Диссертация (1150804), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

3.9b, вертикальная составляющая F0 cos α1при перемещении платформы вверх в положение A1 больше вертикальной составляющей F0 cos α0 при нахождении платформы в положении статическогоравновесия A0 . Более того, когда малые колебания платформы станут таки-64Рис. 3.8: Неустойчивость положения равновесия платформы Стюарта.Рис. 3.9: a) Возбуждение увода платформы при равновесии. b) Увод платформы при равновесии.65ми, что нижнее положение платформы станет выше точки A0 , тогда начнетсяинтенсивный увод платформы вверх.3.5.Устойчивость положения равновесияПусть в системе реализуется стационарный режим:q3 = h, q1 = q2 = q4 = q5 = q6 = 0.(3.26)Решая уравнения Лагранжа (3.1), определим стационарные значения силFk∗ , обеспечивающих это состояние равновесия:√MgRb2 − Rb Ra + Ra2 + h21∗Fi =, i = 1, 6.6h(3.27)Значения этих сил неограниченно возрастают при h → 0, что полностьюсоответствует физическому смыслу задачи.Рассмотрим пример.

Исследуем поведение системы при малом отклоненииот положения равновесия (3.26). Зададим параметры системыM = 100(кг),Rb = 1(м),M Rb2Jξ = Jη == 25(кг м2 ),4Ra = 2(м),M Rb2Jζ == 50(кг м2 ).2(3.28)Зададим начальные условия. Пусть при t = 0:q1 = q2 = q4 = q5 = q6 = 0,q3 = h + 0.1,dqk= 0.dt(3.29)Решив систему дифференциальных уравнений (3.1) с начальными условиями (3.29), получим график для высоты центра платформы q3 , показанныйна рис. 3.10.Исследуем подробнее поведение системы в окрестности положения равновесия (3.26). Для этого введем малые приращения координат ∆qk , а также66Рис. 3.10: Неустойчивость положения равновесия.дополнительные малые управляющие силы ∆Fi . Тогда сможем записать:q3 = h + ∆q3 , qk = ∆qk , при k = 1, 2, 4, 5, 6; Fi = Fi∗ + ∆Fi .(3.30)Введем безразмерные управляющие силыuk =∆Fk,Fk∗k = 1, 6.(3.31)Теперь из уравнений Лагранжа (3.1) получим следующие уравнения первого приближения:q̈ = Hq + Gu.Здесь H и G – постоянные матрицы размера 6 × 6, u = (u1 , .

. . , u6 )T .Матрица H будет иметь следующий вид:(3.32)670 0 H3 0 H4 00 0 0 H5 0 00 ,0 H6 0 H7 00 H8 0 0 0 H9 0 0 0 0 0 0 H10()g 2 h2 + Ra 2 + Rb 2 − Rb Ra) ,H1 = 1/2 ( 2Rb − Rb Ra + Ra 2 + h2 hH=H1000H2gRb (−2 Rb + Ra ),Rb − Rb Ra + Ra 2 + h2()g 2 h2 + Ra 2 + Rb 2 − Rb Ra) ,H3 = 1/2 ( 2Rb − Rb Ra + Ra 2 + h2 hH2 = −1/42gRb (−2 Rb + Ra ),Rb − Rb Ra + Ra 2 + h2)(g Rb 2 − Rb Ra + Ra 2) ,H5 = ( 2Rb − Rb Ra + Ra 2 + h2 hH4 = 1/42M g (−2 Rb + Ra ) Rb) ,H6 = 1/4 ( 2Rb − Rb Ra + Ra 2 + h2 Jξ)(M gRb Ra 3 − 2 Rb h2 + Ra h2 + Rb 2 Ra − Rb Ra 2( 2)H7 = 1/4,Rb − Rb Ra + Ra 2 + h2 hJξH8 = −1/4 (M g (−2 Rb + Ra ) Rb) ,Rb 2 − Rb Ra + Ra 2 + h2 Jη()M gRb Ra 3 − 2 Rb h2 + Ra h2 + Rb 2 Ra − Rb Ra 2( 2)H9 = 1/4,Rb − Rb Ra + Ra 2 + h2 hJη()M gRb Ra 2 Rb 2 − 5 Rb Ra + 2 Ra 2 + 2 h2( 2)H10 = 1/4.Rb − Rb Ra + Ra 2 + h2 hJζ68Матрицу G запишем в два этапа.

Сначала запишем первые три столбца:(−Rb +2 Ra )g(Rb +Ra )g(−Rb +2 Ra )g−−12h12h12h√√√(−Rb +Ra ) 3g 3Rb g − 3Rb g−12h12h12h1/6g1/6g1/6g.√√√M gRb 3M gRb 3M gRb 3 − 12Jξ12J12JξξM gRbM gRb − M gRb− 12Jη− 12Jη12Jη√√√3M gRa Rb3M gRa Rb3M gRa Rb− 12Jζ h− 12Jζ h12Jζ hЗатем запишем следующие три столбца матрицы G:(−2 Rb +Ra )g12h√ − 3Ra g12h 1/6 g0 1/6 M gRb12Jη √3M gRa Rb12Jζ h(−2 Rb +Ra )g12h√3Ra g12h(Rb +Ra )g12h√(−Rb +Ra ) 3g12h1/6 g1/6 g0gRb1/6 M12Jη−√3M gRa Rb12Jζ h−√M gRb 312JξgRb− M12Jη√3M gRa Rb12Jζ h.Если положить в (3.32) ui = 0 для i = 1, ..., 6, то получим системуq̈ = Hq.(3.33)В матрице H есть третья и шестая строки с одними ненулевыми элементами.

Отсюда следует, что в системе дифференциальных уравнений (3.33)можно отдельно рассмотреть уравнения для q3 и q6 независимо от остальныхпеременных, и тривиальное решение будет для них экспоненциально неустойчивым.Это означает, что для обеспечения реализации стационарного положения(3.26) платформы необходимо дополнительное управляющее воздействие.

За-69пишем систему дифференциальных уравнений в форме Коши:ż = Az + Bu,(3.34)Tz = (q1 , q˙1 , q2 , q˙2 , . . . , q6 , q˙6 ) .Управление будем строить в виде линейных обратных связей:(3.35)u = Kz.Здесь K = ∥kij ∥(6,12) – постоянная матрица, подлежащая определению. Будем выбирать коэффициенты матрицы обратной связи таким образом, чтобысистема разбилась на шесть независимых подсистем, каждую из которых исследуем на устойчивость. Подставляя (3.35) в (3.34), получим замкнутуюсистему:(3.36)ż = (A + BK)z = Cz,где матрица C будет иметь вид:01000c 1,1 c1,2 c1,3 c1,4 c1,5 00010c 2,1 c2,2 c2,3 c2,4 c2,5 00000c 3,1 c3,2 c3,3 c3,4 c3,5C= 00000 c4,1 c4,2 c4,3 c4,4 c4,5 00000 c5,1 c5,2 c5,3 c5,4 c5,5 00000c6,1 c6,2 c6,3 c6,4 c6,50000000c1,6 c1,7 c1,8 c1,9 c1,10 c1,11 c1,120000000c2,6 c2,7 c2,8 c2,9 c2,10 c2,11 c2,121000000c3,6 c3,7 c3,8 c3,9 c3,10 c3,11 c3,120010000c4,6 c4,7 c4,8 c4,9 c4,10 c4,11 c4,120000100c5,6 c5,7 c5,8 c5,9 c5,10 c5,11 c5,120000001c6,6 c6,7 c6,8 c6,9 c6,10 c6,11 c6,12.70Расщепим систему.

Создадим множество A пар индексов (i, j) матрицыC так, чтобы при приравнивании нулю соответствующих коэффициентов ci,jматрица C стала блочно-диагональной:ci,j = 0, (i, j) ∈ A.В результате матрица C примет C1 0 0 C2 0 0C= 0 0 0 00 0(3.37)следующий вид:0 0 0 0 0 0 0 0 C3 0 0 0 .0 C4 0 0 0 0 C5 0 0 0 0 C6Здесь все матрицы Ck имеют размерность 2 × 2, k = 1, 6.Рассмотрим (3.37) как систему алгебраических уравнений относительно82 неизвестных ki,j , включающую 70 уравнений.

Возьмем в качестве независимых 12 коэффициентов k1,i , i = 1, ..., 12, остальные коэффициентыматрицы K выразим через них с помощью системы (3.37).Таким образом, система (3.36) расщепляется на шесть подсистем. Рассмотрим их характеристические уравнения:det(Ck − Eλ) = 0,k = 1, 6.(3.38)Для устойчивости решения необходимо и достаточно, чтобы действительные части корней характеристических уравнений были бы отрицательны, адля этого нужно чтобы все коэффициенты для каждого из получившихсяхарактеристических уравнений были бы одного знака [47].

Характеристические уравнения имеют вид:71λ2 + d1i λ + d2i = 0, ,i = 1, 6,следовательно, для устойчивости требуется положительность всех коэффициентов d1i и d2i , i = 1, 6.В результате получим следующие ограничения на коэффициенты k1,i ,обеспечивающие асимптотическую устойчивость решений системы (3.34):k1,1k1,2k1,3k1,4k1,5k1,6k1,7k1,8k1,9k1,10k1,11k1,121 4h2 + 4Rb2 + 2Ra2 − 3Ra Rb>,2(Rb − Ra )2 + h2 Ra> 0,√3 −7Rb Ra + 4Rb2 + 4Ra2 + 4h2,>6(Rb − Ra )2 + h2 Ra> 0,Rb2 − Ra Rb + Ra2<−,(Rb − Ra )2 + h2 h< 0,√3 −3Rb Ra2 + 3Ra Rb2 − Rb3 + 2Ra3 − 4Rb h2 + 2Ra h2>,6(Rb − Ra )2 + h2 h(3.39)> 0,1 Rb (Rb2 − Rb Ra + Ra2 )>,2 (Rb − Ra )2 + h2 h> 0,√3 −5Rb Ra + 2Ra2 + 2Rb2 + 2h2,>6(Rb − Ra )2 + h2> 0.Таким образом, удалось составить ограничения на элементы матрицы обратной связи, обеспечивающую асимптотическую устойчивость исходной системы уравнений динамики (3.1).72Рис.

3.11: Асимптотическая устойчивость положения равновесия.В заключение приведем пример. Пусть, как и в прошлом примере, заданыпараметры (3.28). Пусть реализована обратная связь с коэффициентами,удовлетворяющими условиям (3.39):k1,1 = k1,2 = k1,4 = k1,7 = k1,8 = k1,9 = k1,10 = k1,11 = k1,12 = 1,k1,3 = 5,k1,5 = −1,k1,6 = −1.Решив в этом случае исходное уравнение динамики (3.1) с начальными условиями (3.29), получим график q3 (t), демонстрирующий асимптотическуюустойчивость положения равновесия (см.

рис. 3.11). При этом отклонения подругим обобщенным координатам от положения равновесия находятся в пределах малой окрестности нуля.73Глава 4Платформа Стюарта с шестью степенями свободы накривошипно-шатунных опорах.A5A6D5D6B3D4A4A3B2D3B1D1D2 A1A2Рис. 4.1: Кинематическая схема платформы.4.1.Описание кинематики платформы.Рассматриваемый в данной главе механизм состоит из подвижнойплатформы, моделируемой круглым тонким диском. Диск соединяетсякривошипно-шатунными опорами с неподвижным основанием. Кривошипыприводятся в действие сервоприводами.

Точки A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 обозначают места крепления кривошипов к сервоприводам (см. рис. 4.1). Шатуны соединяются с кривошипами с помощью сферических шарниров в точкахD1 , D2 , D3 , D4 , D5 , D6 . Другим концом каждый из шести шатунов крепитсяк диску в точках B1 , B2 , B3 , находящихся на краю диска, с помощью сферических шарниров. Точки крепления шатунов на платформе образуют правильный треугольник с радиусом описанной окружности Rb . Изменяя уголповорота кривошипов, можно задавать положение платформы, которая имеет шесть степеней свободы.74zB3B2B1D3yα3A3D2α2A2D1O′α1xA1Рис. 4.2: Кинематическая схема упрощенной платформы.4.2.Кинематика упрощенной модели.Среди возможных движений платформы выделим класс движений, прикотором пары сервоприводов действуют синхронно. В таком случае механическую систему можно заменить на более простую, использующую три опоры.

Исследование таких конструкций важно при проектировании различныхчастей радиотелескопов, в том числе активных поверхностей зеркал. Рассмотрим новую упрощенную конструкцию. Как и раньше, имеем платформу с точками B1 , B2 , B3 . Пусть теперь она опирается на три кривошипно-шатунныеопоры (см. рис.4.2). В точках A1 , A2 , A3 , D1 , D2 , D3 расположены цилиндрические шарниры, в точках B1 , B2 , B3 стоят сферические шарниры. Оси цилиндрических шарниров параллельны для каждой из пар (Ai , Di ), i = 1, 2, 3.Углы α1 , α2 , α3 задают положение кривошипов, вращаемых с помощью сервоприводов.75Пусть O′ xyz – неподвижная декартова система координат с началом вцентре основания.

Характеристики

Список файлов диссертации