Диссертация (1150804), страница 4
Текст из файла (страница 4)
1.2: Две эквивалентные системы сил.Решив эти уравнения, возможно записать зависимости αi = αi (xb , yb , zb ).Задача легко решается аналитически с помощью пакета Maple [46], при этомрешение получается слишком громоздким для записи в диссертации. Заметим, что в общем случае имеются два решения. Выберем в качестве обобщенных координат величины xb , yb , zb и перейдем к решению задач динамики.Ввиду сложности выражений αi = αi (xb , yb , zb ) запись уравнений Лагранжавторого рода и последующее их интегрирование становятся трудновыполнимыми.Чтобы этого избежать, введем в рассмотрение новую механическую систему с невесомыми штоками переменной длины.
Штоки соединяют точкуB с точками A1 , A2 , A3 с помощью сферических шарниров. На рис. 1.2 штоки и силы G1 , G2 , G3 , с которыми они действуют на материальную точку,указаны пунктирными линиями. Пусть старая система сил (F1 , F2 , F3 , P ) иновая (G1 , G2 , G3 , P ) будут эквивалентными. Для этого достаточно, чтобы26их главные векторы сил были равны, так как они действуют на одну и ту жематериальную точку.Пусть Gi = (Gxi , Gyi , Gzi ), Fi = Fi ei , где векторы ei = (ai , bi , ci ) являютсяединичными векторами, направленными вдоль шатунов.
Координаты векторов ei легко вычислить при заданном положении точки B. Действительно,из (1.2) можно вычислить координаты точек Di . Затем задача сводится к записи координат единичных векторов, направленных от точек Di к точке B.Запишем равенства проекций главных векторов двух систем на оси O′ xyz:3∑i=13∑i=13∑i=1Gxi=Gyi =Gzi =3∑i=13∑i=13∑Fi ai ,Fi bi ,(1.3)Fi ci .i=1Рассмотрим эти три равенства как систему уравнений относительно силFi , i = 1, 2, 3.
В результате решения получим(−c2 b3 + b2 c3 ) Gx + (a3 c2 − a2 c3 ) Gy + (−a3 b2 + a2 b3 ) Gz,F1 =(−b2 c1 + c2 b1 ) a3 + (−a1 c2 + c1 a2 ) b3 + (a1 b2 − b1 a2 ) c3(b3 c1 − b1 c3 ) Gx + (a1 c3 − c1 a3 ) Gy + (−a1 b3 + b1 a3 ) GzF2 =,(−b2 c1 + c2 b1 ) a3 + (−a1 c2 + c1 a2 ) b3 + (a1 b2 − b1 a2 ) c3(1.4)(−b2 c1 + c2 b1 ) Gx + (−a1 c2 + c1 a2 ) Gy + (a1 b2 − b1 a2 ) GzF3 =.(−b2 c1 + c2 b1 ) a3 + (−a1 c2 + c1 a2 ) b3 + (a1 b2 − b1 a2 ) c3∑∑∑Здесь Gx = 3i=1 Gxi , Gy = 3i=1 Gyi , Gz = 3i=1 Gzi .Пусть задан закон движения материальной точки.
Тогда можно найти закон изменения сил G1 , G2 , G3 в новой механической системе, обеспечивающий заданное движение. В силу эквивалентности система сил (F1 , F2 , F3 , P )27будет также обеспечивать движение материальной точки по заданному закону.Исследуем динамику этой новой механической системы со штоками переменной длины. Длины штоков определяются по формулам:li =√(xb − xia )2 + (yb − yai )2 + (zb − zai )2 ,i = 1, 2, 3,(1.5)где xia , yai , zai – координаты точек Ai . Пусть в качестве обобщенных координат будут выступать также координаты точки B: q1 = xb , q2 = yb , q3 = zb .Составим уравнения Лагранжа второго рода( )d ∂T∂T−= Qi , i = 1, 2, 3,dt ∂ q̇i∂qi(1.6)где T – кинетическая энергия системы, Qi – обобщенные силы, соответствующие обобщенным координатам qi . Пусть материальная точка B имеет массуm, штоки предполагаем невесомыми.
Тогда кинетическая энергия системыбудет иметь вид:m∑ 2T =q̇ ,2 i=1 i3i = 1, 2, 3.(1.7)Cистема (1.6) перепишется в виде:mq̈i = Qi ,i = 1, 2, 3.(1.8)Для составления выражений обобщенных сил Qi напишем силы в проекцияхна оси системы O′ xyz. На точку B действует сила тяжести P = (0, 0, −mg)и три силы G1 , G2 , G3 , направленные вдоль штоковrb − raiGi = Gi,li(1.9)где rb и rai – радиус-векторы точек B и Ai .Составим выражение элементарной работы на возможном перемещениисистемы:283∑δA = −mgδq3 +(Gxi δq1 + Gyi δq2 + Gyi δq3 ),(1.10)i=1гдеGxi , Gyi , Gzi– проекции сил Gi на оси системы O′ xyz. Теперь можно запи-сать обобщенные силы, которые равны получившимся коэффициентам принезависимых вариациях обобщенных координат δqi :Q1 =3∑Gxi ,Q2 =k=13∑Gyi ,k=1Q3 = −mg +3∑Gzi .(1.11)k=1Воспользуемся выражениями (1.9) и запишем обобщенные силы подробно:√ )(G1 q1 + 1/2 R 3Q1 = √(+√ )222q1 + 1/2 R 3 + (q2 + 1/2 R) + q3√ )(G2 q1 − 1/2 R 3+ √(+√ )222q1 − 1/2 R 3 + (q2 + 1/2 R) + q3G3 q1+√,222q1 + (q2 − R) + q3Q2 = √(G1 (q2 + 1/2 R)+√ )22q1 + 1/2 R 3 + (q2 + 1/2 R) + q3 2G2 (q2 + 1/2 R)+ √(+√ )22q1 − 1/2 R 3 + (q2 + 1/2 R) + q3 2+√(1.12)G3 (q2 − R),q1 2 + q2 2 − 2 q2 R + R 2 + q3 2G1 q3Q3 = −mg + √(+√ )222q1 + 1/2 R 3 + (q2 + 1/2 R) + q3G2 q3++ √(√ )222q1 − 1/2 R 3 + (q2 + 1/2 R) + q3G3 q3+√.q1 2 + q2 2 − 2 q2 R + R 2 + q3 2Подставив (1.12) в (1.8), окончательно составим уравнения Лагранжавторого рода.29Перейдем к решению прямой и обратной задач динамики.
Обобщенныекоординаты могут быть заданы как функции от времени qi = qi (t). В этомслучае, решая систему (1.8), мы можем найти аналитически зависимостьуправляющих сил от времени: Gi = Gi (t). Наоборот, при заданном законеизменения управляющих сил как функций времени можно, решив системудифференциальных уравнений (1.8), найти закон движения материальнойточки B.Приведем пример расчета.
Заставим колебаться материальную точку пооси O′ z. Пусть R =1(м), m =200(кг), q1 =0, q2 =0, q3 = 2 + 0.1 sin t. Разрешивсистему (1.8) относительно Gi , получим зависимости Gi (t):√m 100 R2 + 400 + 40 sin t + sin2 t (sin t − 10 g) ,Gi = −1/3020 + sin ti = 1, 2, 3.С помощью (1.4) можно найти силы, c которыми должны действоватьшатуны из первой механической системы для осуществления заданного движения материальной точки.По найденным Gi (t) можно вычислить траекторию движения материальной точки путем численного решения системы дифференциальных уравнений(1.8).1.2.Стабилизация положения равновесия материальной точки натрех стержнях переменной длины.Устойчивость положения равновесия платформы Стюарта и ее модификаций рассматривалась в разных работах В.В. Александрова [5,61].
В даннойглаве покажем, каким образом возможно достичь асимптотической устойчивости по Ляпунову для рассматриваемой в этой главе механической системы.Рассмотрим подробнее положение равновесия q3 = h, q1 = q2 = 0. Изуравнений (1.8) найдем силы, обеспечивающие заданное положение:30√mgR2 + h2G∗i =.3h(1.13)Для исследования поведения системы в окрестности положения равновесия введем малые приращения координат ∆qi и дополнительные малыеуправляющие силы ∆Gi . Тогда q1 = ∆q1 , q2 = ∆q2 , q3 = h + ∆q3 , Gi =∆GiG∗i + ∆Gi . Введем безразмерные управляющие силы ui =. Теперь изG∗iуравнений Лагранжа (1.8) получим уравнения первого приближения(1.14)q̈ = Hq + Gu.Здесь√3Rg3Rg−6h6h √g(R2 + 2h2 )0 2h(R2 + h2 )∆q1g(R2 + 2h2 )q = ∆q2 , H = 02h(R2 + h2 )h + ∆q300u1 u = u2 , u3G=Rg6hg3Если положить в системе (1.14) u1 =00gR2h(R2 + h2 ),0RgRg .−6h3h gg 33u2 = u3 = 0, то получим системуq̈ = Hq, для которой из вида матрицы H очевидно, что колебания по обобщенным координатам “развязываются” [61], и тривиальное решение будет экспоненциально неустойчивым.Для обеспечения устойчивости необходимо ввести дополнительное управляющее воздействие.
Заметим, что существует неоднозначность [14] выбора31такого управления в форме обратной связи. Выдвигая различные критериикачества переходных процессов, можно получать разные законы управления.Для примера рассмотрим один из них. Запишем систему (1.14) в форме Кошиż = Az + Bu,z = (q1 , q˙1 , q2 , q˙2 , q3 , q˙3 ) .(1.15)Управление будем строить в виде обратных связей(1.16)u = Kz.Здесь K – постоянная матрица размера 3x6, подлежащая определению. Будем выбирать коэффициенты матрицы обратной связи таким образом, чтобысистема разбилась на три независимые подсистемы, каждую из которых исследуем на устойчивость.
Подставив (1.17) в (1.15), получим замкнутуюсистемуż = Az + BKz = (A + BK) z = Cz.Здесь матрица C имеет видC=(1.17)01000c1,1 c1,2 c1,3 c1,4 c1,500010c2,1 c2,2 c2,3 c2,4 c2,500000c3,1 c3,2 c3,3 c3,4 c3,50 c1,6 0 .c2,6 1 c3,6Чтобы получить три независимые подсистемы, следует матрицу C пред-32Рис. 1.3: Неустойчивое положение равновесия материальной точки по осиO′ z.ставить в блочно-диагональном видеC0 0 1C = 0 C2 0 ,0 0 C3где C 1 , C 2 , C 3 – матрицы размерности 2x2.
Для этого достаточно приравнятьнулю следующие коэффициенты:c1,3 = c1,4 = c1,5 = c1,6 = 0,c2,1 = c2,2 = c2,5 = c2,6 = 0,(1.18)c3,1 = c3,2 = c3,3 = c3,4 = 0.Рассмотрим систему (1.18) как систему 12-ти алгебраических уравненийотносительно 18-ти неизвестных ki,j искомых коэффициентов матрицы K.33Рис.
1.4: Стабилизация положения равновесия материальной точки по осиO′ z.Возьмем в качестве независимых 6 коэффициентов k1,j ,j = 1, 6, остальныевыразим через них с помощью системы (1.18). Таким образом, система ż =Cz расщепляется на три подсистемы.Запишем характеристические уравнения кажой из трех получившихся систем:det (C i − Eλ) = 0,2λ + d1,i λ + d2,i = 0,(1.19)i = 1, 2, 3,где d1i , d2i – получившиеся коэффициенты при λ и λ2 соответственно. Дляустойчивости тривиального решения системы необходимо и достаточно, чтобы действительные части корней характеристических уравнений были бы отрицательными [7]. Так будет, если все коэффициенты характеристическихуравнений (1.19) будут одного знака.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
