Диссертация (1150801), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Наличие этого минимума отмечалось ранеев работе Иотти и Андреани [69].Мы сопоставили полученный результат с двумя простыми моделями: модель движущегося экситона для широких квантовых ям и модель двумерногоэкситона для узких квантовых ям. Оба приближения показаны на рисунке 3.2кривыми разного цвета. Волновая функция в широкой квантовой яме записывается как [58]:√︃(, ) =(︂)︂(︁ )︁cos exp −,3 **2(3.6)где – расстояние между электроном и дыркой, * = − 2 – эффективная ширина квантовой ямы, отличающаяся от реальной ширины квантовойямы на удвоенную ширину переходного слоя [34, 111, 112]. Последняяявляется феноменологическим параметром, отражающим невозможность перемещения экситонного центра масс до границы квантовой ямы.
При отсутствии структурных нарушений вблизи гетерограниц, основной причиной существования переходного слоя является орбитальное движение носителей вэкситоне, препятствующее приближению центра масс экситона к границе навеличину, меньшую боровского радиуса. Часть волновой функции (3.6), зависящая от , представляется простой функцией cos (/* ). Это выражение отражает общепринятое определение переходного слоя как расстоянияот поверхности квантовой ямы до ближайшей точки, в которой трансляционная волновая функция экситона обращается в ноль. Это определение проиллюстрировано на вставке на рисунке 3.2 (б). Подставляя волновую функцию (3.6) в уравнение (3.2), мы рассчитали скорость радиационного распада вквантовой яме с бесконечными барьерами и постоянной величиной мертвогослоя = 14.23 нм.
Это значение было получено варьированием этого параметра для наилучшего совпадения кривых на рисунке. Полученная кривая57показана пунктирной кривой на рисунке 3.2(а). Видно, что такое приближение допустимо для квантовых ям шириной ≥ 140 нм.Возможно получить более аккуратную аппроксимацию зависимостиΓ0 (), используя переменную величину переходного слоя [113]. Мы определили величину с помощью подгонки численно рассчитанной функцииΦ() функцией (3.6) при = 0 (см. врезку на рисунке 3.2 (б)). Полученные величины представлены на рисунке 3.2 (б) точками. Зависимость от ширины квантовой ямы хорошо аппроксимируется выражением: = (1 − exp (−/0 )) + , где = 20.6 ± 0.5 нм, 0 = 70 ± 2 нм, а = −5.7 ± 0.7 нм. Используя такой подход и величину = 14.23 нм, мыполучили более аккуратную аппроксимацию ~Γ0 (), показанную на рисунке 3.2(а) красной сплошной кривой.
Это приближение удовлетворительно дляширин квантовых ям вплоть до 100 нм.Для более узких квантовых ям мы применили приближение двумерногоэкситона. Волновая функция 2D-экситона имеет вид [58]:√︃(︂)︂2exp −,( , ℎ , ) = ( )ℎ (ℎ )2effeff(3.7)где eff – эффективный радиус двумерного экситона, ( ) и ℎ (ℎ ) – волновые функции свободных электрона и дырки в квантовой яме с конечной величиной барьеров.
Функция (3.7) является решением задачи на собственныезначения с гамильтонианом (3.1) и двумерным кулоновским потенциалом,−2 /(). В строго двумерном экситоне eff является двумерным экситоннымрадиусом Бора:2D~2 =,22(3.8)который в два раза меньше .Экситон в квантовых ямах с конечной высотой барьеров не достигает двумерного предела из-за проникновения волновой функции экситона в барьеры.Поэтому, мы рассматриваем eff как подгоночный параметр. Мы подгоняемволновую функцию (3.7) к численно полученной волновой функции Φ(),варьируя эффективный радиус eff . Полученные таким образом значения радиуса двумерного экситона представлены на рисунке 3.2 (c).
Видно, что effуменьшается при → 4 нм, а затем увеличивается при → 0. Такое поведе-58Рисунок 3.2: (а) Скорость радиационного распада в единицах энергии, ~Γ0 , какфункция ширины квантовой ямы, . Синие точки — расчёт методом конечныхразностей. Штриховая кривая — ~Γ0 объёмного экситона в квантовой яме с бесконечновысокими барьерами и постоянным переходным слоем = 14.23 нм. Сплошная краснаякривая — расчёт с варьируемым переходным слоем, приведённым на рисунке (б).Сплошная зелёная кривая — ~Γ0 двумерного экситона с эффективным радиусом eff ,приведённым на рисунке (в). (б) Переходный слой как функция ширины квантовой ямы.На вставке функция Φ() и её аппроксимация функцией cos(/* ) для квантовой ямышириной = 150 нм.
Стрелка “ ” показывает определение переходного слоя. (в)Эффективный радиус двумерного экситона, eff , полученный численно (точки) дляквантовых ям 0 – 30 нм и его аппроксимация функцией (3.9) (сплошная кривая) спараметрами: 1 = 9.5 ± 0.4 нм, 1 = 14 ± 1 нм, 2 = 6.0 ± 0.5 нм, 2 = 2.4 ± 0.3 нм.Пунктирные кривые показывают вклады функций squ () и pen () из уравнения (3.9).59ние хорошо описывается феноменологической формулой: () = squ () + pen ()[︁(︁)︁]︁ [︁]︁−/1−/2= 2D + 1 1 − + 2 .(3.9)Первая часть этой функции, squ (), стремится при → 0 к двумерномупределу задаваемому уравнением (3.8), 2D = 7.9 нм для GaAs, и отражаетсжатие экситона в узких квантовых ямах. Другая часть выражения, pen (),увеличивается при → 0 и отвечает проникновению экситона в барьерыквантовой ямы. Используя эту зависимость, мы рассчитали ~Γ0 в модели двумерного экситона, см.
рисунок 3.2(a). Эта модель, даже с учётом варьируемого эффективного радиуса экситона, eff , даёт удовлетворительную величинускорости радиационного распада только для узких квантовых ям ≤ 15 nm.Описанные приближения применимы либо для узких, либо для широкихквантовых ям. Экситоны в квантовых ямах промежуточной ширины не могутбыть описаны в терминах этих моделей. Только в прямом численном расчёте могут быть получены точные значения скорости радиационного распадаэкситона для широкого диапазона ширин квантовых ям.3.2Взаимодействие экситона со светом в квантовой яме в присутствии магнитного поляИспользуя выражение (3.2) и волновые функции, получаемые с помощьючисленного решения уравнения Шредингера (см.
раздел 2.3), мы рассчиталискорости радиационного распада четырёх экситонных состояний в квантовыхямах InGaAs/GaAs различной ширины в магнитных полях от нуля до 6 Тл.Результаты в единицах энергии (~Γ0 ) приведены на рисунке 3.3. Отличие отописанной в разделе 2.3) модели состоит в том, что в качестве гамильтониана использован базовый гамильтониан в присутствии магнитного поля 2.8,опуская члены описывающие взаимодействие магнитных моментов носителейс полем.12+ ( , ℎ ) + = + ℎ −2(︂2)︂2(3.10)60Рисунок 3.3: Зависимость скорости радиационного распада экситона отширины квантовой ямы и магнитного поля для четырёх нижайшихсостояний в квантовой яме In0.02 Ga0.98 As/GaAs.
Поверхности: белая – первоесостояние, фиолетовая – второе, зелёная – третье, жёлтая – четвёртое.61Эдесь (ℎ ) – кинетическая энергия носителя в зоне проводимости (валентной зоне). Последнее слагаемое соответствует параболическому потенциалумагнитного поля. Зона проводимости в арсениде галлия описывается эффективной массой электрона, а для описания валентной зоны используется гамильтониан Латтинджера [26]. Сама валентная зона состоит из вырожденныхв Γ точке подзон тяжёлой и лёгкой дырок. В общем случае подзоны смешиваются, однако в квантовой яме эффект размерного квантования снимаетвырождение, расщепляет подзоны и подавляет смешивание. Смешивание вквантовых ямах InGaAs дополнительно подавляется расщеплением подзон,вызванным напряжением слоя квантовой ямы, поэтому смешиванием в расчётах можно пренебречь.
Такой подход приводит к анизотропным массамдырки: ℎℎ(ℎ) = 0 /(1 ∓ 22 ) и ℎℎ(ℎ) = 0 /(1 ± 2 ). Помимо диамагнитного слагаемого, магнитное поле также приводит к дополнительномусмешиванию состояний тяжёлых и лёгких дырок, которое вызывает перенормировку -фактора (см. главу 2). Оценки показывают, что это смешивание,однако, приводит к очень малому изменению волновой функции (менее 2%)и, таким образом, не может существенно повлиять на результаты расчётаскорости радиационного распада.Описанные упрощения приводят к простой форме гамильтониана для численного решения задачи на собственные значения:[︁ 2 (︁ 2~− 22 −12√1 +1222 +( −ℎ )2)︁−~2 22 2−~2 22ℎ ℎ2 −+ ( , ℎ ) +(︀ )︀2 ]︁( , ℎ , ) = ( , ℎ , )2 (3.11)Здесь — приведённая масса с ℎ в качестве эффективной массы дырки.
Эта форма гамильтониана аналогична диагональной части гамильтониана, использованного в главе 2 если опустить слагаемые, описывающие взаимодействие угловых моментов электрона и дырки с магнитным полем. Задачана собственные значения сформулирована относительно функции ( , ℎ , )с нулевыми граничными условиями, которая соотносится с волновой функцией экситона как:62(, , , , , ℎ )(3.12) (, ) где – волновая функция экситона, которая благодаря симметрии задачи( , ℎ , ) =имеет частично аналитическую запись в координатах центра масс и в плоскости квантовой ямы, полярных координатах внутреннего движенияэкситона (, ) в плоскости квантовой ямы и координатах электрона, , идырки, ℎ , вдоль оси роста, что приводит к:(, , , , , ℎ ) = (, ) ( , ℎ , ) (3.13)здесь – плоские волны вдоль и направлений, характеризующие движение центра масс в плоскости квантовой ямы.
Мы рассматриваем экситонс волновыми векторами = = 0 и тогда является константой справильной нормировкой.Задача на собственные значения (3.11) была решена численно методомконечных разностей на прямоугольной сетке 70 × 70 × 200 точек в направлениях , ℎ и в области от 40 × 40 × 400 нм3 для узких квантовых ям до200 × 200 × 400 нм3 для наиболее широких квантовых ям.Коэффициент отражения0.62K14.9 K9.2 K1492 1494 14961492 1494 1496,15.6 K19.2 K0.50.42s+350.360.2421492 1494 1496Энергия фотона мэВ1492 1494 14961492 1494 1496Рисунок 3.4: Спектры отражения 95-нанометровой квантовой ямыInGaAs/GaAs при разных температурах. Кружки – экспериментальныеданные, красная кривая соответствует подгонке по формуле (3.15).Зависимость скорости радиационного распада от ширины квантовой ямыв основном определяется перекрытием функции Φ() со световой волной, записанным в виде интеграла в выражении (3.2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
