Диссертация (1150804), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Будем выбирать коэффициенты матрицы обратной связи таким образом, чтобы45система разбилась на три независимых подсистемы, каждую из которых исследуем на устойчивость. Подставляя (2.23) в (2.22), получим замкнутуюсистему(2.24)ż = (A + BK)z = Cz,где матрица C имеет видC=01000c1,1 c1,2 c1,3 c1,4 c1,500010c2,1 c2,2 c2,3 c2,4 c2,500000c3,1 c3,2 c3,3 c3,4 c3,50 c1,6 0 .c2,6 1 c3,6Разобъем систему на три независимые системы, приравняв нулю следующие коэффициенты ci,j (чтобы в результате матрица C стала блочнодиагональной)c1,3 = c1,4 = c1,5 = c1,6 = 0,c2,1 = c2,2 = c2,5 = c2,6 = 0,c3,1 = c3,2 = c3,3 = c3,4 = 0.Тогда матрицу C можно представить в видеC 0 0 1C =  0 C2 00 0 C3,где все матрицы Ck , k = 1, 3, имеют размерность 2 × 2.(2.25)46Рассмотрим (2.25) как систему 12-ти алгебраических уравнений относительно 18-ти неизвестных ki,j .

Возьмем в качестве независимых шестькоэффициентов k1,i , i = 1, 6, остальные коэффициенты матрицы K выразимчерез них с помощью системы (2.25).Таким образом, система уравнений (2.24) расщепляется на 3 подсистемы.Рассмотрим их характеристические уравненияdet(Ck − Eλ) = 0,k = 1, 3.(2.26)Для устойчивости решения необходимо и достаточно [47], чтобы действительные части корней характеристических уравнений были бы отрицательны, адля этого нужно, чтобы все коэффициенты для каждого из получившихсяхарактеристических уравнений были бы одного знака, так как все уравненияявляются уравнениями второй степени.Характеристические уравнения имеют видλ2 + d1i λ + d2i = 0,i = 1, 3,следовательно, для устойчивости требуется положительность всех коэффициентов d1i и d2i , i = 1, 3.В результате мы получаем следующие ограничения на коэффициенты k1,i ,обеспечивающие асимптотическую устойчивость тривиального решения системы (2.24):47s2,k<−1,12 + h2 )h(sk1,2 < 0,s2 Ra + h2 (Ra − Rb )k1,3 >,2h(s2 + h2 )k1,4 > 0,√ 23(s Ra + h2 (Ra − Rb ))k>,1,52 + h2 )2h(sk1,6 > 0.(2.27)Таким образом, найдены параметры управления с обратной связью, обеспечивающие асимптотическую устойчивость в случае малых отклонений отстационарного положения.Приведем числовой пример.

Зададим параметры платформы:M = 200(кг), Ra = 3(м), Rb = 2(м), h = 2(м).ТогдаM Rb2M Rb22J1 = J2 == 200(кг м ), J3 == 400(кг м2 ),Fi∗ = 731.194(н),4210000 00.981 00000A= 000100 , 00 6.867 0010000 6.867 04800  0 3, 273, 27 3, 27  000 .B= −3, 27 −3, 27 −6.54 000 −5.664 5.6640Согласно полученным ограничениям (2.27) будем иметь следующие требования для коэффициентов матрицы обратных связей:k1,1 < −0.1, k1,2 < 0, k1,3 > 0.35, k1,4 > 0, k1,5 > 0.606, k1,6 > 0.(2.28)Пустьk1,1 = −1, k1,2 = −1, k1,3 = 1, k1,4 = 1, k1,5 = 1, k1,6 = 1.Тогда характеристические уравнения (2.26) будут иметь корни с отрицательными действительными частями. Для первого уравнения λ2 + 3λ + 0.826 = 0,отвечающего за колебания центра масс, корни будут равны (−0.307 , −2.69).Для второго и третьего уравненийλ2 + 6λ + 1.19 = 0,λ2 + 3.464λ + 0.416 = 0,отвечающих за колебания платформы около ее центра масс, корни будут равны (−0.205, −5.79) и (−0.125, −3.34) соответственно.Таким образом были вычислены параметры обратной связи, при которой горизонтальное положение равновесия платформы будет устойчивым.

Заметим,что выбранные коэффициенты матрицы обратных связей являются лишь одним из возможных наборов коэффициентов, обеспечивающих устойчивость.Результаты расчетов характеризуются рисунками 1.3 и 1.4, приведеннымивыше.49Глава 3Платформа Стюарта с шестью степенями свободы на шестистержнях переменной длины.3.1.КинематикаПерейдем к исследованию наиболее часто встречаемой версии платформыСтюарта.

Рассматриваемый в данной главе механизм состоит из подвижнойплатформы, моделируемой круглым тонким диском. Диск соединяется штоками с неподвижным основанием. Штоки моделируются невесомыми стержнями, способными менять свою длину.

Они и крепятся к диску в точкахB1 , B2 , B3 , находящихся на краю диска, с помощью сферических шарниров.Крепление штоков к основанию также осуществляется с помощью сферических шарниров в точках A1 , A2 , A3 (см. рис. 3.1). Точки крепления штоковна платформе и в основании образуют правильные треугольники с радиусами описанных окружностей Rb и Ra соответсвенно. Изменяя длины штоков,можно задавать положение платформы, которая имеет шесть степеней свободы.3.2.Уравнения динамики платформыПусть O′ xyz – неподвижная декартова система координат с началом вцентре треугольника A1 A2 A3 ; Oξηζ – система координат, скрепленная с подвижной платформой, c началом в центре треугольника B1 B2 B3 .Для записи уравнений динамики выберем в качестве первых трех обобщенных координат q1 , q2 , q3 координаты точки O, являющейся центром платформы, в неподвижной системе координат.

Пусть обобщенные координатыq4 , q5 , q6 будут соответствовать углам поворота осей подвижной системы координат относительно неподвижной на углы крена, тангажа и рыскания. Со-50ζB2B3OηyB1zA3ξO′A2xA1Рис. 3.1: Кинематическая схема платформы.ставим уравнения Лагранжа второго рода в виде:ddt(∂T∂ q̇k)−∂T= Qk ,∂qk(3.1)k = 1, 6,Qk – обобщенные силы, T – кинетическая энергия.Для составления уравнений динамики выразим кинетическую энергию через обобщенные координаты. Обозначим через Jη , Jξ , Jζ главные центральныемоменты инерции диска платформы относительно осей Oη, Oξ, Oζ.Пусть ωi – составляющие вектора мгновенной угловой скорости ω:cos q5 cos q4 sin q4 0q˙ 4 ω =  − cos q5 sin q4 sin q4 0   q˙5  .sin q501q˙6(3.2)Выпишем выражение для кинетической энергии:)M V02 1 (T =+Jη ω12 + Jξ ω22 + Jζ ω32 .22(3.3)51Здесь M – масса платформы, V0 является скоростью центра платформы:V02=3∑q̇i2 .(3.4)i=1Подставив (3.2) и (3.4) в (3.3), сможем выразить кинетическую энергиючерез обобщенные координаты.Теперь приступим к получению выражений обобщенных сил через обобщенные координаты qk .

Для этого выпишем силы и радиус-векторы точек ихприложения в проекциях на оси неподвижной системы координат O′ xyz. Наплатформу действует сила тяжести P , приложенная к точке O с радиусвектором r 0 = (q1 , q2 , q3 ) и направленная параллельно оси O′ z, а такжешесть сил F i , i = 1, 6, приложенных к точкам B1 , B2 , B3 с радиус-векторамиBBrB1 , r 2 , r 3 и направленных вдоль соответствующих штоков.

Пусть точки A1 ,A AA2 , A3 задаются радиус-векторами r A1 , r 2 , r 3 . Тогда векторы сил, действую-щих на платформу, представляются в виде:AArBrB1 − r11 − r2F 1 = F1, F 2 = F2,|A1 B1 ||A2 B1 |AArBrB2 − r22 − r3F 3 = F3, F 4 = F4,|A2 B2 ||A3 B2 |rB − rArB − rA31F 5 = F5 3, F 6 = F6 3,|A3 B3 ||A1 B3 |(3.5)P = (0, 0, −M g).Здесь |Ai Bj | обозначают длины штоков Ai Bj , Fi – величины сил Fi .Согласно рис. 3.2 имеем:(√rA1 =)( √)3Ra Ra3Ra Ra, − , 0 , rA=−, − , 0 , rA23 = (0, Ra , 0).2222Точки B1 , B2 , B3 в подвижной системе координат Oξηζ будут задаватьсяBBрадиус-векторами ρB1 , ρ2 , ρ3 :52yA3 (0, Ra )O′30oA2 (−√312 Ra , − 2 Ra )(Ra , 0)xA1 (√312 Ra , − 2 Ra )Рис. 3.2: Основание платформы.(√)( √)3R3RRRbbbbρB, − , 0 , ρB−, − , 0 , ρB1 =2 =3 = (0, Rb , 0).2222Выразим радиус-векторы точек B1 , B2 , B3 в неподвижной системе координат через обобщенные координаты по формулам:rBi = r 0 + Kρi , i = 1, 2, 3.(3.6)Здесь K является матрицей поворота подвижной системы координат относительно неподвижной:c5 c6−c5 s6s5K =  c4 s6 + c6 s5 s4 c6 c4 − s5 s6 s4 −c5 s4s4 s6 + c4 s5 c6 c4 s5 s5 + c6 s5 −c5 c4,(3.7)ci = cos qi , si = sin qi , i = 4, 5, 6.Зная координаты концов штоков, легко найти их длины |Ai Bj | и, в результате, получить силы и точки их приложения как функции от обобщенныхкоординат.Составим выражение работы на элементарных перемещениях.

Работа53каждой силы будет равна скалярному произведению вектора силы на вектор элементарного перемещения:BBBBBδA = P δr 0 + F 1 δr B1 + F 2 δr 1 + F 3 δr 2 + F 4 δr 2 + F 5 δr 3 + F 6 δr 3 ,δr Bi=6∑∂r Bik=1∂qkδqk ,i = 1, 2, 3.(3.8)(3.9)Под операцией взятия производной от вектора будем понимать операциювзятия производной от каждой компоненты вектора.Подставляя формулы (3.5) и (3.9) в (3.8), сможем найти обобщенныесилы Qk , равные получившимся коэффициентам при независимых вариацияхδqk , k = 1, 6.Для удобства записи введем в рассмотрение новые силыG1 = F 1 + F 2 ,G2 = F 3 + F 4 ,G3 = F 5 + F 6 .(3.10)Тогда выражение (3.8) перепишется в виде:BBδA = P δr 0 + G1 δr B1 + G2 δr 2 + G3 δr 3 .(3.11)Обозначим через xi , yi , zi компоненты вектора riB , а через Gxi , Gyi , Gzi –компоненты вектора Gi , i = 1, 2, 3. В результате получим)3 (∑y ∂yix ∂xiz ∂ziQk =Gi+ Gi+ Gi, k = 1, 2, 4, 5, 6,∂q∂q∂qkkki=1)3 (∑y ∂yix ∂xiz ∂ziQ3 = −M g +Gi+ Gi+ Gi.∂q∂q∂q333i=1Подставляя(3.12) и(3.3) в(3.12)(3.1), получим систему динамическихуравнений рассматриваемой механической системы.

Решая ее, можем позаданным величинам управляющих сил Fk = Fk (t) найти закон движения54платформы qk = qk (t), и наоборот.В следующем разделе этой главы рассмотрим примеры решения задачидинамики в случае нагруженной платформы.3.3.Уравнения динамики нагруженной платформыПод нагруженной платформой будем понимать платформу из предыдущего раздела с добавленной к ней массой M0 , сосредоточенной в материальнойточке P . При этом указанная материальная точка жестко связана невесомойконструкцией с диском платформы массы M . Составим уравнение динамики и решим его относительно некоторого программного закона движения пообобщенным координатам.

Характеристики

Список файлов диссертации