Диссертация (1151135), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Ýòî äåëàåò óíêöèè Dδ (t) âàæíûìè äëÿ èíàíñîâîãî ìåíåäæìåíòà, òàê êàê èìåííî íà îñíîâå èõ àíàëèçà ìîæíî ïðèíèìàòüóïðàâëåí÷åñêèå ðåøåíèÿ, ñâÿçàííûå ñ èçìåíåíèÿìè äåíåæíûõ ïîòîêîâ. ðàññìîòðåííûõ ðàíåå ïðèìåðàõ δ0 = 0,07, δ1 = 0,08, ïîýòîìó ïðèïîñòðîåíèè áóäåì óíêöèé Dδ (t) èñïîëüçîâàòü çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà δ , ðàâíûå 0,07; 0,075; 0,08. Íà ðèñ. 8 ïðåäñòàâëåíû ãðàèêè D0,07 (t), D0,075(t),D0,08(t) äëÿ n = 10.Òî÷êå èçëîìà ãðàèêîâ ñîîòâåòñòâóåò ìîìåíò âðåìåíè, ïðè êîòîðîìïðîèñõîäèò èçìåíåíèå çíà÷åíèÿ êóñî÷íî-ïîñòîÿííîãî ïàðàìåòðà δ (â ýòîìïðèìåðå t0 = 6,114814).Êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü, â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè çíà÷åíèå ðåçåðâà(17) ïðè ìåíüøåì çíà÷åíèè δ îêàçûâàåòñÿ áîëüøå.

Êðîìå òîãî, âèäíî, ÷òîâ êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè ðåçåðâ (17) ïðè δ = 0,07 è δ = 0,075 áîëüøå, ÷åìðåçåðâ äëÿ êóñî÷íî-ïîñòîÿííîé δ . Îäíàêî, ïðè δ = 0,08 ýòî ñîîòíîøåíèåíå âûïîëíåíî â ïåðâîé ÷àñòè ñðîêà äåéñòâèÿ äîãîâîðà ñòðàõîâàíèÿ.Âû÷èñëèì íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà δ (îáîçíà÷èì åãî δmin ), ïðèêîòîðîì ðåçåðâ (17) áóäåò íå áîëüøå ðåçåðâà (34) â íà÷àëå ñðîêà ñòðàõîâà-51Dδ(t)tD0,08(t)D0,075(t)D0,07(t)èñ.

8: ðàèêè ðàçíîñòè ðåçåðâîâ äëÿ n = 10íèÿ. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî íàéòè òàêîå çíà÷åíèå èíòåíñèâíîñòè íà÷èñëåíèÿïðîöåíòà, ïðè êîòîðîì ïåðâàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïî âðåìåíè ðàçíîñòè ðåçåðâîâáóäåò ðàâíà 0 â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè. Äàííîå óñëîâèå îçíà÷àåò, ÷òîêðèâàÿ, îïèñûâàþùàÿ ðàçíîñòü ðåçåðâîâ íå âîçðàñòàåò â íà÷àëå ñðîêà ñòðàõîâàíèÿ. Îáîçíà÷èì V̄1 (t)cl ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (14), V̄1 (t)pw ðåøåíèåóðàâíåíèÿ (29), òîãäà òðåáóåìîå çíà÷åíèå δ íàõîäèòñÿ èç óðàâíåíèÿ:V̄1 (t)cl ′ Ïîäñòàâèì âûðàæåíèÿ äëÿt=0− V̄1 (t)V̄1 (t)cl ′ t=0pw ′ èt=0(38)= 0.V̄1(t)pw ′ t=0, ïîëó÷åííûå èç52óðàâíåíèé (14) è (29) ñîîòâåòñòâåííî.

Òîãäà ïîëó÷èì óðàâíåíèå:p1 (0)cl = p1 (0)pw ,ãäå p1 (0)pw íåòòî-ïðåìèÿ â ìîìåíò çàêëþ÷åíèÿ äîãîâîðà â ñëó÷àå êóñî÷íîïîñòîÿííîé çàâèñèìîñòè èíòåíñèâíîñòè íà÷èñëåíèÿ ïðîöåíòà îò ðàçìåðàðåçåðâà, à p1 (0)cl - íåòòî-ïðåìèÿ â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè, ïîñòðîåííàÿ ïðè èñêîìîì δmin â ñëó÷àå íåçàâèñèìîñòè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íåòòîïðåìèÿ ïîñòîÿííà â òå÷åíèè âñåãî ñðîêà ñòðàõîâàíèÿ (â ðàññìàòðèâàåìîìpwïðèìåðå p1 = 0,072615). Ïîäñòàâèâ âûðàæåíèå äëÿ pcl1 , ïîëó÷èì:d1(n) +ppw1=RnRn(δmin +µx (s))dsc12(τ )µx (τ )eτ0Rn0Rn(δmin +µx (s))dseτdτ.(39)dτ îáùåì âèäå ðåøåíèå äàííîãî óðàâíåíèÿ íå ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî.

Îäíàêî, ñ ïîìîùüþ ïðèáëèæåííûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ìîæíî íàéòèòðåáóåìîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà δmin. ðàññìàòðèâàåìîì ïðèìåðåδmin = 0,075866.Ïðè δ > δmin â íà÷àëå ñðîêà äåéñòâèÿ äîãîâîðà ñòðàõîâàíèÿ ðåçåðâ (17)áóäåò ìåíüøå ðåçåðâà (34). Ñ ðîñòîì ïàðàìåòðà δ ñðîê, â òå÷åíèå êîòîðîãî âûïîëíåíî ýòî ñîîòíîøåíèå ìåæäó ðàçìåðàìè ðåçåðâîâ, áóäåò óâåëè÷èâàòüñÿ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðè ñòàâêàõ, ïðåâûøàþùèõ óêàçàííûé ïîðîã,ðàñ÷¼òû ðåçåðâà íà îñíîâå òðàäèöèîííîé îðìóëû ïðèâåäóò â íà÷àëå ñðîêà ñòðàõîâàíèÿ, êîãäà ðåçåðâ è òàê íåâåëèê, ê åãî íåäîñòàòî÷íîé âåëè÷èíå,÷òî ìîæåò ïðèâåñòè ê íåäîîöåíêå îáÿçàòåëüñòâ ñòðàõîâùèêà è ïîâûøåíèþåãî ïîòðåáíîñòè â êàïèòàëå. Ïðåäëàãàåìûé ìåòîä, ïîâûøàþùèé òî÷íîñòüðàñ÷¼òîâ, ïîçâîëÿåò ðåøèòü ýòó ïðîáëåìó.Íà ðèñ.

9 ïðåäñòàâëåíû ãðàèêè ðàçíîñòåé ðåçåðâîâ D0,07 (t), D0,075(t),D0,08(t) äëÿ n = 25.53Dδ(t)tD0,07(t)D0,075(t)D0,08(t)èñ. 9: ðàèêè ðàçíîñòè ðåçåðâîâ äëÿ n = 25 òå÷åíèå âñåãî ñðîêà ñòðàõîâàíèÿ ðåçåðâ, ïîñòðîåííûé äëÿ ñëó÷àÿ ïðîñòîÿííîé èíòåíñèâíîñòè íà÷èñëåíèÿ ïðîöåíòà, ðàâíîé 0,07, áîëüøå ðåçåðâà, ïîñòðîåííîãî äëÿ ñëó÷àÿ êóñî÷íî-ïîñòîÿííîé çàâèñèìîñòè. Îäíàêî ïðèδ = 0,075 ýòî ñîîòíîøåíèå âûïîëíåíî íå âñåãäà. åøàÿ óðàâíåíèå (38),íàõîäèì δmin = 0,073574 ïðè n = 25.Çàìåòèì, ÷òî ñ ðîñòîì ñðîêà ñòðàõîâàíèÿ çíà÷àíèå δmin áóäåò óìåíüøàòüñÿ. Îáúÿñíåíèå ýòîìó íàáëþäåíèþ ñëåäóþùåå.

Ïðè áîëüøåì ñðîêåñòðàõîâàíèÿ ñêîðîñòü ðîñòà ðåçåðâà ìåíüøå, è, êàê ñëåäñòâèå, ìåíüøå ñêîðîñòü ðîñòà èíòåíñèâíîñòè íà÷èñëåíèÿ ïðîöåíòà âî âðåìåíè.542.3Ìîäåëü ðåçåðâà, ó÷èòûâàþùàÿ êóñî÷íî-ïîñòîÿííóþçàâèñèìîñòü èíòåíñèâíîñòè íà÷èñëåíèÿ ïðîöåíòàîò ðàçìåðà ñîâîêóïíîãî ðåçåðâàÍåñìîòðÿ íà òî, ÷òî çàêîíîäàòåëüñòâîì ïðåäïèñûâàåòñÿ ðàñ÷åò ðåçåðâàîòäåëüíî ïî êàæäîìó äîãîâîðó ñòðàõîâàíèÿ [4℄, èíâåñòèðóåòñÿ ÷àùå âñåãîñîâîêóïíûé ðåçåðâ, ñîðìèðîâàííûé äëÿ íåêîòîðîãî ïîðòåëÿ (íàáîðà)äîãîâîðîâ.

Òàêèì îáðàçîì, íà ïðàêòèêå ÷àùå âñåãî âîçíèêàåò çàâèñèìîñòüèíòåíñèâíîñòè íà÷èñëåíèÿ ïðîöåíòà íå îò ðàçìåðà ðåçåðâà ïî êàæäîìó äîãîâîðó, à îò ñîâîêóïíîãî ðåçåðâà ïî âñåìó ïîðòåëþ. Äëÿ ðåøåíèÿ ýòîéçàäà÷è íåîáõîäèìî ðàññìîòðåíèå âñåãî íàáîðà êàê åäèíîãî öåëîãî [21℄. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû âïåðâûå áûëè îïóáëèêîâàíû àâòîðîì â ðàáîòå [20℄.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî øêàëà ïðîöåíòíûõ ñòàâîê çàäàåòñÿ íå óðîâíÿìè ðåçåðâà ïî îòäåëüíûì äîãîâîðàì ñòðàõîâàíèÿ, à ñîâîêóïíûì ðåçåðâîì ïîâñåìó ïîðòåëþ äîãîâîðîâ.  äàííîì ñëó÷àå ïîä ïîðòåëåì äîãîâîðîâ ïîíèìàåòñÿ ñîâîêóïíîñòü îòäåëüíûõ äîãîâîðîâ ñòðàõîâàíèÿ æèçíè, ïðè ýòîìîíè ìîãóò ðàçëè÷àòüñÿ ïî íåêîòîðûì ïàðàìåòðàì (íàïðèìåð, ñðîêó äåéñòâèÿ äîãîâîðà, âîçðàñòó çàñòðàõîâàííîãî, ñòðàõîâûì ñóììàì è ò.ä.). ýòîì ñëó÷àå â ìîäåëü ââîäèòñÿ ïðåäïîëîæåíèå î çàâèñèìîñòè èíòåíñèâíîñòè íà÷èñëåíèÿ ïðîöåíòà íå îò ðàçìåðà ðåçåðâà ïî êàæäîìó äîãîâîðó,à îò ñîâîêóïíîãî ðåçåðâà ïî âñåìó ïîðòåëþ.

àññìîòðèì ñëó÷àé êóñî÷íîïîñòîÿííîé çàâèñèìîñòè òàêîãî òèïà ñ îäíèì ðàçðûâîì. Èíûìè ñëîâàìèóíêöèÿ èíòåíñèâíîñòè íà÷èñëåíèÿ ïðîöåíòà çàäàåòñÿ ñîîòíîøåíèåìδ0 , V̄ (t) < V0 ,δ(V̄ (t)) =(40)δ1 , V̄ (t) > V0 ,ãäå V̄ (t) =mPi=1V̄1i (t) ñîâîêóïíûé ðåçåðâ ïî ïîðòåëþ èç m äîãîâîðîâ,V̄1i (t) ðàçìåð ðåçåðâà â ìîìåíò âðåìåíè t, ñîðìèðîâàííîãî ïî äîãîâîðóñ íîìåðîì i, V0 > 0 êðèòè÷åñêèé óðîâåíü ðåçåðâà, 0 < δ0 < δ1 .55Òîãäà èçìåíåíèå ðåçåðâà, ñîðìèðîâàííîãî äëÿ äîãîâîðà ñ íîìåðîì i,îïèñûâàåòñÿ äèåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì Òèëå ñ îïðåäåëåííîé âûøåèíòåíñèâíîñòüþ íà÷èñëåíèÿ ïðîöåíòà:dV̄1i (t)= pi1(t) + δ(V̄ (t)) · V̄1i (t) + µixi (t)V̄1i (t) − ci12 (t)µixi (t),dt(41)ãäå i = 1 .

. . m.Ôîðìóëû äëÿ ðàñ÷åòà âåëè÷èíû ðåçåðâà (êàê ñîâîêóïíîãî, òàê è ïîêàæäîìó îòäåëüíîìó äîãîâîðó) â ýòîì ñëó÷àå áóäóò ïîäîáíû ïðèâåäåííûìâûøå äëÿ ñëó÷àÿ îäíîãî äîãîâîðà ñòðàõîâàíèÿ. Òàê, îðìóëà äëÿ êàæäîãîîòäåëüíîãî äîãîâîðà ñòðàõîâàíèÿ áóäåò èìåòü âèäRttR(δ0 +µixi (s))dsiiiτdτ,p1 (τ ) − c12 (τ )µxi (τ ) e0Rt(δ1 +µixi (τ ))dτiit0+V̄1 (t) = V̄1 (t0 )eRtZt,(δ1 +µixi (s))dsiiidτp1 (τ ) − c12 (τ )µxi (τ ) eτ+t 6 t0 ,(42)t > t0 ,t0ãäå ìîìåíò âðåìåíè t0 è ïðåìèè pi1 ìîæíî íàéòè, ðåøèâ ñ èñïîëüçîâàíèåì÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ñèñòåìó óðàâíåíèé mP iV̄1 (t0 ) = V0i=1(43)V̄1i (n) = di1(n).Ôîðìóëà ðàñ÷åòà ñîâîêóïíîãî ðåçåðâà ïîëó÷àåòñÿ ñóììèðîâàíèåì îðìóë äëÿ îòäåëüíûõ äîãîâîðîâ ñòðàõîâàíèÿ.åøåíèå çàäà÷è ó÷åòà êóñî÷íî-ïîñòîÿííîé çàâèñèìîñòè ïðîöåíòíîé ñòàâêè îò ðàçìåðà ñîâîêóïíîãî ðåçåðâà ïî âñåìó ïîðòåëþ äîãîâîðîâ ñ ïðîèçâîëüíûì ÷èñëîì ðàçðûâîâ ìîæåò áûòü ïîñòðîåíî àíàëîãè÷íûì îáðàçîì.àññìîòðèì äàëåå êîíêðåòíûé ïðèìåð.

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîðòåëü ñîñòîèò èç äâóõ äîãîâîðîâ ñìåøàííîãî ñòðàõîâàíèÿ æèçíè: ïåðâûé çàêëþ÷åíñ ëèöîì â âîçðàñòå 30 ëåò íà ñðîê n1 = 15 ëåò, âòîðîé ñ ëèöîì â âîçðàñòå5640 ëåò íà ñðîê n2 = 10 ëåò. Ïóñòü óêàçàííûå äîãîâîðà çàêàí÷èâàþòñÿ âîäèí ìîìåíò âðåìåíè. Ïîëîæèì, êàê è ðàíåå, ÷òî ïðåìèè pi1 (t) è âûïëàòûci12(t) ïîñòîÿííû â òå÷åíèè âñåãî ñðîêà äåéñòâèÿ äëÿ êàæäîãî äîãîâîðà,µixi (t) ïîä÷èíÿþòñÿ çàêîíó (27).

Ïóñòüδ0 = 0,07, δ1 = 0,08, ci12(t) = 1, di1(n) = 1, V0 = 0,5,A = 0,006062, B = 0,000215, C = 0,080334. ýòîì ñëó÷àå ïðåìèÿ äëÿ ïåðâîãî äîãîâîðà ðàâíà p11 = 0,042867 (íàåäèíèöó ñòðàõîâîé ñóììû), ïðåìèÿ äëÿ âòîðîãî äîãîâîðà p21 = 0,074872.Ìîìåíò âðåìåíè, â êîòîðûé ñîâîêóïíûé ðåçåðâ âïåðâûå äîñòèãàåò êðèòè÷åñêîãî óðîâíÿ, ðàâåí t = 5,603409 ëåò (ñ ìîìåíòà âñòóïëåíèÿ â ñèëóâòîðîãî äîãîâîðà ñòðàõîâàíèÿ). ðàèêè ðåçåðâà è åãî ïðîèçâîäíîé äëÿïåðâîãî äîãîâîðà ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 10, äëÿ âòîðîãî íà ðèñ.11.

ðà-1(V1(t))èê ñîâîêóïíîãî ðåçåðâà ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 12.1V1(t)ttðåçåðâïðîèçâîäíàÿèñ. 10: ðàèêè äëÿ ïåðâîãî äîãîâîðàÊàæäûé èç ïðèâåäåííûõ ãðàèêîâ èìååò èçëîì â òî÷êå t = 5,603409âî âðåìåííûõ åäèíèöàõ âòîðîãî äîãîâîðà, ñîîòâåòñòâóþùåé ìîìåíòó äîñòèæåíèÿ ñîâîêóïíûì ðåçåðâîì âåëè÷èíû â åäèíèöó ñòðàõîâîé ñóììû.2(V1(t))572V1(t)ttðåçåðâïðîèçâîäíàÿ12V1(t) + V1(t)èñ. 11: ðàèêè äëÿ âòîðîãî äîãîâîðàtèñ. 12: Ñîâîêóïíûé ðåçåðâ582.4Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü èíòåíñèâíîñòè íà÷èñëåíèÿïðîöåíòà îò ðàçìåðà ðåçåðâààññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé, êîãäà óíêöèÿ δ çàâèñèò îò ðàçìåðà ðåçåðâàëèíåéíî. Òî åñòüδ(V̄1 (t)) = k V̄1 (t) + l,(44)ãäå k , l íåêîòîðûå êîíñòàíòû, k 6= 0. Òàê êàê 0 V̄ = 0, òî â íà÷àëüíûéìîìåíò âðåìåíè δ = l.

Äàëåå, ïî ìåðå óâåëè÷åíèÿ ðàçìåðà íåòòî-ðåçåðâà,èíòåíñèâíîñòü íà÷èñëåíèÿ ïðîöåíòà òàêæå ðàñòåò è äîñòèãàåò çíà÷åíèÿl + kd1 (n) â êîíöå ñðîêà äîãîâîðà.Ïîäñòàâèì â óðàâíåíèå (14) âûðàæåíèå (44). ÒîãäàdV̄1(t)= p1 (t) + k V̄1 (t)2 + (l + µx (t)) V̄1 (t) − c12 (t)µx (t).dt(45)Óðàâíåíèå (45) ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì èêêàòè, êîòîðîå â îáùåì âèäåíåðàçðåøèìî â ýëåìåíòàðíûõ óíêöèÿõ [13℄, îäíàêî ïðè äîïîëíèòåëüíûõïðåäïîëîæåíèÿõ, êàñàþùèõñÿ âèäà óíêöèé p1 (t), c12 (t), µx (t), ðåøåíèåìîæåò áûòü ïîñòðîåíî.

Характеристики

Список файлов диссертации