Диссертация (1150804), страница 7
Текст из файла (страница 7)
В качестве обобщенных координат qi , i = 1, 6, выберем, как и в предыдущем разделе, координаты центра масс и углы поворотаплатформы относительно основания.Для удобства записи кинетической энергии и обобщенных сил поместимначало подвижной системы координат Oξηζ в центр масс нашей механической системы. Введем, как и ранее, неподвижную систему координат O′ xyz,которую свяжем с основанием механической системы. Пусть радиус-векторыв неподвижной системе координат ρµ = (µ1 , µ2 , µ3 ), ρν = (ν1 , ν2 , ν3 ) задаютположение центра диска платформы и материальной точки P соответственно.
В рассмариваемой механической системе массу имеют только тонкий дискплатформы и материальная точка P , значит центр масс ρC в системе Oξηζможно найти по формуле:ρC =ρ ν M + ρ µ M0.M + M0(3.13)В силу выбора начала системы координат Oξηζ в центре масс радиусвектор ρC будет иметь нулевые компоненты. В таком случае рассмотрим55(3.13) как систему уравнений относительно координат материальной точки(ν1 , ν2 , ν3 ). Решив ее,можем выразить координаты материальной точки черезкоординаты диска (µ1 , µ2 , µ3 ):ν1 = −M µ1M µ2M µ3, ν2 = −, ν3 = −.M0M0M0(3.14)Составим уравнения Лагранжа второго рода в виде уравнений (3.1).Для выражения кинетической энергии и обобщенных сил запишем радиусвекторы r Bi , i = 1, 2, 3, точек крепления щтоков к верхней платформе в неподвижной системе координат по аналогии с формулой (3.6):( B)rB=r+Kρ+ρ0µ .ii(3.15)Здесь r 0 – радиус-вектор начала подвижной системы координат, r 0 =(q1 , q2 , q3 ).(Как и в пердыдущемразделе, ρBi будут равны:)√3Rb RbρB=,− ,0 ,122( √)3RRbb−ρB,− ,0 ,2 =22ρB3 = (0, Rb , 0).Повторим методику предыдущего раздела и составим выражение работына элементарных перемещениях.
Работа каждой силы будет равна скалярному произведению вектора силы на вектор элементарного перемещения:BBBBBδA = (M + M0 ) gδr 0 + F 1 δr B1 + F 2 δr 1 + F 3 δr 2 + F 4 δr 2 + F 5 δr 3 + F 6 δr 3 ,(3.16)δr Bi=6∑∂r Bik=1∂qkδqk ,i = 1, 2, 3.(3.17)Здесь (M + M0 ) g – сила тяжести, действующая на механическую систему. Отсюда мы можем найти обобщенные силы Qk , равные получившимся56коэффициентам при независимых вариациях δqk , k = 1, 6.Теперь приступим к составлению выражения кинетической энергии черезобобщенные координаты и скорости. Выпишем выражение для кинетическойэнергии, аналогично предыдущему разделу, согласно теореме Кëнига [50]:)(M + M0 ) V02 1 (T =−+Jη ω12 + Jξ ω22 + Jζ ω32 .22(3.18)Здесь V0 – скорость центра платформы, Jη , Jξ , Jζ – моменты инерции механической системы относительно главных осей инерции Oη, Oξ, Oζ.Запишем выражение для квадрата сорости центра платформы:V02=3∑q̇i2 .(3.19)i=1В прошлом разделе мы нашли моменты инерции диска платформы относительно осей системы координат с началом в центре диска.
Для того, чтобынайти моменты инерции диска Jηp , Jξp , Jζp относительно осей системы координат Oη, Oξ, Oζ с началом в центре масс системы, нужно воспользоватьсятеоремой Гюйгенса-Штейнера [50]. Тогда получим:Jηp = Jη0 + M (µ22 + µ23 ),Jξp = Jξ0 + M (µ23 + µ21 ),(3.20)Jζp = Jζ0 + M (µ21 + µ22 ).Здесь Jη0 , Jξ0 , Jζ0 – моменты инерции диска относительно его центральныхосей, µ1 , µ2 , µ3 – координаты положения центра диска платформы.Окончатльно будем иметьJη = Jηp + M0 (ν22 + ν32 ),Jξ = Jξp + M0 (ν32 + ν12 ),Jζ = Jζp + M0 (ν12 + ν22 ).Здесь ν1 , ν2 , ν3 – координаты положения матриальной точки P .(3.21)57Таким образом, мы составили уравнения Лагранжа второго рода для рассматриваемой механической системы. Приведем пример решения прямой задачи – по заданным обобщенным координатам найдем силы в штоках, необходимые для осуществления такого движения.3.4.Численные примерыПриведем числовой пример.
Зададим параметры платформы:M = 200(кг), M = 500(кг), Ra = 3(м), Rb = 2(м),g = 9.81(м)c2, µ1 = 0.3(м), µ2 = 0(м), µ3 = 0.5(м)Пусть задан закон движения в виде:q1 = q2 = q4 = q5 = q6 = 0,q3 = 2 +e2 +12− e1−cos t.10(3.22)При таком движении платформа будет совершать вертикальные поступательные колебательные движения. Заметим, что функция, задающая закон изменения q3 (см. рис.
3.3), имеет первую и вторую производные, равные нулюпри t = 0.На рис. 3.4 представлены графики зависимости сил от времени, полученные при решения динамики.Заметим, что из-за симметрии платформы с грузом относительно оси O′ yсилы будут попарно равны между собой, что и показано на рис. 3.4. При заданнии обобщенных координат как функций времени удается решить задачувычисления сил и аналитически.Рассмотрим обратную задачу – по найденным силам найдем закон изменения обобщенных координат. Эту задачу аналитически решить затруднитльно, поэтому она была решена численно с помощью пакета Maple. На рис. 3.558Рис.
3.3: Программный закон движения высоты центра тяжести от времени.59Рис. 3.4: Закон изменения сил для обеспечения программного движения.60представлен результат решения обратной задачи для обобщенной переменной q3 . На графике заметно возрастающее с течением времени отклонениеот первоначально заданного в предыдущей задаче программного движения(3.22). Данный факт объясняется тем, что решение не является устойчивым,к тому же численное интегрирование накапливает погрешности вычислений,которые вызывают отклонения графика. Не ограничивая общности, в следующем разделе рассмотрим задачу достижения асимптотической устойчивости механической ненагруженной системы путем ввода обратной связи.
Длянагруженной системы все выкладки будут практически в точности соответствовать полученным для ненагруженной платформы.Рис. 3.5: Результат решения обратной задачи для q3 .Рассмотрим еще один пример.Примем, что в начальном положении расстояние между плоскостямиверхних и нижних шарниров равно h.Пусть Ra = 0.7608 м, Rb = 1 м, h = 1.0196 м, zc = 0.8 м, l = 1.255 м, mg =10 4 Н. В уравненях кинематики и динамики данной платформы перейдемк безразмерным переменным.
За единицу длины примем величину Rb , за61единицу силы — силу тяжести mg всей системы, безразмерное время введем,полагая t̃ = ωt (ω 2 = g/Rb ). Отличать безразмерные величины от размерныхбудем использованием знака "тильда" , как это сделано для времени.Во всех расчетах, выполненных на компьютере, сила инерции и вес стержней не учитывались.Анализ динамики данной платформы начнем с вычисления усилий встержнях, обеспечивающих простейшее заданное колебательное вертикальное движение платформы по законуq̃3 (t̃) = h + 0.2 (1 − e−t̃/2 )2 sin t̃ = h + z̃0 (t̃),(3.23)где z̃0 (t̃) - отклонение центра подвижной платформы от высоты h по вертикали.Заданный закон движения имеет особенность, которая заключается в том,что в начальный момент времени и скорость, и ускорение платформы равнынулю.
В противном случае в начальный момент времени потребовалось бымгновенное ударное приложение силы или ее скачок. При сделанных предположениях усилия, создаваемые стержнями для осуществления движения(3.23), будут одинаковыми. График изменения данного усилия Fe(t̃) представлен на рис. 3.6.Перейдем теперь к обсуждению обратной задачи динамики для случаядвижения по вертикали. Это движение описывается одним дифференциальным уравнением второго порядка относительно z̃0 (t̃). Поэтому решение прямой задачи позволяет определить усилие Fe(t̃) в аналитической форме.
Использование этого аналитического выражения при численном решении обратной задачи приводит при достаточно большом промежутке времени к заметной ошибке. Поэтому рассмотрим небольшой промежуток интегрирования,но к усилию Fe(t̃) добавим малое возмущение, положив62Рис. 3.6: Управляющие воздействия стержней на платформу.∆Fe(t̃) = 0.0001 (1 − e−t̃/2 ) sin 2t̃.(3.24)В результате интегрирования получаем функцию z̃0 (t̃), приведенную нарис. 3.7. Из графика видно, что на начальном промежутке времени (0 < t̃ <12) введенное возмущение сказывается незначительно, в то время как в дальнейшем наступает интенсивное движение по вертикали. Устойчивого движения удастся добиться лишь с помощью обратной связи, которая будет введенав следующем разделе этой главы.Рассмотрим теперь причину возникновения неустойчивости движения повертикали.
Для простоты возмущение ∆Fe(t̃), задаваемое выражением (3.24),будем добавлять не к переменной силе Fe(t̃), а к постоянной силе Fe0 = Fe(0),соответствующей положению равновесия. Численное решение обратной задачи приводит в этом случае к функции z̃0 (t̃), представленной на рис. 3.8. Каки при переменной силе, через некоторое время после начала движения наблюдается стремительный уход платформы вверх.
Поясним сущность этогоявления простейшим образом, полагая для простоты, что выражение (3.24)имеет вид∆Fe(t̃) = 0.0001 sin 2t̃.(3.25)63Рис. 3.7: Уход платформы вверх.На рис. 3.9 отрезок BA0 отражает один из стержней в статическом равновесии платформы. Точке A1 на рис. 3.9a соответствует положение верхнего конца стержня при максимальных значении функции (3.25), а точкеA2 — положение этого же конца стержня при минимальном значении этойфункции. По модулю эти силы равны, а направлены соответственно, каквекторы ∆F1 и ∆F2 . Так как для углов имеется соотношение α2 > α1 , то|∆F1 cos α1 | > |∆F2 cos α2 |.
Поэтому за каждый период изменения функции(3.25) со стороны стержня создается избыток вертикальной силы, движущийплатформу вверх.Обсуждаемый избыток силы имеет малую величину, но именно благодаря нему и начинается возбуждение ухода платформы вверх. Далее основной вклад в движение платформы вверх создает изменение вертикальной составляющей статической нагрузки F0 , являющейся значительной величиной.Действительно, как видно из рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
