Диссертация (1150804), страница 3
Текст из файла (страница 3)
рис. 2b). При ре-17шении задачи динамики рассматривается класс движений платформы, прикотором опоры попарно совершают одинаковые движения, что позволяет свести задачу к более простой кинематической схеме (см. рис. 2c)Для решения задач кинематики во всех случаях вводится неподвижнаядекартова система координат O′ xyz и система координат Oξηζ, скрепленнаяс подвижной платформой.Положениеплатформыоднозначнозадаетсявекторомq=(x0 , y0 , z0 , ψ1 , ψ2 , ψ3 ) с шестью координатами, описывающими положениеи ориентацию платформы относительно неподвижного основания, причемx0 , y0 , z0 – декартовы координаты точки O в неподвижной системе координат,а ψ1 , ψ2 , ψ3 – соответственно углы крена, тангажа и рыскания.
В случае материальной точки для задания положения платформы достаточно координатx0 , y0 , z0 .Если точка определяется вектором ρ в подвижной системе координат,связанной с платформой, то в неподвижной системе она будет задаватьсявекторомr = r 0 + Kρ.(1)Здесь r 0 есть радиус-вектор точки O – начала подвижной системы координат, K – матрица поворота подвижной системы координат относительнонеподвижной:K −1 = K T , det K = 1,c2 c3−c2 s3s2K = c1 s3 + c3 s2 s1 s3 c1 − s2 s3 s1 −c2 s1s1 s3 − c1 s2 c3 c1 s2 s3 + c1 s3 c2 c1ci = cos ψi , si = sin ψi , i = 1, 3.,(2)18С помощью (1) можно найти радиус-векторы r ib точек Bi крепления каждого стержня к верхней платформе.
Тогда длины стержней вычисляются поформулам√li =(rbi − rai)T ()rbi − rai .(3)Также, с помощью этих уравнений можно по заданным длинам штоковнайти положение платформы. Решение этой задачи достигается, например, спомощью метода покоординатного спуска.Для записи уравнений динамики выберем в качестве первых трех обобщенных координат q1 , q2 , q3 – координаты точки O, являющейся центромплатформы, в неподвижной системе координат. Пусть обобщенные координаты q4 , q5 , q6 будут соответствовать углам поворота осей подвижной системы координат относительно неподвижной.
В диссертации уравнения динамики для рассматриваемых систем составляются в виде системы уравненийЛагранжа второго рода:ddt(∂T∂ q̇k)−∂T= Qk ,∂qkk = 1, 6,(4)Qk – обобщенные силы, T – кинетическая энергия.В работе приводится аналитическое решение прямой задачи динамики ичисленное – для обратной. Прямая задача заключается в нахождении сил вштоках, обеспечивающих заданное движение. Обратная задача заключаетсяв нахождении движения платформы по заданным силам.Для модификаций платформ из первой, второй и третьей глав исследуется вопрос устойчивости положения равновесия. Не умаляя общности рассмотрим горизонтальное положение равновесия. Пусть Fj – силы в штоках,обеспечивающие положение равновесия.
Любые малые отклонения от заданного положения приводят к неограниченно возрастающим отклонениям пообобщенным координатам. Положение равновесия оказывается неустойчи-19вым по Ляпунову. На рис. 7 показаны графики изменения координат центраплатформы при малом отклонении от горизонтального положения равновесия платформы с шестью штоками.
Аналогичная неустойчивость положенияравновесия наблюдается у всех рассматриваемых в диссертации платформ.(a) Отклонение центра по (b) Отклонение центра по(c) Отклонение центра пооси O′ x.оси O′ z.оси O′ y.Рис. 7: Неустойчивость центра платформы.На рис. 8 показаны графики изменения углов Брайнта платформы прималом отклонении от горизонтального положения равновесия платформы.(a) Вращение платформы (b) Вращение платформы(c) Вращение платформывокруг оси O′ x.вокруг оси O′ z.вокруг оси O′ y.Рис. 8: Неустойчивость платформы по углам Брайнта.В работе подробнее исследовано поведение системы в окрестности горизонтального положения равновесияq3 = h, q1 = q2 = q4 = q5 = q6 = 0.(5)20Пусть Fi∗ - значения сил, действующих на платформу со стороны штоков,удерживающих механизм в указанном горизонтальном положении.
Вводятсямалые приращения координат ∆qk , а также дополнительные малые управляющие силы ∆Fi . В случае шестиножной платформы будем иметь:q3 = h + ∆q3 , qk = ∆qk , при k = 1, 2, 4, 5, 6; Fi = Fi∗ + ∆Fi .(6)Были введены безразмерные управляющие силыuk =∆Fk,Fk∗(7)k = 1, 6.Тогда из уравнений Лагранжа (4) получим уравнения первого приближения,которые будут иметь следующий вид:(8)q̈ = Hq + Gu.Здесь H и G – постоянные матрицы размера 6 × 6,u = (u1 , . . . , u6 ). Этиуравнения с незначительными изменениями также верны и для случая трехножной платформы.(a) Отклонение центра по (b) Отклонение центра по(c) Отклонение центра пооси O′ x.оси O′ z.оси O′ y.Рис.
9: Ассимптотическая устойчивость положения равновесия для центраплатформы.Это означает, что для обеспечения реализации стационарного положения(5) платформы необходимо дополнительное управляющее воздействие. После21(a) Вращение платформы (b) Вращение платформы(c) Вращение платформывокруг оси O′ x.вокруг оси O′ z.вокруг оси O′ y.Рис.
10: Ассимптотическая устойчивость положения равновесия по угламБрайнта.записи системы в форме Коши получим:ż = Az + Bu,(9)z = (q1 , q˙1 , q2 , q˙2 , . . . , q6 , q˙6 ).Управление построим в виде линейных обратных связей:u = Kz.(10)Здесь K = ∥kij ∥(6,12) – постоянная матрица, подлежащая определению. Коэффициенты матрицы обратной связи были выбраны таким образом, чтобысистема разбилась на 6 независимых подсистем, каждая из которых былаисследована на устойчивость. Подставив (10) в (9), получим замкнутуюсистему:ż = (A + BK)z = Cz.(11)Ввиду свободы выбора коэффициентов матрицы K можно добиться того,что матрица станет блочно-диагональной.
Таким образом, система уравнений расщепляется на несколько подсистем. Для каждой из этих подсистемможно подобрать оставшиеся независимые коэффициенты матрицы K так,22чтобы характреистические уравнения этих подсистем имели бы корни сотрицательными вещественными частями. В этом случае по теореме Ляпунова об ассимптотической устойчивости положение равновесия для исходнойсистемы уравнений Лагранжа второго рода будет ассимптотически устойчивым. На рис. 9 и 10 показаны графики обобщенных координат платформыв случае обратных связей, обеспечивающих ассимптотичесую устойчивостьплатформы.23Глава 1Материальная точка на трех опорах.
Случайкривошипно-шатунных опор.1.1.Кинематика и динамика материальной точки на опорах.Рассмотрим материальную точку B, к которой с помощью сферическихшарниров присоединены три шатуна BD1 ,BD2 ,BD3 (рис. 1.1).Следует заметить, что данная механическая система [39] имеет достаточно сложный шарнир, в котором соединяются три сферических. В станкостроении применяются различные сложные шарнирные соединения [21, 27],и наиболее схожий с описанным здесь представляет собой поступательнуюпару [16], на которую близко прикреплены три сферических шарнира.
Такиеконструкции применяются в материалообрабатывающих центрах.Каждый шатун соединяется со своим кривошипом в точках D1 , D2 , D3также с помощью сферических шарниров. Каждый кривошип в свою очередьнасажен на ось шагового электродвигателя в точках A1 , A2 , A3 , которые являются вершинами правильного треугольника, вокруг которого можно описатьокружность радиуса R = OA1 = OA2 = OA3 . Введем декартову системукоординат O′ xyz с началом в центре вышеуказанного треугольника.
Ось O′ zпусть направлена перпендикулярно плоскости A1 A2 A3 , оси O′ x и O′ y лежат вплоскости A1 A2 A3 , как показано на рис. 1.1. Рассматриваемая механическаясистема имеет три степени свободы [16].Пусть длины всех кривошипов равны A1 D1 = A2 D2 = A3 D3 = d, а длиныкаждого шатуна равны BD1 = BD2 = BD3 = l. Пусть материальная точкаимеет массу m, все узлы кривошипно-шатунных опор веса не имеют.
Решимпрямую и обратную задачи кинематики и динамики этой механической системы, после чего исследуем положение равновесия на устойчивость.24zBD3yA3D2O′A2D1xA1Рис. 1.1: Общая схема механизма.Пусть материальная точка B имеет координаты (xb , yb , zb ). Введем обозначения углов наклона кривошипов αi = ∠O′ Ai Di , i = 1, 2, 3. Под решениемзадачи кинематики будем понимать вычисление углов αi по заданным координатам (xb , yb , zb ). Запишем координаты точек Ai и Di :((ππ )ππ )A1 = R cos , −R sin , 0 , A2 = −R cos , −R sin , 0 ,6666A3 = (0, R, 0) ,π )πD1 = (R − d cos α) cos , −(R − d cos α) sin , 0 ,66 )(ππD2 = −(R − d cos α) cos , −(R − d cos α) sin , 0 ,66((1.1)D3 = (0, R, 0) .Запишем уравнения, означающие, что расстояния между точками Di и точкой B постоянны и равны l(xid − xb )2 + (ydi − yb )2 + (zdi − zb )2 = l2 , i = 1, 2, 3.Здесь xid , ydi , zdi – координаты точек Di , указанные в (1.1).(1.2)25F1G1G3G2F3BF2D3A3D2PA2O′D1A1Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
