Диссертация (1150801), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Измерения проводились с раздельным детектированием сигнала в + и в − поляризации.Эволюция циркулярно поляризованной люминесценции в магнитном поледо 3 Тл продемонстрирована на рисунке 2.2. Левая и правая часть графикасоответствует + и − поляризациям, соответственно. Линии, сформированные пиками люминесценции, смещаются вверх по энергии из-за диамагнитного сдвига. Различие в сдвигах между + и − поляризациями являетсясвидетельством расщепления линий, обсуждаемого далее.30Помимо экситонных линий, наблюдаются несколько более слабых спектральных линий, выходящих из общей точки вблизи ≈ 1.489 эВ. Они показывают почти линейную зависимость от поля.
Мы идентифицируем их какмодифицированные магнитным полем возбужденные экситонные состояния2s, 3s, и т. д. Они характеризуются бо́льшим расстоянием между электрономи дыркой по сравнению с основным состоянием, поэтому они легко достигают, так называемого, предела диамагнитного экситона (критерий ЭллиоттаЛудона [98]) при относительно небольших значениях магнитного поля. В диамагнитном экситоне электрон и дырка, в основном локализованы, магнитнымполем, а кулоновское взаимодействие задаёт лишь слабую локализацию вдольмагнитного поля. В пределе больших магнитных полей, носители занимаютуровни Ландау, и энергия перехода приобретает линейную зависимость отмагнитного поля. Энергетический интервал между основным состоянием экситона и точкой в нулевом поле, где сходятся уровни Ландау, является экспериментально определённым 1s-2s энергетическим зазором.
Аккуратная обработка данных даёт значение 3.2±0.2 мэВ. Это значение находится в хорошемсогласии с предыдущими экспериментальными наблюдениями и теоретическими работами для объёмного GaAs [99, 100].Поведение уровней размерного квантования экситона, извлечённые изспектров разложением по контурам Лоренца (как это сделано на рисунке 2.1),приведены на рисунке 2.3. Энергетическое расстояние между пиками люминесценции, зарегистрированными в противоположных циркулярных поляризациях представляет собой зеемановское расщепление, величина которогоуменьшается с ростом номера уровня размерного квантования и для шестогосостояния имеет обратный знак.
Пятое состояние представляет особый интерес, поскольку его суммарный магнитный момент оказывается нулевым, какпоказывает эксперимент. Следующий раздел посвящён анализу этого расщепления. В нём мы приведём теорию, объясняющую это явление.2.2 ТеорияМырассматриваемэкситонкаккулоновски-связаннуюэлектрон-дырочную пару. Зона проводимости дважды вырождена из-за спина3114926Энергия, мэВ149114905148943148821148700.511.52Магнитное поле, Тл2.53Рисунок 2.3: Положения спектральных пиков как функция магнитногополя, полученные из данных показанных на рисунке 2.2.
Сплошные ипустые кружки соответствуют разным циркулярным поляризациям.электрона равного 1/2. Валентная зона в полупроводнике типа GaAs имеетчетырёхкратно вырожденную структуру, которая описывается гамильтонианом Латтинджера [26]. Гамильтониан экситона записывается в базисесобственных состояний z-проекции углового момента дырки, ^ , в виде:^2^2^ = + ℎ 1 +220⎛(︁^2+010000010−√330−^22200)︁√ (︁ 2^ −^2 2 ⎜3 ⎜0⎜+⎜120⎝⎛^20⎜^ , ^ } + {^ , ^ }⎜−{⎜⎜^^−{,} ⎝0)︁⎛12 ⎜⎜0⎜⎜0⎝000−100−100⎞0⎟20⎟⎟ − + ( , ℎ ) + ℎ ^ + +⎟0⎠ 1⎞0⎟1⎟⎟−0⎟⎠0(2.1)^ , ^ } + {^ , ^ }{^ , ^ }{000^^ }−{ , 0^^^ , ^ }{ , } − {0⎞⎟^ , ^ }⎟{⎟^ , ^ } − {^ , ^ }⎟−{⎠0В этом выражении, – эффективная масса электрона, 0 – масса свободного электрона, ^ (^ℎ ) – оператор импульса электрона (дырки), а –единичная матрица 4 × 4.
Операторы ^ , ^ и ^ являются компонентами оператора импульса дырки. Величины 1 , 2 и 3 – параметры Латтинджера, –диэлектрическая постоянная полупроводника, – относительное расстояние32между электроном и дыркой, а – заряд электрона. Функция ( , ℎ ) описывает прямоугольный потенциал квантовой ямы.
Последние два слагаемых впервой строке описывают эффект Зеемана для свободной дырки и свободногоэлектрона. Величины ℎ и – исходные -факторы дырки и электрона, соответственно. Диагональная матрица ^ = (+3/2, +1/2, −1/2, −3/2) описывает -проекцию углового момента дырки. Соответственно, -проекция спинаэлектрона описывается величиной . Зеемановские слагаемые записаны дляполя направленного вдоль оси .
Фигурные скобки, {^ , ^ }, обозначаютантикоммутатор операторов:{^ , ^ } =^ ^ + ^ ^2(2.2)В присутствии магнитного поля B, операторы ^,ℎ необходимо обобщить. Сиспользованием симметричной калибровки они приобретают вид:^,ℎ = −~∇,ℎ ± [B × r,ℎ ]2(2.3)где r (rℎ ) – радиус-вектор электрона (дырки).Выражение (2.1) является гамильтонианом экситона в гетероструктурес квантовой ямой, состоящей из полупроводниковых слоёв кубической симметрии.
Уравнение Шрёдингера с гамильтонианом (2.1) не может быть решено аналитически в общем случае. В случае объёмного полупроводника,слагаемые описывающие валентную зону могут быть перекомпонованы в двематрицы: одну диагональную и малую добавку к ней, содержащую как диагональные, так и внедиагональные элементы, которые можно рассматриватькак возмущение [99]. Невозмущённый гамильтониан распадается на четыренезависимых гамильтониана. Уравнение Шрёдингера с этими гамильтонианами отдельно описывает движение центра масс и внутреннее движение вэкситоне как для экситона с тяжёлой дыркой, так и для экситона с лёгкойдыркой. Итоговые собственные функции представляют собой плоские волныдля движения центра масс и водородоподобные функции для относительногодвижения электрона и дырки.Для экситона в квантовой яме похожее разделение переменных невозможно даже если пренебречь смешиванием тяжёлых дырок с лёгкими дырками.33В частности, ввод координат центра масс не приводит к разделению переменных вдоль оси z.
Для квантовой ямы промежуточной ширины, рассмотрениепотенциала ( , ℎ ) как возмущения по отношению к кулоновскому потенциалу приводит к недопустимым расхождениям. Поэтому, необходимо использовать численную процедуру, чтобы решить шестимерную задачу кулоновскивзаимодействующих электрона и дырки, локализованных потенциалом квантовой ямы конечной глубины и промежуточной ширины.Особенности исследуемых гетероструктур дополнительно усложняют поставленную задачу. Во-первых, постоянные решётки InAs и GaAs отличаются,поэтому слой квантовой ямы напряжён.
Напряжение приводит к расщеплению подзон тяжёлых дырок и лёгких дырок, что снижает смешивание тяжёлых дырок с лёгкими дырками по сравнению с ненапряжённым материалом.Во-вторых, сегрегация атомов индия во время роста изменяет среднюю ширину квантовой ямы и нарушает заданный прямоугольный потенциал квантовой ямы.
Мы учитываем этот эффект, используя модель, предложенную вработе [89], подбирая параметры таким образом, чтобы рассчитанный спектрэкситонов был наиболее близок к экспериментально полученному.Мы используем численное решение задачи состоящее из двух шагов. Вопервых, мы находим решение уравнения Шрёдингера с основным гамильтонианом (первая строка гамильтониана (2.1)). Затем мы используем полученные волновые функции как ограниченный базис, чтобы составить матрицуполного гамильтониана и диагонализовать её.На первом шаге, мы используем цилиндрическую симметрию задачи сосновным гамильтонианом и разделяем её на проблемы меньшей размерности.
В частности, уравнения Шрёдингера для экситонов с тяжёлой и с лёгкой дырками могут решаться отдельно. Движение экситона как целого вдольслоя квантовой ямы (плоскость xy) может быть отделено от относительногодвижения электрона и дырки в этой плоскости. Соответствующее уравнениеШрёдингера имеет решение в виде плоских волн, описывающих движениецентра масс экситона в плоскости xy. Вводя полярные координаты и дляотносительного движения носителей в плоскости xy, мы получим аналитическую зависимость волновой функции от угла в виде − .
Здесь –34z-проекция орбитального момента экситона, который сохраняется благодарясимметрии основного гамильтониана.Таким образом мы получили аналитическое решение для движение центра масс экситона в плоскоти xy и для орбитального движения электрона идырки в этой плоскости. Оставшаяся волновая функция, зависящая от координат , , и ℎ может быть получена численно решением трёхмерной задачи на собственные значения. При приложении магнитного поля вдоль осиz, цилиндрическая симметрия допускает похожую факторизацию волновойфункции [101], которая обсуждается в следующем разделе.На втором шаге, мы формируем матрицу полного гамильтониана (2.1),используя полученные волновые функции основного гамильтониана, , как^ | ⟩, рассчитываются чабазис.
Элементы матрицы гамильтониана, ⟨ | стично численно, а частично аналитически. Диагонализация матрицы полного гамильтониана (2.1) с обобщёнными операторами (2.3) позволяет получить Зеемановские расщепления для данного значения магнитного поля.Для каждого значения магнитного поля базис и все матричные элементыдолжны быть сосчитаны заново, поскольку магнитное поле изменяет волновые функции в базисе. С другой стороны, магнитное поле разрежает спектрсостояний, уменьшая плотность состояний в интересующей нас области. Этозначительно упрощает численные расчёты.2.3 Моделирование2.3.1 Шаг 1: Получение базиса основного гамильтонианаЭтот подраздел посвящён численным расчётам волновых функций основного гамильтониана (первая строка в выражении (2.1)).
Основной гамильтониан имеет вид:(︁^ =)︁22^^ℎ + ℎ (1 ± 2 )^2+220^2 (1 ∓ 22 )2+ ℎ+ ( , ℎ ) − ,20(2.4)35здесь верхний (нижний) знак соответствует экситону с тяжёлой (лёгкой) дыркой. Потенциал квантовой ямы записывается как: ( , ℎ ) = [ℎ( − ) + ℎ( − )] + [ℎ( − ℎ ) + ℎ(ℎ − )] ℎ ,(2.5)где ℎ() – функция Хэвисайда, ,ℎ и ,ℎ – координаты и глубинаквантовой ямы для электрона и дырки, соответственно.
В расчётах предполагается = 2ℎ , что является типичным отношением для квантовых ям GaAs/InGaAs/GaAs с малым содержанием индия. ГетероструктурыInGaAs/GaAs напряжены из-за рассогласования постоянных решёток. Напряжение приводит к расщеплению подзон тяжёлых дырок и лёгких дырок,что снижает глубину потенциала для лёгкой дырки. Учёт этого расщепленияописан в разделе 2.3.3.Уравнение Шрёдингера с гамильтонианом (2.4) решается независимо дляэкситонов с тяжёлой дыркой и экситонов с лёгкой дыркой. Чтобы упроститьвыражение (2.4), введём эффективные массы для тяжёлой и лёгкой дырок:ℎ =01 ± 2ℎ =01 ∓ 22(2.6)Здесь снова верхний (нижний) знак используется для тяжёлых (лёгких) дырок.Чтобы отделить относительное движение электрона и дырки в экситонеот движения экситона как целого, вводится обычное определение координатцентра масс и относительных координат в плоскости xy.= + ℎ ℎ + ℎ = − ℎ = cos = + ℎ ℎ + ℎ = − ℎ = sin (2.7)36С определёнными таким образом полярными координатами относительного движения в плоскости xy, основной гамильтониан имеет вид:[︃]︃)︀(︀ 2(︂)︂22221 ^ = ~ + − ~− 22 ( + ℎ )2 ~2 2~2 2−−2 2 2ℎ ℎ22+ ( , ℎ ).− √︁22 ( − ℎ ) + (2.8)−1– приведённая масса экситона в плоскости xy.Здесь = (−1 + −1ℎ )Соответствующая волновая функция имеет частично аналитический вид:(, , , ℎ , , ) = ( , ℎ , ).(2.9)Здесь мы ввели знаменатель ради удобства численного расчёта.
С волновойфункцией в виде (2.9) мы приходим к следующей трёхмерной задаче, длярешения которой необходим численный расчёт:[︂)︁(︁ 21−2~2 2~2 21 ~2− 2 2 − 2ℎ 2 − 2 2 − + 2 − √ℎ= ( , ℎ , ).22( −ℎ ) +2]︂+ ( , ℎ , ) =(2.10)Приведённые преобразования координат не точны в присутствии магнитного поля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
