj∈S32Åñëè â ìîìåíò âðåìåíè t ðèñê íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè i, òî åñòü S(t) = i,ðåçåðâ V̄i (t) â ýòîò ìîìåíò âðåìåíè áóäåò ðàâåíV̄i (t) = Bi(t,n) − Pi (t,n).(12)Â ñèëó îáÿçàòåëüíîñòè ñîáëþäåíèÿ ïðèíöèïà ýêâèâàëåíòíîñòè, â ñîîòâåòñòâèè ñ êîòîðûì ñîáðàííûå â âèäå ïðåìèé äåíåæíûå ñðåäñòâà äîëæíûáûòü èñïîëüçîâàíû íà ñòðàõîâûå âûïëàòû, âåðíî ñîîòíîøåíèå V̄1 (0) = 0.Êðîìå òîãî, çàìåòèì, ÷òî ðåçåðâ V̄i (t) îïðåäåëåí òîëüêî äëÿ òåõ ñîñòîÿíèé i, â êîòîðûõ ðèñê ìîæåò íàõîäèòñÿ â ìîìåíò âðåìåíè t.
 ÷àñòíîñòè,çíà÷åíèå V̄i (t) íå îïðåäåëåíî ïðè t = 0 äëÿ ëþáîãî íîìåðà i 6= 1.Èçìåíåíèå ðåçåðâà V̄i (t) îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèÿìè ñëåäóþùèõ êîìïî-íåíò:• èíâåñòèöèîííîãî äîõîäà îò ðàçìåùåíèÿ ñðåäñòâ ðåçåðâà ñ èíòåíñèâíîñòüþ íà÷èñëåíèÿ ïðîöåíòà δ ;• ïîñòóïëåíèÿ ïðåìèé èíòåíñèâíîñòüþ pi (t);• ïðîâåäåíèÿ âûïëàò àííóèòåòà ñ èíòåíñèâíîñòüþ bi (t);• ïðîâåäåíèÿ âûïëàò â ðàçìåðå cij (t);• ïåðåðàñïðåäåëåíèÿ ñðåäñòâ ðåçåðâà ïðè ñìåíå çàñòðàõîâàííûì ðèñêîìåãî ñîñòîÿíèÿ.Ïîñëåäíèå äâå êîìïîíåíòû ïðèñóòñòâóþò òîëüêî â ìîìåíò ñìåíû çàñòðàõîâàííûì ðèñêîì ñîñòîÿíèÿ è äîëæíû ó÷èòûâàòü âåðîÿòíîñòíûé õàðàêòåð òàêîãî ïåðåõîäà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
