Диссертация (1151135), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Òîãäà ñèñòåìà óðàâíåíèé Òèëå ïðèìåò âèä:dV̄(t)=δV̄(t)+p(t)−µ(t)c(t)+V̄(t)−V̄(t)−111121221dt−µ13 (t) c13(t) − V̄1(t)dV̄(t)=δV̄(t)−b(t)−µ(t)c(t)+V̄(t)−V̄(t)−222212112dt−µ23 (t) c23(t) − V̄2(t) .Èëè ïîñëå ïåðåãðóïïèðîâêè ñëàãàåìûõdV̄ (t) = (δ + µ12 (t) + µ13 (t)) V̄1 (t) − µ12 (t)V̄2(t)+dt 1+p (t) − µ (t)c (t) − µ (t)c (t)1ddt V̄2 (t)12121313= (δ + µ21 (t) + µ23 (t)) V̄2 (t) − µ21 (t)V̄1(t)−(67)(68)−b2 (t) − µ21 (t)c21(t) − µ23 (t)c23(t).Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïåðñïåêòèâíîé îðìû ðåçåðâà íåîáõîäèìî ðåøèòü ñèñòåìó (68) ñ ó÷åòîì òðåáîâàíèÿ î ðàâåíñòâå íóëþ ðåçåðâîâ â ìîìåíò îêîí÷àíèÿ äîãîâîðà V̄ (n) = 01. V̄2 (n) = 0(69)Äëÿ ýòîãî èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ìîæíî âûðàçèòü çíà÷åíèå V̄2 (t):d1(δ + µ12 (t) + µ13 (t)) V̄1 (t) − V̄1 (t)+V̄2 (t) =µ12 (t)dt+ p1(t) − µ12(t)c12(t) − µ13(t)c13(t) .

(70)Ïîëó÷åííîå ñîîòíîøåíèå íåîáõîäèìî ïðîäèåðåíöèðîâàòü ïî t è ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿddt V̄2 (t).Çàòåì ñëåäóåò ïîäñòàâèòü âî âòîðîå óðàâíåíèåñèñòåìû (68) ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ äëÿ V̄2 (t) èddt V̄2 (t).Òàêèì îáðàçîì áó-äåò ïîëó÷åíî ëèíåéíîå äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî V̄1 (t). Åãî ðåøåíèå ìîæåò áûòü ïîñòðîåíî â îáùåì ñëó÷àå, îíîáóäåò ñîäåðæàòü äâå ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå. Èõ çíà÷åíèå ìîæåò áûòüíàéäåíî èç òðåáîâàíèé î ðàâåíñòâå íóëþ ðåçåðâîâ â ìîìåíò îêîí÷àíèÿ äîãîâîðà.86Äëÿ íàõîæäåíèÿ îðìóëû äëÿ V̄2 (t) íåîáõîäèìî ïîëó÷åííîå âûðàæåíèåäëÿ V̄1 (t) ïðîäèåðåíöèðîâàòü, çàòåì ðåçóëüòàò è âûðàæåíèå äëÿ V̄1 (t)ïîäñòàâèòü â ñîîòíîøåíèå (70).Ïîëó÷àåìûå îðìóëû áóäóò äîñòàòî÷íî ãðîìîçäêèå ïðè ïðîèçâîëüíûõóíêöèÿõ èíòåíñèâíîñòåé ïåðåõîäà è âûïëàò.Äëÿ íàõîæäåíèÿ çíà÷åíèÿ ðàçìåðà íåòòî-ïðåìèè íåîáõîäèìî âîñïîëüçîâàòüñÿ ñîîòíîøåíèåì V̄1 (0) = 0, êîòîðîå íå ïîçâîëÿåò âûâåñòè îðìóëó äëÿ íàõîæäåíèÿ p1 (t) â îáùåì ñëó÷àå.

Îäíàêî äëÿ íåêîòîðûõ äàííûõìîæíî ïîñòðîèòü ÷èñëåííîå ðåøåíèå ñèñòåìû (68) è íàéòè çíà÷åíèå íåòòîïðåìèè ïðè óñëîâèè åãî ïîñòîÿíñòâà â òå÷åíèè âñåãî ñðîêà äåéñòâèÿ äîãîâîðà.Çàìåòèì òàêæå, ÷òî åñëè ïî óñëîâèÿì äîãîâîðà íå ïðåäóñìîòðåíû ðàçîâûå âûïëàòû, òî çíà÷åíèå ðåçåðâà, îðìèðóåìîãî ïîêà çàñòðàõîâàííîåëèöî òðóäîñïîñîáíî, áóäåò íåïîëîæèòåëüíûì, òàêæå êàê è â ñëó÷àå ðåçåðâà V̄1 (t) äëÿ äîãîâîðà ñòðàõîâàíèÿ íà ñëó÷àé ïîñòîÿííîé ïîëíîé ïîòåðèòðóäîñïîñîáíîñòè.Íàïðèìåð, ðàññìîòðèì äîãîâîð ñòðàõîâàíèÿ ïîòåðè äîõîäîâ âñëåäñòâèåóòðàòû òðóäîñïîñîáíîñòè, çàêëþ÷åííûé ñ ëèöîì â âîçðàñòå x = 40 ëåòíà ñðîê n = 10 ëåò. Ïóñòü ïî óñëîâèÿì äîãîâîðà â ñëó÷àå óòðàòû òðóäîñïîñîáíîñòè çàñòðàõîâàííîãî ëèöà ïðåäóñìîòðåíà âûïëàòà àííóèòåòà ñèíòåíñèâíîñòüþ b2 = 1, à ðàçîâûå âûïëàòû â ñëó÷àå ñìåðòè èëè áîëåçíè íå ïðîèçâîäÿòñÿ (òî åñòü c12 = c13 = c23 = 0).

Ïóñòü èíòåíñèâíîñòüíà÷èñëåíèÿ ïðîöåíòà δ = 0,07, à èíòåíñèâíîñòè ïåðåõîäîâ ðàâíû [34℄µ12 = 0,002136; µ13 = 0,004193; µ23 = 0,005020; µ21 = 0,005.Òîãäà, ïðîäåëàâ íåîáõîäèìûå âû÷èñëåíèÿ, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè óñëîâèè ïîñòîÿíñòâà ïðåìèè ïî òàêîìó äîãîâîðó îíà ñîñòàâèò p1 (t) = 0,009372.ðàèêè íåòòî-ðåçåðâîâ, êîòîðûå íåîáõîäèìî ñîðìèðîâàòü, â ñëó÷àååñëè çàñòðàõîâàííîå ëèöî çäîðîâî (V̄1 (t)) è åñëè çàñòðàõîâàííîå ëèöî óòðà-87òèëî òðóäîñïîñîáíîñòü (V̄2 (t)) ïðè ýòîì çíà÷åíèè ïðåìèè íà èíòåðâàëå âðåìåíè îò 0 äî 10 ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ.26 è ðèñ.27 ñîîòâåòñòâåííî.3.4åçåðâ ïî äîãîâîðó ñòðàõîâàíèÿ ïîòåðè äîõîäîââñëåäñòâèå âðåìåííîé óòðàòû òðóäîñïîñîáíîñòè âñëó÷àå êóñî÷íî-ïîñòîÿííîé çàâèñèìîñòèèíòåíñèâíîñòè íà÷èñëåíèÿ ïðîöåíòà îò ðàçìåðàèíâåñòèðóåìîãî êàïèòàëààññìîòðèì òåïåðü ÷àñòíûé ñëó÷àé äîãîâîðà ñòðàõîâàíèÿ íà ñëó÷àéâðåìåííîé íåòðóäîñïîñîáíîñòè, ïî êîòîðîìó ïðåäóñìîòðåíû ëèøü:• ïðåìèÿ, íåïðåðûâíî óïëà÷èâàåìàÿ ñ ïîñòîÿííîé èíòåíñèâíîñòü p1 ,ïîêà çàñòðàõîâàííîå ëèöî òðóäîñïîñîáíî;• âûïëàòà àííóèòåòà ñ ïîñòîÿííîé èíòåíñèâíîñòüþ b2 , ïðîèçâîäèìàÿ âñëó÷àå ïîòåðè òðóäîñïîñîáíîñòè.Òàêèå óñëîâèÿ íàèáîëåå ÷àñòî âñòðå÷àþòñÿ íà ïðàêòèêå.

Çàìåòèì, ÷òî âýòîì ñëó÷àå çíà÷åíèå ðåçåðâà, îðìèðóåìîãî äëÿ çäîðîâîãî çàñòðàõîâàííîãî ëèöà, áóäåò íåïîëîæèòåëüíî.Ïðåäïîëîæèì òàêæå, ÷òî èíòåíñèâíîñòè ïåðåõîäîâ áóäóò ïîñòîÿííûìè,òî åñòüµ12(t) = µ12 , µ13(t) = µ13 , µ21(t) = µ21, µ23(t) = µ23 .Òîãäà ñèñòåìà óðàâíåíèé Òèëå (68) ïðèìåò âèä: d V̄ (t) = (δ + µ + µ ) V̄ (t) − µ V̄ (t) + p1213112 21dt 1ddt V̄2 (t)= (δ + µ21 + µ23) V̄2 (t) − µ21 V̄1 (t) − b2.(71)Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èìååò ìåñòî êóñî÷íî-ïîñòîÿííàÿ çàâèñèìîñòü èíòåíñèâíîñòè íà÷èñëåíèÿ ïðîöåíòà îò ðàçìåðà èíâåñòèðóåìîãî êàïèòàëà.

Ïóñòü88tV1(t)èñ. 26: ðàèê ðåçåðâà V̄1 (t) ïðè n = 10V2(t)tèñ. 27: ðàèê ðåçåðâà V̄2 (t) ïðè n = 1089èìååò ìåñòî ïðîñòåéøèé ñëó÷àé òàêîé çàâèñèìîñòè ñ îäíèì ñêà÷êîì. Èíûìè ñëîâàìè, èíòåíñèâíîñòü íà÷èñëåíèÿ ïðîöåíòà èìååò âèä (56):δ0 , V̄i (t) < V0,δ(V̄i (t)) =δ1 , V̄i (t) > V0(72)ãäå V0 > 0 êðèòè÷åñêèé óðîâåíü ðåçåðâà, 0 < δ0 < δ1 .Òàê êàê V̄1 (t) 6 0 äëÿ ëþáîãî t, òî δ(V̄1 (t)) = δ0 .

Ôóíêöèÿ V̄2 (t) ÿâëÿåòñÿ óáûâàþùåé, ïîýòîìó â íà÷àëå ñðîêà ñòðàõîâàíèÿ δ(V̄2 (t)) = δ1 , çàòåìðåçåðâ V̄2 (t) äîñòèãàåò êðèòè÷åñêîé âåëè÷èíû V0 , è èíòåíñèâíîñòü íà÷èñëåíèÿ ïðîöåíòà ìåíÿåò ñâîå çíà÷åíèå δ(V̄2 (t)) = δ0 .Òîãäà ñèñòåìà (71) ñ ó÷åòîì âèäà óíêöèè δ èìååò âèä: d V̄ (t) = (δ + µ + µ ) V̄ (t) − µ V̄ (t) + p01213112 21dt 1 d V̄2 (t) = δ(V̄2 (t)) + µ21 + µ23 V̄2 (t) − µ21 V̄1 (t) − b2 .dt(73)Âûðàçèì èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ V̄2 (t):Òîãäà(δ0 + µ12 + µ13 ) V̄1 (t) + p1 −V̄2 (t) =µ12ddt V̄1 (t)(δ0 + µ12 + µ13 ) dtd V̄1 (t) −dV̄2 (t) =dtµ12d2dt2 V̄1 (t).(74).(75)Ïîäñòàâèâ âûðàæåíèÿ (74) è (75) âî âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (73)ïîëó÷èì ëèíåéíîå äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî V̄1 (t): dd2V̄(t)−δ+µ+µ+δ(V̄(t))+µ+µV̄1 (t)+10121322123dt2dt+ (δ0 + µ12 + µ13 ) δ(V̄2 (t)) + µ21 + µ23 − µ12µ21 V̄1 (t)++ p1 δ(V̄2 (t)) + µ21 + µ23 − b2 µ12 = 0.

(76)Îáîçíà÷èì t0 ìîìåíò âðåìåíè, â êîòîðûé çíà÷åíèå ðåçåðâà V̄2 (t) äî-ñòèãàåò êðèòè÷åñêîé âåëè÷èíû V0 . Òîãäà äëÿ t > t0 âåðíî δ(V̄2 (t)) = δ0 è90óðàâíåíèå (76) ïðèìåò âèä:d2dV̄1 (t) − (δ0 + µ12 + µ13 + δ0 + µ21 + µ23 ) V̄1 (t)+2dtdt+ ((δ0 + µ12 + µ13) (δ0 + µ21 + µ23) − µ12 µ21) V̄1 (t)++ p1 (δ0 + µ21 + µ23 ) − b2 µ12 = 0. (77)Òðåáîâàíèå î ðàâåíñòâå íóëþ ðåçåðâîâ â ìîìåíò îêîí÷àíèÿ äîãîâîðà ìîæåòáûòü ïðåîáðàçîâàíî ê âèäó:V̄1 (n) = 0 d V̄1 (t)= p1 .dtt=n(78)Òîãäà îðìóëà äëÿ ðàñ÷åòà ðåçåðâà V̄1 (t) ïðè t > t0 ìîæåò áûòü ïîñòðîåíàêàê ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (77) ñ ó÷åòîì ýòèõ òðåáîâàíèé. Ïîäñòàâèâ ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå â (74) ìîæíî ïîëó÷èòü îðìóëó äëÿ ðàñ÷åòà ðåçåðâà V̄2 (t)ïðè t > t0 .Äàëåå íåîáõîäèìî ðåøèòü óðàâíåíèå V̄2 (t0 ) = V0 è íàéòè ìîìåíò âðåìåíè, â êîòîðûé çíà÷åíèå ðåçåðâà V̄2 (t) äîñòèãàåò êðèòè÷åñêîé âåëè÷èíû.Äëÿ t 6 t0 óðàâíåíèå (76) ïðèìåò âèä:d2dV̄1 (t) − (δ0 + µ12 + µ13 + δ1 + µ21 + µ23 ) V̄1 (t)+2dtdt+ ((δ0 + µ12 + µ13) (δ2 + µ21 + µ23) − µ12 µ21) V̄1 (t)++ p1 (δ2 + µ21 + µ23 ) − b2 µ12 = 0.

(79)Ýòî ëèíåéíîå äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ åãî ðåøåíèÿ âîñïîëüçóåìñÿ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìèV̄1 (t0 ) = V̄1 (t)t=t0 +0. d V̄1 (t)= (δ0 + µ12 + µ13 ) V̄1 (t) t=t +0 + p1 − µ12 V0dtt=t0(80)0Òàêèì îáðàçîì, îðìóëà äëÿ ðàñ÷åòà ðåçåðâà V̄1 (t) ïðè t 6 t0 ìîæåò áûòüïîñòðîåíà. Àíàëîãè÷íàÿ îðìóëà äëÿ ðàñ÷åòà V̄2 (t) ïîëó÷àåòñÿ ïîñëå ïîäñòàíîâêè âûðàæåíèÿ äëÿ V̄1 (t) â ñîîòíîøåíèå (74).91Íàêîíåö, íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð èíòåíñèâíîñòè ïðåìèè p1 ìîæåò áûòüíàéäåí èñõîäÿ èç ïðèíöèïà ýêâèâàëåíòíîñòè, òî åñòü ñîîòíîøåíèÿ V̄1 (0) =0.Îòìåòèì, ÷òî ÿâíûå îðìóëû, îïèñûâàþùèå ðåçåðâû V̄1 (t) è V̄2 (t), áóäóò äîñòàòî÷íî ãðîìîçäêèå. Îäíàêî äëÿ êîíêðåòíûõ äàííûõ óêàçàííûåðåçåðâû ìîãóò áûòü âû÷èñëåíû.Íàïðèìåð, ðàññìîòðèì äîãîâîð ñòðàõîâàíèÿ ïîòåðè äîõîäîâ âñëåäñòâèåóòðàòû òðóäîñïîñîáíîñòè, çàêëþ÷åííûé ñ ëèöîì â âîçðàñòå x = 40 ëåò íàñðîê n = 10 ëåò.

Ïóñòü ïî óñëîâèÿì äîãîâîðà â ñëó÷àå óòðàòû òðóäîñïîñîáíîñòè çàñòðàõîâàííîãî ëèöà ïðåäóñìîòðåíà âûïëàòà àííóèòåòà ñ èíòåíñèâíîñòüþ b2 = 1. Ïóñòü èíòåíñèâíîñòü íà÷èñëåíèÿ ïðîöåíòà çàäàåòñÿñîîòíîøåíèåìδ(V̄i (t)) =0,06, V̄i (t) < 3,0,08, V̄i (t) > 3,à èíòåíñèâíîñòè ïåðåõîäîâ ðàâíû [34℄µ12 = 0,002136; µ13 = 0,004193; µ23 = 0,005020; µ21 = 0,005.Òîãäà, ïðîäåëàâ íåîáõîäèìûå âû÷èñëåíèÿ, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðåìèÿïî òàêîìó äîãîâîðó áóäåò ðàâíà p1 = 0,008968.

Âåëè÷èíà ðåçåðâà V̄2 (t)äîñòèãíåò êðèòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ â ìîìåíò âðåìåíè t0 = 6,632211.ðàèêè íåòòî-ðåçåðâîâ, êîòîðûå íåîáõîäèìî ñîðìèðîâàòü, â ñëó÷àååñëè çàñòðàõîâàííîå ëèöî òðóäîñïîñîáíî (V̄1 (t)) è åñëè çàñòðàõîâàííîå ëèöîóòðàòèëî òðóäîñïîñîáíîñòü (V̄2 (t)) ïðè ýòîì çíà÷åíèè ïðåìèè íà èíòåðâàëåâðåìåíè îò 0 äî 10 ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ.28 è ðèñ.29 ñîîòâåòñòâåííî.Ñðàâíèì êëàññè÷åñêèé ðåçåðâ, ïîñòðîåííûé äëÿ ïîñòîÿííîé óíêöèèèíòåíñèâíîñòè íà÷èñëåíèÿ ïðîöåíòà, è ðåçåðâ, ïîñòðîåííûé äëÿ ñëó÷àÿêóñî÷íî-ïîñòîÿííîé çàâèñèìîñòè óíêöèè δ îò ðàçìåðà ðåçåðâà. Äëÿ ýòîãîïîñòðîèì ãðàèêè óíêöèé Dδ1 (t) è Dδ2 (t), êîòîðûå îïðåäåëèì êàê ðàçíîñòè ñîîòâåòñòâóþùåé óíêöèé ðåçåðâà, ïîñòðîåííîãî áåç ó÷åòà èçó÷àå-92tV1(t)èñ.

28: ðàèê ðåçåðâà V̄1 (t) ïðè n = 10V2(t)tèñ. 29: ðàèê ðåçåðâà V̄2 (t) ïðè n = 1093ìîé çàâèñèìîñòè äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé ïîñòîÿííîé èíòåíñèâíîñòè íà÷èñëåíèÿ ïðîöåíòà δ , è ñîîòâåòñòâóþùåé óíêöèè ðåçåðâà, ïîñòðîåííîãîïðè óñëîâèè êóñî÷íî-ïîñòîÿííîé çàâèñèìîñòè δ îò ðàçìåðà ðåçåðâà. Ïðèïîñòðîåíèè áóäåì èñïîëüçîâàòü çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà δ , ðàâíûå 0,06; 0,07;0,08. Ôóíêöèè Dδ1 (t) è Dδ2 (t) ïîçâîëÿþò îöåíèòü èçìåíåíèÿ, êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ ïðè äîáàâëåíèè â ìîäåëü ðåçåðâà êóñî÷íî-ïîñòîÿííîé çàâèñèìîñòèèíòåíñèâíîñòè íà÷èñëåíèÿ ïðîöåíòà îò åãî ðàçìåðà.

Характеристики

Список файлов диссертации