Диссертация (1150801), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Чтобы учесть магнитное поле, необходимо использовать обобщённый оператор импульса. Мы ограничимся рассмотрением геометрии Фарадея.В этом случае обобщенный оператор импульса в соответствии с выражением (2.3) приобретает вид:⎧⎪^ = −~ ∓⎪⎪⎪⎪⎨^ = −~ ±⎪⎪⎪⎪⎪⎩ ^ = −~ .,2,2(2.11)Здесь верхний (нижний) знак соответствует электрону (дырке). Горьков иДзялошинский [101] показали, что в гамильтониане экситона с оператором37импульса в виде (2.11), возможно отделение координат центра масс с волновой функцией в виде анзаца:[︂]︂(, , , ℎ , , ) = exp ( − ) ( , ℎ , , ) .2~(2.12)Здесь мы предполагаем, что кинетическая энергия центра масс в плоскостиxy равна нулю ( = = 0). Основной гамильтониан (2.8) с учётом предложенного анзаца приобретает вид:(︂ )︂22^ () = ^ +2 2(︂)︂~ ℎ − + + ℎ .−2 (2.13)Угловая зависимость волновой функции остаётся справедливой и для гамильтониана (2.13).
Общая волновая функция экситона в присутствии магнитногополя имеет вид: (, , , , ,ℎ ) =[︂]︂exp ( cos − sin ) ( , ℎ , ) .2~(2.14)Здесь ( = ±1/2 и ±3/2) – индекс соответствующий z-проекции угловогомомента дырки, а = 0, ±1, ±2, . . . – индекс соответствующий z-проекцииорбитального момента экситона. Мы ввели индекс = 0, 1, 2, . . .
для нумерации экситонных состояний для заданных значений и . Для каждогозначения и мы получаем трёхмерный гамильтониан, схожий с (2.10),который имеет вид:2222^ ()3 = − ~ − ~ 2 2 2ℎ ℎ2(︃)︃2221−~1 −+−222 −2√︁ ( − ℎ )2 + 22+ +2(2.15)(︂2)︂2.Задача на собственные значения этого оператора решается численно для тяжёлых дырок и для лёгких дырок отдельно ( = ±3/2 и = ±1/2, соответственно). Значение магнитного поля задаётся до проведения численнойпроцедуры.38Набор волновых функций (2.14) формирует полную ортонормированнуюсистему функций с магнитным полем в виде дополнительного параметра.Строго говоря, эта система является бесконечной системой волновых функций в квантовой яме.
Нас, однако, интересуют лишь несколько нижайшихсостояний, которые наблюдаются в экспериментах по измерению люминесценции (см. рисунок 2.1). Поэтому мы ограничиваем базис и включаем внего наблюдаемые s-подобные состояния с = 0, а также p-подобные иd-подобные состояний, которые сильно взаимодействуют с s-подобными состояниями.Полученный базис был использован чтобы составить матрицу полногогамильтониана (2.1). Диагональные матричные элементы этой матрицы следуют из выражения для основного гамильтониана (2.13):(︂)︂−~ℎℎℎ ± ℎℎ = +2 31± ℎ ∓ ,22(︂)︂−~ℎℎ ℎ ± = +2 11± ℎ ∓ .22(2.16)ℎℎ,ℎЗдесь – собственные значения оператора (2.15). Вторые слагаемые вэтих выражениях описывают взаимодействие орбитального момента экситона с магнитным полем.
Последние два слагаемых описывают зеемановскоерасщепление экситона, связанное с магнитными моментами электрона и дырки.Зеемановское слагаемое электрона в выражении (2.16) имеет противоположный знак относительно дырочного слагаемого, поскольку угловой моментоптически активного (светлого) экситона с тяжёлой дыркой составляется изразности углового момента дырки и спина электрона. -факторы электрона и дырки, и ℎ , изменены из-за межзонного смешивания.
В частности,-фактор электрона в полупроводниках III-V записывается как [102]: = 2 −2 Δ3 ( + Δ )(2.17)39Здесь – оптический матричный элемент, Δ – спин-орбитальное расщепление, а – величина запрещённой зоны. Для GaAs, -фактор электрона = −0.44 [46]. -фактор дырки, использованные для расчётов связан с параметром Латтинджера как [26]:=−ℎℎℎ=−62(2.18)здесь ℎℎ,ℎ – -факторы дырок ( = 1.2 для GaAs).2.3.2 Шаг 2: диагонализация полного гамильтониана в ограниченном базисеНа первом шаге были получены собственные функции основного гамильтониана.
В квантовых ямах InGaAs/GaAs, расщепление валентной зоны, вызванное механическим напряжением, частично подавляет смешивание тяжёлых и лёгких дырок. Это позволяет говорить, что собственные функцииосновного гамильтониана являются хорошим приближением для волновыхфункций системы в отсутствии магнитного поля.Второй шаг вводит в расчёт взаимодействие тяжёлых и лёгких дырок.Мы составили базис, подходящий для описания светлых состояний экситоновс тяжёлой дыркой, которые мы наблюдаем в эксперименте. В этом базисемы составляем матрицу полного гамильтониана (2.1). Матрица состоит изматричных элементов {′ }, рассчитываемых по правилу:^ | ⟩ .′ = ⟨′ | (2.19)Здесь и ′ – это и ′ ′ ′ , соответственно, { } – ограниченный базиссформированный из набора (2.14).Ограниченный базис должен включать оптически активные состояния ивсе собственные функции подмешиваемые недиагональными членами в^ Внедиагональные члены смешивают состояния с тяжёлыгамильтониане .ми дырками только с состояниями с лёгкими дырками.
Экситонная волноваяфункция в виде (2.14) имеет различное определение координат и длясостояний с тяжёлой и с лёгкой дыркой. Тем не менее, использованный анзац, позволяет игнорировать этот факт, как показано в последнем разделеэтой главы. Анзац также приводит к упрощению смешивающих операторов.40Упрощённые операторы имеют следующую принципиальную структуру:^2 − ^2 = 2 sin 2 , , + cos 2 ′ , ,{^ , ^ } = − sin , + cos {^ , ^ } = sin + cos , (2.20)(2.21)(2.22)1{^ , ^ } = − sin 2 ′ , , + cos 2 , ,2(2.23)В этих выражениях, – частная производная по переменной .
Величины, – различные комбинации операторов и , приведённые в последнемразделе этой главы. Матричные элементы смешивающих операторов не равны нулю, если у двух состояний отличается на 1 для выражений (2.21)и (2.22), и на 2 для выражений (2.20) и (2.23). Поэтому мы рассматриваемпять значений проекций орбитального момента ( = 0, ±1, ±2) для описания подмешивания магнитным полем состояний экситона с лёгкой дыркой кнаблюдаемым состояниям экситона с тяжёлой дыркой с ′ = 0.Эти простые правила отбора можно уточнить. Внедиагональные матричные элементы являются линейными комбинациями матричных элементов смешивающих операторов (2.20)–(2.23).
В введённых выше обозначениях,смешивающие матричные элементы пропорциональны выражениям:]︀)︀[︀− + , ′ 3 ′ 1 (︀ [︀]︀)︀ 2 2∝ − , ′ − 3 ′ − 1 ′ 23 ′ 12 ∝′ − 23 ′ − 21 (︁(︀2 2[︁′ , ,(2.25)2]︁∝ 2 − 2 , , +[︁]︁)︁′+ (3 − 2 ) sin 2 , , − 2 cos 2 , , ′ 3 ′ 1 2 − 2 (︁[︁]︁−2′ , , + 2 , , +′ − 32 ′ 21 ∝ 2 [︁]︁)︁′− (3 − 2 ) sin 2 , , − 2 cos 2 , , ′ 3 ′ 1′ 32 ′ − 21 (2.24) − 2 2 (2.26)(2.27)(︀)︀Выражение (2.24) не равно нулю для , ′ = (1, 0), а выражение (2.25)(︀)︀не равно нулю для , ′ = (−1, 0). Матричные элементы (2.26) и (2.27) не(︀)︀равны нулю для , ′ = (±2, 0). Мы обнаружили, что второе слагаемое в41последних выражениях приводит с относительно малому вкладу по сравнению с первым слагаемым, которое привносит главный вклад в смешивание)︀(︀с d-подобными состояниями.
Оно не равно нулю для , ′ = (−2, 0) для(︀)︀матричных элементов (2.26) и ′ = (2, 0) для (2.27).2.3.3 Результаты численного расчёта для образца P554Состояния экситона описываются проекциями трёх угловых моментов (наось магнитного поля): спин электрона, спин дырки и орбитальный моментэкситона. Таблица 2.1 представляет базис, который был использован для составления матрицы гамильтониана для расчёта -факторов экситонныхсостояний в квантовой яме шириной 87 нм в образце P554. Количество состояний в каждой группе определялось по насыщению эффекта, оказываемого этой группой на наблюдаемые состояния (см. рисунок 2.7 в последнемразделе этой главы). Проекция спина электрона для s-подобных состоянийвыбрана так, чтобы состояния были светлыми. У других состояний проекцияспина электрона совпадает с проекцией s-подобных состояний, с которымиони смешиваются.
Правила отбора на смешивание отмечены в таблице прямоугольными скобками в правой части таблицы.Таблица 2.1: Количество состояний в ограниченном базисе, ,использованное на втором шаге рассчётов. Состояния сгруппированы попроекциям углового момента. Символы ⌉ и ⌋ в каждой колонке показываютсмешивающиеся состояния.|, , ⟩⃒ 1 3 ⟩︀⃒− , , 0⃒ 1 2 23 ⟩︀⃒ ,− ,0⃒ 2 1 21 ⟩︀⃒− , , 1⃒ 1 2 1 2 ⟩︀⃒ , − , −1⃒ 2 1 2 1 ⟩︀⃒− , − , 2⃒ 21 1 2 ⟩︀⃒ , ,2⃒ 12 21⟩︀⃒− , − , −2⃒ 21 1 2 ⟩︀⃒ , , −22 2N5⌉⌉⌉5400⌉⌋⌋⌋200200200⌉⌋400200⌉⌋⌋4210.7520.5ΔE, мэВ30.25405−0.25600.5Магнитное поле, Тл11.522.5Рисунок 2.4: Расщепления наблюдаемых состояний экситонов в магнитномполе для 87-нанометровой квантовой ямы в образце P554 (чёрные точки сусами погрешностей).
Нумерация отвечает номеру экситонного состояния.Сплошные линии на графике – аппроксимация параболическимизависимостями. Для расщепления экситонного состояния №6 отсутствуютнадёжные данные для значений магнитного поля в диапазоне = 0.8 ÷ 1.5 Тл из-за пересечения этого состояния уровнями Ландау, см.рисунок 2.2.43без смешиванияs-p смешиваниеs-p & s-d смешиваниеэкспериментфактор экситона20−2g-−4−612Номер уровня3456Рисунок 2.5: Экспериментально полученные -факторы экситонов при = 1 Тл как функция номера уровня для 87-нанометровой квантовой ямыв образце P554 (синие точки). Серые и голубые круги – результаты расчётовбез учёта и с учётом смешивания лёгких и тяжёлых дырок, соответственно.Вклад только от s-p-смешивания показан пустыми квадратами.В этом базисе мы рассчитали элементы матрицы из выражения (2.19)для конкретного значения магнитного поля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
