Диссертация (1150804), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Введем систему координат Oξηζ, скрепленную с подвижной платформой, c началом в центре треугольника B1 B2 B3 по аналогии ссистемой, описанной в главе 2.Выберем в качестве первых трех обобщенных координат q1 , q2 , q3 координаты точки O, являющейся центром платформы в неподвижной системе координат. Пусть обобщенные координаты q4 , q5 , q6 будут соответствовать угламповорота осей подвижной системы координат относительно неподвижной.Заметим, что число обобщенных координат избыточно. Изменение положения платформы достигается за счет изменения углов наклона кривошиповαi и улов между кривошипами и шатунами βi . При этом в силу кинематической схемы проекции точек Di и Bi на плоскость O′ xy будут всегда находиться на прямых O′ D1 , O′ D2 , O′ D3 в соответствии с индексом i.
Эти шестьуглов, очевидно, связаны тремя соотношениями Bi Bj = b (i ̸= j), имеющимипростой геометрический смысл. Таким образом, вся конструкция, состоящаяиз трех невесомых шатунов, трех невесомых кривошипов и опирающейся наних тяжелой платформы, имеет всего лишь три степени свободы. Будем считать, что центр масс платформы совпадает с центром треугольника B1 B2 B3 .Кроме силы тяжести платформы и внутренних сил реакций, конструкцияиспытывает воздействие управляющих моментов Mi , действующих на кривошипы со стороны сервоприводов.
В свою очередь, моменты вызывают силыFi , которые действуют вдоль шатунов Di Bi и обеспечивают поддержку и перемещение платформы за счет изменения углов αi . При этом углы междуAi Bi и Di Ai определяются конструкцией автоматически. Радиусы-векторыточек Ai , Bi , Di в неподвижной системе координат будем рассматривать как76столбцыxiaraixib i i= ya , rb = ybiizazbixid i i , rd = yd , i = 1, 3.izd(4.1)Точки Bi в подвижной системе координат Oξηζ имеют координаты:(√B1 =)3Rb Rb, − , 0 , B2 =22( √−)3Rb Rb, − , 0 , B3 = (0, Rb , 0).22Заметим, что кинематика платформы схожа с описанной в главе 2 заисключением того факта, что стержни в данной случае состоят из двух частей, шарнирно соединенных. Координаты точек Di и Ai равны (см. рис.
2.2из главы( √2):)( √)3Ra Ra3Ra RaA1 =, − , 0 , A2 = −, − , 0 , A3 = (0, Ra , 0),2222()√3rrD1 = x1d +cos α1 , yd1 − cos α1 , r sin α1 ,22()√3rrD2 = x2d −cos α2 , yd2 − cos α2 , r sin α2 ,22( 3)D3 = 0, yd + r cos α3 , r sin α3 .Радиус-векторы точек B1 , B2 , B3 в неподвижной системе координат выражаются через обобщенные координаты по формулам (2.2), где вместо r νследует поставить r Bi .Пусть расстояния между точками Bi и Di для каждого i = 1, 2, 3, постоянны и равны R. Отсюда получаем уравнения для решения задач кинематики:√( i)T ( i)R=rb − rdi(4.2)rb − rdi , i = 1, 3.Для удобства последующих записей введем в рассмотрение единичные векторы τ i , направленные вдоль каждого из стержней от Di к Bi77r ib − r idτi =.R4.3.(4.3)Динамика платформы. Плоскопараллельный случай.Заметим, что для задания положения платформы число координат вектора q избыточно.
В точках Di и Ai находятся попарно соосные цилиндрическиешарниры, что обеспечивает нахождение проекции на прямой O′ Ai на плоскости O′ xy каждой из точек Bi . Чтобы выявить зависимость между координатами, введем уравнения связей, соответствующие кинематике платформы:x1x2(4.4)yb1 = − √b , yb2 = √b , x3b = 0.33Возьмем в качестве независимых координату q3 центра подвижной платформы по оси O′ z и углы поворотов q4 , q5 относительно осей O′ x и O′ y.Остальные координаты выразим через независимые, для чего воспользуемсяформулами (2.10) из главы 2.Переобозначим выбранные независимые координаты p1 ≡ q3 , p2 ≡ q4 , p3 ≡q5 и возьмем их в качестве новых обобщенных координат, однозначно задающих положение платформы.
Тогда система уравнений Лагранжа приметвид:ddt(∂T∂ ṗi)−∂T= Qi ,∂pii = 1, 3,(4.5)где Qi – обобщенные силы, соответствующие координатам pi (i = 1, 3).Обобщенные силы и кинетическая энергия находятся по соответсвующимформулам (2.8) и (2.15), выведенным в главе 2.В связи с громоздкостью явной записи уравнений динамики выделим среди возможных движений платформы класс плоскопараллельных движений,78при которых углы поворота двух кривошипов равны. Для определенности,не умаляя общности, будем считать, что в процессе движения выполняетсяравенствоα1 = α2 .Тогда будем иметь q1 = 0, q5 = 0, q6 = 0.Таким образом, у нас остались только две независимые обобщенные координаты q3 и q4 .
Заметим, что из уравнений связей (4.4) q2 выражается черезq4 :q2 =Rb(cosq4 − 1) .2(4.6)Сделаем еще одно допущение. В виду громоздкости записи решений уравнений (4.2), рассмотрим задачу, взяв только первые члены разложений в ряды Тейлора по углам αi . Тогда получим следующие решения для αi в первомприближении:bq3 − sin q4 +2α2 =1+2r√2r (Rb − Ra ) − (Rb − Ra )2 − r2 + R2,rq3 + Rb sin q4α3 =+r√4Rb2 sin2 q4 − 5Rb2 cos2 q4 + cos q4 (12Ra Rb + 6R − b2 + 12Rb r) + S,S = 4R2 + −5Rb2 − 4Rb Ra − 4Rb r − 4Ra2 − 8Ra r − 4r2 .(4.7)Приведем пример расчета.
Зададим следующие параметрыM = 100(кг),Rb = 2(м),Ra = 2(м),(4.8)M Rb2M Rb222= 25(кг м ),Jz == 50(кг м ).Jx = Jy42В случае, когда углы√ малы, значения переменных q3 и q4 будут лежать в3и 0 соответственно.малых окрестностях279Рис. 4.3: Управляющие силы.Рассмотрим следующий случай изменения обобщенных координат:√3 sin tq3 =+,2100(4.9)sin t.q4 =100Тогда решая уравнения Лагранжа (4.5), получим следующие значения дляуправляющих сил F1 , F2 , F3 , изображенные на рис.
4.3. При этом имеем всоответствии с симметрией выбранного класса движений F1 = F2 . Зная величины сил и направления их действия, легко сможем вычислить моменты вкривошипах, которые будут соответсвовать этим силам.80Для случая платформы с шестью кривошино-шатунными опорами написана программа и создана действующая физическая модель, управляемая спомощью ЭВМ. Подробнее об этом см. в Приложении B.81ЗаключениеОсновные результаты, полученные в диссертации и выносимые на защиту:1) Решены прямая и обратная задачи кинематики для нескольких разновидностей платформы Стюарта с тремя и шестью кривошипно-шатуннымиопорами и опорами в виде стержней переменной длины.2) Для нагруженныых модификаций платформы Стюарта решены прямая и обратная задачи динамики.
Платформа была смоделирована тонкимтяжелым диском и материальной точкой.3) Исследована устойчивость положений равновесия модификаций платформы Стюарта. Получены условия для обратной связи, обеспечивающиеассимптотическую устойчивость по Ляпунову.4) Для платформы с шестью кривошипно-шатунными опорами создана программа для ЭВМ, позволяющая решать задачи кинематики, визуально представлять платформу и управлять физической моделью платформы. Сконструирована и построена физическая модель платформы Стюарта скривошипно-шатунными опорами, приводимыми в движение сервоприводамипод управлением шестиканального сервоконтроллера.При решении задач кинематики и динамики использован классическийподход теоретической механики.
Трудности, связанные с громоздкостью записей уравнений динамики для трехножной и шестиножной платформы, преодолены путем выполнения расчетов в программах символьного вычисления.Более трудный случай возникает для платформы с шестью кривошипношатунными опорами, для него явное решение получено только в случае первого приближения по углам поворота сервоприводов. Для рассмотренных модификаций платформы Стюарта построены обратные связи, обеспечивающиеустойчивость положений равновесия платформы.82Приложение AМоделирование на ЭВМ кинематики платформы.Рис. A.1: Визуальное моделирование механизма.Для визуального моделирования платформы были использованы следующие программные инструментальные средства: Microsoft Visual Studio 2010,стандартные библиотеки OpenGL, входящие в состав Visual C++, библиотекаклассов Microsoft Foundation Classes - MFC.Каркас SDI Win32 программы был сгенерирован с помощью мастераMFC Application Wizard, в результате чего программа оснастилось панельюинструментов, строкой состояния, контекстной справкой, разнообразнымименю, окном сообщения об авторских правах.
Положенная в основу MFCконцепция документ/представление (document/view) позволяет отделить83данные от средств, с помощью которых пользователь имеет возможностьпросмотреть эти данные и манипулировать ими.В рассматриваемой программе объект-документ ответственен за хранение, загрузку и выгрузку законов движения, данных о геометрии платформы, а объект-представление позволяет пользователю видеть платформу наэкране под разными углами, запускать и останавливать анимацию, смотреть текущие координаты, редактировать данные, хранящиеся в документе,соответственно логике работы программы.Для реализации вывода двумерной и трехмерной графики использованодин из самых популярных на данный момент программных интерфейсов– OpenGL. Основой стандарта OpenGL стала библиотека IRIS GL, разработанная фирмой Silicon Graphics.
На данный момент реализация OpenGLвключает в себя несколько библиотек, в частности, в проекте были использованы библиотеки GLAUX и GLU [25].Верхняя и нижняя платформы представлены в виде двух дисков с тороидальными ободками, шарниры – в виде сфер, стержни – в виде двухвложенных друг в друга цилиндров с разными радиусами поперечногосечения. Источник света для сцены находится над платформой, модельотражения света – сталь.
На рис. A.1 показан вид платформы, являющийсярезультатом визуального моделирования.Программный код решения ОЗК (обратной задачи кинематики) был создан следующим образом: вывод формул был проделан в пакете символьнойалгебры Maple, затем с помощью “codegen” из этого пакета был сгенерирован84код на языке СИ, который впоследствии был непосредственно использован вVisual Studio для реализации алгоритма решения ОЗК. В результате процес-Рис.
A.2: Схема передачи данных внутри программы.са покоординатного спуска получаем рассчитанные декартовы координаты,которые и выводятся в рабочую область главного окна. Затем решаетсяОЗК, и только после этого пользователь может увидеть на экране мониторарассчитанные обобщенные координаты и сравнить их с теми значениями,которые он задал.Решение прямой задачи кинематики производится численным методом85покоординатного спуска [22, 40].Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
