Диссертация (1150804), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Следовательно, для устойчивости требуется положительность всех коэффициентов d1,i , d2,i , что позволит получить34следующие ограничения на коэффициенты k1,j , j = 1, 6, обеспечивающиеасимптотическую устойчивость тривиального решения системы (1.14) и (1.8):√3 R2 + 2h2k1,1 < −, k1,2 < 0,2 R(R2 + h2 )√1 R2 + 2h2(1.20)k1,3 < −, k1,4 < 0,2 R(R2 + h2 )R2, k1,6 < 0.k1,5 < −h(R2 + h2 )Приведем пример. Пусть R = 1 (м), h = 2 (м), m =200 (кг), и приложены управляющие силы Gi = G∗i . Возмутим тривиальное решение, положивq3 = h + 0.1, q1 = q2 = 0 при t = 0.

На рис. 1.3 показан результат численногорешения дифференциального уравнения (1.8) для q3 (t). Теперь введем обратную связь ui так, чтобы Gi = G∗i + G∗i ui . При этом должны удовлетворятьсяусловия (1.20). Для этого положим k1,i = −10, i = 1, 6.После численного интегрирования уравнений (1.8) получим график зависимости q3 (t), показывающий асимптотическую устойчивость тривиальногорешения (см. рис.

1.4).Таким образом, был изучен вопрос об устойчивости положения равновесия новой механической системы с тремя штоками переменной длины.Для исходной механической системы с кривошипно-шатунными опорамизначения сил с обратными связями, обеспечивающими асимптотическуюустойчивость, можно найти по формулам (1.4), где Gi = G∗i + G∗i ui .Заметим, что в случае, если имеем дело с платформой, а не с материальной точкой, то решение с заменой на эквивалентную систему усложняется.Аналогично предыдущему, если будем рассматривать систему со штоками, топодобрать силы в штоках эквивалентными кривошипно-шатунному механизму не удается.

Это связано с тем, что необходимо иметь одинаковый главныйвектор сил и вместе с этим одинаковый главный момент, в то время как точки35приложения сил остаются неизменными.36Глава 2Платформа с тремя степенями свободы на трех штоках.2.1.КинематикаРассмотрим кинематику платформы, опирающуюся на три стержня регулируемой длины (см. рис. 2.1).Подвижная платформа моделируется плоской пластиной в формеправильного треугольника. Движение платформы управляется тремя стержнями переменной длины Ai Bi (i = 1, 3), соединенными сферическими шарнирами с подвижной платформой в точках Bi и цилиндрическими шарнирами соснованием в точках Ai .

Положение и ориентация подвижной платформы регулируется за счет целенаправленного изменения длин стержней, на которыеона опирается, что вызывает соответствующее изменение углов их наклонак основанию. Точки Bi (i = 1, 3) образуют правильный треугольник, вокругкоторого может быть описана окружность радиуса Rb .

В основании также образуется правильный треугольник, вписанный в окружность с радиусом Ra→и имеющий центр в точке O′ . Ось −a i цилиндрического шарнира в каждой−−→→точке Ai лежит в плоскости основания и −a i ⊥O′ Ai .Введем неподвижную декартовую систему координат O′ xyz и системукоординат Oξηζ, скрепленную с подвижной платформой. При этом точки Aiв неподвижной системе будут иметь координаты(√)( √)3Ra Ra3Ra RaA1 =, − , 0 , A2 = −, − , 0 , A3 = (0, Ra , 0).2222Аналогично для точек Bi в подвижной системе координат Oξηζ имеем:(√B1 =)3Rb Rb, − , 0 , B2 =22( √−)3Rb Rb, − , 0 , B3 = (0, Rb , 0).2237B3zB2OyB1A3hO′A2xA1Рис. 2.1: Общая схема платформы с тремя стержнями.Радиусы-векторы точек Ai и Bi в неподвижной системе координат будемрассматривать как столбцыxi arai =  yaizaixib i i , rb =  yb  , i = 1, 3.izb(2.1)Если точка определяется вектором ρν в подвижной системе координат, тов неподвижной она будет задаваться векторомr ν = r 0 + Kρν ,(2.2)где r 0 есть радиус-вектор точки O – начала подвижной системы координат, K– матрица поворота подвижной системы координат относительно неподвижной:K −1 = K T , det K = 1,38c2 c3−c2 s3s2K =  c1 s3 + c3 s2 s1 s3 c1 − s2 s3 s1 −c2 s1s1 s3 − c1 s2 c3 c1 s2 s3 + c1 s3 c2 c1,(2.3)ci = cos ψi , si = sin ψi , i = 1, 3.Здесь через ψi (i = 1, 3) обозначены углы крена, тангажа и рысканья платформы.

С помощью (2.2) можно найти радиус-векторы r ib точек Bi креплениякаждого стержня к верхней платформы. Тогда длины стержней вычисляютсяпо формуламli =√(rbi − rai)T ()rbi − rai ,(2.4)i = 1, 3.Для удобства последующих записей введем в рассмотрение единичные векторы ei , направленные вдоль каждого из стержней от Ai к Bi :r ib − r ia.ei =liПоложениеплатформыоднозначно(2.5)задаетсявекторомq=(x0 , y0 , z0 , ψ1 , ψ2 , ψ3 ) с шестью координатами, описывающими положениеи ориентацию платформы относительно неподвижного основания, причемx0 , y0 , z0 – декартовы координаты точки O в неподвижной системе координатO′ xyz, а ψ1 , ψ2 , ψ3 – соответственно углы крена, тангажа и рыскания.

Такимобразом, по заданным обобщенным координатам qi можно найти длиныстержней и наоборот.2.2.Уравнения динамики платформы с тремя стержнямиПусть центр масс платформы находится в центре треугольника B1 B2 B3 ,стержни предполагаются невесомыми.39Воспользуемся классической методикой аналитической механики для составления уравнений динамики [50]. Выберем q в качестве обобщенных координат и запишем уравнения Лагранжа второго рода.Пусть V0 – скорость точки O . ТогдаV02=ẋ20+ẏ02+ż02=3∑q̇i2 .(2.6)i=1Обозначим через Ji , i = 1, 3, главные центральные моменты инерции подвижной платформы. Пусть ωi – составляющие вектора мгновенной угловой скорости. Тогдаcos ψ2 cos ψ1 sin ψ1 0ψ̇ 1 ω =  − cos ψ2 sin ψ1 sin ψ1 0   ψ̇2  .sin ψ201ψ̇3(2.7)Теперь выражение для кинетической энергии можно представить в видеM V02 (q) ∑ 1+Ji ωi2 (q).T (q) =22i=13(2.8)Заметим, что для задания положения платформы число координат вектора q избыточно.

В точках Ai штоки соединяются с нижней платформойA1 A2 A3 с помощью цилиндрических шарниров таким образом, что всегдапроекция на плоскость O′ xy каждой из точек Bi лежит на прямой O′ Bi (см.рис. 2.2). Чтобы выявить зависимость между координатами, введем уравнения связей, соответствующих кинематике платформы:yb1x1bx2b2= − √ , yb = √ , x3b = 0.33(2.9)40yA3 (0, Ra )O′(Ra , 0)x30oA2 (−√312 Ra , − 2 Ra )A1 (√312 Ra , − 2 Ra )Рис.

2.2: Основание платформы.Возьмем в качестве независимых координату q3 центра подвижной платформы по оси O′ z и углы поворота q4 , q5 относительно осей O′ x и O′ y. Остальные координаты выразим через независимые:Rb cos q5 sin q4 sin q5,q1 = −cos q4 cos q5 + 1Rb sin2 q5 − cos2 q5 sin2 q4,q2 =2cos(q4 cos q5 + 1 )sin q4 sin q5.q6 = − arctansin q4 + sin q5(2.10)Здесь −π/2 < q4 < π/2, −π/2 < q5 < π/2.Переобозначим выбранные независимые координаты p1 ≡ q3 , p2 ≡ q4 , p3 ≡q5 и возьмем их в качестве новых обобщенных координат, однозначно задающих положение платформы. Тогда система уравнений Лагранжа приметвид:ddt(∂T∂ ṗi)−∂T= Qi ,∂pii = 1, 3,(2.11)где Qi – обобщенные силы, соответствующие координатам pi (i = 1, 2, 3).41Уравнения (2.10) позволяют выразить вектор q через вектор p:(2.12)q = q(p).Подставив(2.12) в(2.8), найдем выражение для кинетической энергиичерез обобщенные координаты p и обобщенные скорости ṗ.Для составления выражений обобщенных сил Qi выпишем силы и радиусвекторы точек их приложения в проекциях на оси неподвижной системы координат.

На платформу действуют сила тяжести F0 , приложенная к точкеO с радиус-вектором rb0 и направленная вдоль оси O′ z, а также три силыFi (i = 1, 3), приложенные к точкам Bi (i = 1, 3) с радиус-векторами rbi инаправленные вдоль векторов ei .

С помощью формул (2.12) и (2.5) мы можем найти выражения для ei через обобщенные координаты p. В результатеполучимFi (p) = Fi ei (p),F0 = (0, 0, −M g)T .(2.13)Составим выражение элементарной работы0δA = F 0 (p)δr (p) += −M gδp1 +3∑F i (p)δr ib (p) =i=133∑∑i=1∂r ib (p)F i (p)δpj .∂pjj=1(2.14)Обозначим через Fxi , Fyi , Fzi компоненты вектора Fi и найдем обобщенныесилы, равные коэффициентам при независимых вариациях δpj в выражении(2.14) :)3 (iii∑∂x∂y∂zQj =Fxi+ Fyi+ Fzi.∂p∂p∂pjjji=0(2.15)42Здесь индекс i = 0 используется для обозначения координат центра подвижной платформы и силы тяжести.

Заметим, что с помощью формул (2.15) проекции сил Fxi , Fyi , Fzi выражаются через обобщенные координаты pi и внешниеуправляющие силы Fi , i = 1, 3, которые могут быть заданы как функции времени, или как функции обобщенных координат pi , или как каждая функциятолько "своей" длины li , которая также в конечном счете зависит от обобщенных координат.Подставляя (2.15) в уравнения Лагранжа (2.11), получим систему дифференциальных уравнений относительно обобщенных координат.Наоборот, при заданном программном движении, т. е. при задании pi =pi (t) как функций от времени, из (2.11) можем найти управляющие силы Fi(i = 1, 3) как функции времени.2.3.Стабилизация равновесия горизонтального положения платформыПусть в системе реализуется стационарный режим(2.16)p1 = h, p2 = p3 = 0.Из уравнений Лагранжа (2.11) определим стационарные значения сил Fi∗ ,обеспечивающих это состояние равновесия:Fi∗√1= M g (Ra − Rb )2 + h2 ,3i = 1, 3.(2.17)Для исследования поведения системы в окрестности положения (2.16)введем малые приращения координат ∆pi , а также дополнительные малые43управляющие силы ∆Fi .

Тогда имеемp1 = h + ∆p1 ,p2 = ∆p2 ,(2.18)p3 = ∆p3 ,Fi = Fi∗ + ∆Fi , i = 1, 3.Введем безразмерные управляющие силы:ui =∆Fi,Fi∗i = 1, 3.(2.19)Теперь из уравнений Лагранжа (2.11) получим уравнения первого приближения, которые запишем в матричном видеp̈ = Hp + Gu.(2.20)Матрицы H и G – постоянные матрицы размера 3 × 3, u = (u1 , u2 , u3 )T .Если положить в (2.20) ui = 0 для i = 1, 3, то получим системуp̈ = Hp,(2.21)для которой можно показать, что ее решение будет неустойчиво. Для этогодостаточно записать матрицу Hgs200 h(s2 + h2 )M gRb (s2 Ra + h2 (Ra − Rb ))H=002hJ1 (s2 + h2 )M gRb (s2 Ra + h2 (Ra − Rb ))002hJ2 (s2 + h2 ),где s2 = (Ra − Rb )2 .Из вида матрицы H следует, что колебания по обобщенным координатам"развязываются" , и тривиальное решение экспоненциально неустойчиво.Это означает, что для обеспечения реализации стационарного положения44(2.16) платформы необходимо дополнительное управляющее воздействие.Запишем систему дифференциальных уравнений в форме Коши:ż = Az + Bu,(2.22)Tz = (p1 , p˙1 , p2 , p˙2 , p3 , p˙3 ) ,0gs2 h(s2 + h2 )0A=001000000001M gRb γ002hJ1 (s2 + h2 )000000gg3300B= − M gRb − M gRb6J16J100M gR M gRb√ b− √2 (3)J2 2 (3)J200M gRb γ2hJ2 (s2 + h2 )0g30M gRb .−3J1 00000,10Здесьγ = (s2 Ra + h2 (Ra − Rb )).Управление будем строить в виде линейных обратных связей:u = Kz,(2.23)где K = ∥kij ∥(3,6) – постоянная матрица, подлежащая определению.

Характеристики

Список файлов диссертации