Диссертация (1150792), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Как следует из выражений (1.1.12)-(1.1.14), в разложенииспектральной функции формально присутствуют слагаемые как с нечётнымистепенями Г, так и с чётными.Первые попытки получения разложений спектральной функции путёмразложения общего выражения (1.1.7) в ряд Тейлора около нулевогозначения Г, предпринятые в серии работ [38-44], в силу изложенного вышене могли привести к удовлетворительному результату, несмотря намногочисленные уловки и приближения, использовавшиеся при такихразложениях. Особенно ярко несостоятельность таких попыток, как будетпоказано в третьей главе, посвящённой описанию неравновесных явлений,проявилась при использовании разложений спектральной функции,основанных на применении ряда Тейлора, при выводе кинетическихуравнений [61,62].Разложения спектральной функции в ряд Тейлора, начинающегося сдельта-образной особенности при нулевой ширине уровня, не существует,поэтому искать такое разложение следует в области интегральныхпреобразований, как это было сделано в работе [36].
Однако в этой работе нерассматривался вопрос о структуре и сходимости получающегосяразложения, а использовалось только линейное по ширине уровнейслагаемое.Остановимся прежде всего на анализе справедливости соотношений(1.1.12)-(1.1.14), определяющих структуру разложения спектральнойфункции по степеням затухания энергетических уровней [63]. При получениисоотношений (1.1.13) и (1.1.14) проводилось почленное интегрированиефункционального ряда, возникающего при разложении в ряд Тейлора первойэкспоненты в правой части (1.1.12).
Несмотря на отсутствие равномернойсходимости у этого ряда, такая операция в данном случае, как следует изокончательных выражений, является корректной, поскольку равномернаясходимость является только достаточным, но не необходимым условиемзаконности такого почленного интегрирования [64,65].34Разложение, получающееся с помощью (1.1.13) и соответствующеенечётным степеням Г, образует геометрическую прогрессию со знаменателем(2.2.1)Сумма этой последовательности оказывается равной(2.2.2)что соответствует полному общему выражению (1.1.7) для спектральнойфункции.Разложение, получающееся с помощью (1.1.14) и соответствующеечётным степеням Г, может быть рассмотрено с помощью формулы [64,66]:(2.2.3)С помощью математической индукции убеждаемся в справедливостисоотношения(2.2.4)Теперь из соотношений (1.1.14) следует, что разложение, соответствующеечётным степеням Г, также образует геометрическую прогрессию, начиная сослагаемого с n =1, причём с тем же знаменателем (2.2.1).
Сумма этойпрогрессии даётся выражением(2.2.5)Благодаря наличию в выражении (2.2.5) дельта-функции Дирака имножителя, равного квадрату аргумента дельта-функции вклад этоговыражения в правило сумм оказывается равным нулю:(2.2.6)Также нулевым будет результат интегрирования с выражением (2.2.5)любого соотношения для физической характеристики системы, несодержащего в знаменателе аргумента дельта-функции в степени, большейдвух.Полученный результат означает, что проведённые преобразованияприводят к физически разумным соотношениям, в частности, к возможностипредставления разложения спектральной функции, начинающегося с дельтафункции Дирака, только по нечётным степеням Г с помощью соотношений35(1.1.12)-(1.1.14).
В линейном по затуханию энергетических уровнейприближении правильное выражение для спектральной функции имеет вид:(2.2.7)которое отличается от всех приближённых выражений, полученных вцитированных выше работах.Наличие квадрата перенормировочного множителя Z во второмслагаемом в правой части этого выражения оказывается решающимфактором при сравнении результатов расчётов энергии связи ядернойматерии, выполненных с помощью различных методов в различныхприближениях.
Отметим, что в упомянутых выше работах, посвящённыхполучению разложений спектральной функции, самые «лучшие»приближения содержали первую степень перенормировочного множителя вовтором слагаемом правой части. Как будет показано в третьей главе, именносоотношение (2.2.7), в отличие от всех других приближённых выражений дляспектральной функции, удовлетворяет уравнению (1.2.5).С помощью соотношения (2.2.1) легко могут быть выписаны иостальные члены разложения спектральной функции по нечётным степенямширины энергетических уровней, дающие ненулевые вклады при расчётеразличных равновесных характеристик системы. Эти соотношения будутприведены в третьей главе при рассмотрении вопроса о кинетическомуравнении для описания неравновесных свойств системы.2.3.
Энергия связи в ядерной материиРасчёты энергии связи в ядерной материи имеют давнюю историю,подробно изложенную во Введении, поэтому здесь мы остановимсянепосредственно на сравнении расчётов, выполненных: а) в различныхприближениях на основе энергетических диаграмм Фейнмана в рамкахтеории Бракнера и б) на основе использования диаграммных разложений вметоде квантовых функций Грина при использовании спектральныхфункций. Традиционные многочастичные подходы к теории ядерной материитипа теории Бракнера основаны на использовании концепции квазичастиц, вкоторой изначально пренебрегалось конечной шириной энергетическихуровней, обусловленной сильным межчастичным взаимодействием. В своейпервоначальной форме теория Бракнера рассматривала только движениечастиц в промежуточных состояниях, определяя двухчастичную матрицу K«эффективного» взаимодействия или аналогичные объекты [40].36В работах [40,42,43,49] устанавливалась связь между расчётами,выполненными на основе различных приближений для спектральныхфункций в методе Каданова и Бейма, и на основе теории Бракнера.
Однакоиспользованные в этих работах приближения для спектральных функций (каки приближения, использованные в [62,67,68] при анализе вопросов,относящихся к физике твёрдого тела), как было показано выше, оказалисьнеудовлетворительными. Поэтому мы остановимся подробно на анализеуказанной связи, основываясь на правильном приближении для спектральнойфункции, даваемом выражением (2.2.7).Приведём необходимые для такого анализа различные приближённыевыражения для спектральной функции, предложенные в указанных работах.В пренебрежении шириной энергетического уровня квазичастицы извыражения (2.1.2) следует соотношение (2.1.5) для спектральной функции:(2.3.1)Отметим, что в работах [40,42] было предложено приближение дляспектральной функции, названное авторами «квазиклассическим», которое, вчастности, использовалось при обсуждении вопроса, какие из диаграммследует учитывать при численных расчётах для разных приближений дляспектральной функции:(2.3.2)Наряду с соотношением (2.3.1) в работах [40,42,43,49] рассматривалось«расширенное квазичастичное приближение» для спектральной функции:(2.3.3)В работе [42] было предложено также «улучшенное квазичастичноеприближение» для спектральной функции(2.3.4)которое также неудовлетворительно по указанной выше причине и котороене использовалось авторами [42] в каких-либо расчётах.Неудовлетворительность приближений (2.2.1) и (2.2.2) связана также сполным пренебрежением шириной квазичастичных уровней.
При этомприближение (2.3.2) дважды неудовлетворительно: корреляционная частьмежчастичного взаимодействия в нём формально учтена, но вызываемой еюперенормировкой, то есть множителем Z, пренебрегается. Подчеркнём ещё37раз, что неудовлетворительность приближений (2.3.3) и (2.3.4) связана,прежде всего, с некорректным способом вывода этих соотношений, что ипривело к неправильным выражениям для вторых слагаемых в правыхчастях, учитывающих конечную ширину энергетических уровней.Отметим основные моменты, связанные с расчётами энергии связи втеории ядерной материи Бракнера. В этой теории основным элементом, какуже отмечалось выше, является матрица реакции или «двухчастичногоэффективного взаимодействия» К, диагональные элементы которойопределяются, например, формулой (1) работы [42].
При этом одночастичныеэнергии e p , входящие в выражения для диагональных матричных элементовэффективного взаимодействия, определяются соотношениями:(2.3.5)где символ Re соответствует вещественной части потенциала эффективноговзаимодействия, считающегося комплексной величиной, выражение длякоторого приведено ниже.Получающееся с помощью (2.3.5) выражение для полной энергии E(2.3.5а)позволяет в духе теории ферми-жидкости Ландау найти формальноевыражение для энергии квазичастицы εB(p) путём варьирования полнойэнергии по функции распределения квазичастиц n(p). При этом возникаюттри слагаемых, соответствующих варьированию с учётом явной и неявнойзависимости полной энергии от этой функции распределения [42].
Первоеслагаемое соответствует учёту явной зависимости полной энергии отфункции распределения и определяется матрицей реакции. Два другихслагаемых соответствуют неявной зависимости полной энергии от функциираспределения и описывают так называемые перестраивающие структуру(rearrangement - перегруппировка) члены Бракнера второго и третьегопорядка относительно матрицы реакции, поскольку они описываютизменения матрицы реакции при добавлении или уничтожении однойчастицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
