Диссертация (1150792), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Доказана возможность использования кинетического уравнения вфеноменологической теории ферми-жидкости для описания спектраколлективных возбуждений системы при учёте конечной шириныэнергетических уровней.4.На основе проведённого анализа применимости кинетическогоуравнения феноменологической теории нормальной ферми-жидкости накачественном уровне обоснована возможность применения адиабатическогоприближения Борна-Оппенгеймера для описания спектра колебаний ивращений в конечных атомных ядрах, несмотря на малое различие массвходящих в ядра протонов и нейтронов.Структура диссертацииДиссертация состоит из Введения, четырёх глав, Заключения, Спискалитературы, включающего 93 наименования, и 75 страниц машинописноготекста.Личный вклад автораАспирантка В.А. Даниленко участвовала в обсуждении темыдиссертации, получении научных результатов, выполнила поиск и полныйанализ литературы по теме диссертации и провела все приведённые в работематематические преобразования и расчёты.Научный руководитель диссертанта К.А.
Гриднев осуществлял общееруководство работой на всех её этапах, предложил и обосновал темуисследования, участвовал в обсуждении полученных результатов и проводилнекоторые контрольные расчёты.После безвременной кончины К.А. Гриднева за четыре месяца доокончания срока аспирантуры руководителем работы был назначен В.А.Андрианов, с которым обсуждались и уточнялись полученные в работерезультаты, включая их новизну и достоверность, и определялась общаяструктура диссертации.16Глава 1.
Основные положения метода квантовых функцийГрина в варианте, предложенном Кадановым и БеймомВ этой главе будут приведены основные положения теории КадановаБейма, на которых основываются результаты наших исследованийравновесных и кинетических свойств ядерной материи и тяжёлых атомныхядер.1.1.
Описание равновесного состояния ферми-системы врамках формализма Каданова-БеймаМетод Каданова-Бейма основан на подходе, предложенном Мартином иШвингером. Основными объектами теории являются причинные функцииГрина и корреляционные функции G(1,1'), G<(1,1') и G>(1,1') .Корреляционные функции отличаются от обычных запаздывающих иопережающих функций Грина тем, что, в отличие от последних, ониопределены на всей вещественной временной оси [32]. Числа, стоящие вкачестве аргументов в функциях Грина, означают совокупность трёхпространственных и одной временной координат.
Причинные функцииГрина удовлетворяют уравнению Швингера, которое здесь не приводится,поскольку не будет использоваться в явном виде. Граничное условие к этомууравнению формулируется в [32] на мнимом временном интервале [0,-iβ], гдеβ - обратная температура в энергетических единицах, что позволяет строитьтеорию сразу для произвольной температуры.Итерационное решение уравнения Швингера при невзаимодействующихчастицах в качестве нулевого приближения приводит к обычнойдиаграммной технике Фейнмана. Введение собственно-энергетическихфункций Σ(1,1'), Σ<(1,1') и Σ>(1,1') позволяет получить некоторые точныесоотношения [32] для системы взаимодействующих частиц, которые будутприведены ниже. Переход к вигнеровским координатам, равным разности иполусумме входящих в функции Грина и собственно-энергетическиефункции пространственных и временных переменных, и совершениепреобразования Фурье по разностям пространственных и временныхкоординат позволяет непосредственно придти к следующим результатам.17В случае равновесных пространственно-однородных систем всевходящие в теорию функции не будут зависеть от полусуммпространственных и временных координат.
Приведённые результатысправедливы как для ферми, так и для бозе-систем. В дальнейшем будутрассматриваться только ферми-системы, поэтому многие (но не все!)приведённые ниже соотношения будут справедливы только для фермисистем.ПослесовершенияпреобразованияФурьевыражениядлянеотрицательных фурье-образов корреляционных функций могут бытьпредставлены в виде [32]:(1.1.1)(1.1.2)где функция f(ω) определяется выражением(1.1.3)где β - обратная температура в энергетических единицах, ω - энергетическийпараметр, равный одночастичной энергии в функции распределения ФермиДирака, µ - химический потенциал, равный энергии Ферми при нулевойтемпературе.Приведённые соотношенияспектральной функции a(p,ω)являютсяследствиемопределения(1.1.4)и граничного условия для уравнения Швингера, которое после совершенияуказанного преобразования Фурье даётся, например, формулой (3.36) работы[50]:(1.1.5)Введённая соотношением (1.1.4)удовлетворяет точному правилу сумм [32]спектральнаяфункцияa(p,ω)(1.1.6)которое является следствием только перестановочных соотношений дляоператоров поля, на которых строится излагаемая теория, и определения18спектральной функции (1.1.4).
Правило сумм (1.1.6) не зависит от уравненияШвингера и справедливо при любых значениях импульсной переменной(использована система единиц, в которой постоянная Планка равна единице).Формализм Каданова-Бейма приводит к следующему общемувыражению для спектральной функции одночастичных состояний в системе(формула (4.22) в [32]):(1.1.7)где одночастичная энергия e(p,ω) даётся выражением(1.1.8)представляет собой энергию частицы в приближениив которомХартри-Фока, а вещественная и мнимая части корреляционной собственноэнергетической функции связаны между собой преобразованием Гильберта(формула (21) в [32]):(1.1.9)Символ Р в этом соотношении означает интегрирование в смысле главногозначения.
Заметим, что соотношения (1.1.6) и (1.1.7) справедливы также идля бозе-систем.Ширина Г одночастичного энергетического уровня характеризуетобратное время жизни данного состояния. Величина Г определяетсяравенством, аналогичным (1.1.4) [32]:(1.1.10)В пренебрежении шириной энергетических уровней спектральная функцияимеет вид(1.1.11)где δ(x) - дельта-функция Дирака.Правильное разложение спектральной функции по степеням шириныэнергетических уровней, начинающееся с дельта-функции Дирака, былонайдено в [36]. Оно основано на использовании формулыГ>0 (1.1.12)19и последующего почленного интегрирования функционального ряда,возникающего после разложения первой экспоненты в левой части (1.1.12) вряд Тейлора по степеням ширины Г энергетических уровней.
Этоинтегрирование выполняется с помощью соотношений см. [51–53]:n=0,1,2,… (1.1.13)n=0,1,2…(1.1.14)Отметим, что вопрос о сходимости и общей структуре возникающего врезультате таких преобразований разложения для спектральной функции в[36] не рассматривался, поскольку там ставилась задача только о нахождениилинейного по ширине энергетических уровней выражения для спектральнойфункции.В теории Каданова-Бейма энергия квазичастицы E(p) вводится каккорень уравнения(1.1.15)Функция распределения квазичастиц определяется выражением(1.1.16)Переходк квазичастичному представлению сопровождаетсянарушением правила сумм (1.1.6) вследствие «сглаживания» спектральнойфункции как функции энергетической переменной.
Интеграл в правиле суммстановится равным Z, где перенормировочный множитель определяетсявыражением:(1.1.17)Как показано в [32], при конечной ширине энергетических уровнейперенормировочный множитель Z<1.Таким образом, использование соотношений (1.1.12) – (1.1.14)позволяет установить структуру разложения спектральной функцииодночастичных состояний по степеням ширины одночастичныхэнергетических уровней системы взаимодействующих частиц. В нашейработе будут получены корректные выражения для различных приближенийспектральной функции с целью выяснения вопроса о соотношении расчётовэнергии связи на частицу в ядерной материи, выполненных в рамках теории20Бракнера и с помощью корреляционных и спектральных функций в рамкахметода квантовых функций Грина.1.2. Описание неравновесного состояния ферми-системы втеории Каданова-БеймаОписание свойств неравновесных систем в методе Каданова-Беймаосуществляется путём определения причинных функций Грина в интервале[t0, t0 –iβ ], перехода от представления Гейзенберга к представлениювзаимодействия и выполнения предельного перехода t0 → -∞ [32].
Врезультате возникают четыре интегро-дифференциальных уравнения длякорреляционных функций, которые даются формулами (3.70) и (3.71) работы[50]. В этих уравнениях время уже описывается вещественной переменной.Эти уравнения здесь не приводятся, поскольку непосредственноиспользоваться не будут. Система уравнений Каданова-Бейма замкнута, таккак входящие в неё собственно-энергетические функции выражаются черезкорреляционные функции, и пригодна для описания любых типов явленийпереноса, в том числе и для ядерных сред, таких как бесконечная ядернаяматерия и тяжёлые атомные ядра.Следует отметить, что в работе [54] было показано, что системууравнений Каданова-Бейма можно существенно упростить путём перехода ксмешанному (вигнеровскому) представлению.
При этом система уравненийКаданова-Бейма переходит в систему четырех уравнений в частныхпроизводных [35]. Например, уравнение для корреляционной функции g<может быть представлено соотношением (3.91) работы [50] и имеет вид(1.2.1)где фигурными скобкамиформулой (3.74) работы [50]:обозначеносоотношение, задаваемое(1.2.2)Сделаем необходимые пояснения. В этих выражениях цифройобозначена четверка переменных, например, 1=(r1,t1);2=(r2,t2) и т.д.После перехода к вигнеровским переменным21R=(r1+r1’)/2,r=r1-r1’,T=(t1+t1’)/2,t=t1-t1’,(1.2.3)и совершения преобразования Фурье по переменным r и t, все входящие вприведенные величины фурье-образы являются функциями переменных p, ω,R, T.Как показано в [54] выражение в фигурных скобках в (1.2.2) можетбыть представлено в виде(1.2.4)В приведенной форме уравнения Каданова-Бейма оказываютсяисключительно удобными для разложения по производным различныхпорядков по пространственным и временным переменным.
В отличие оточень громоздких преобразований, представленных в [32], теперь для этогодостаточно просто раскладывать в ряд Тейлора операторную экспоненту,определяющую структуру уравнений [35].При учёте только первых производных по пространственным ивременным переменным в уравнениях Каданова-Бейма, приходим кследующему уравнению для спектральной функции a(pω;RT)(1.2.5)и к обобщённому кинетическомукорреляционной функции g<уравнениюКаданова-Беймадля(1.2.6)В приведённых выражениях [A,B] представляет собой обобщённуюскобку Пуассона, определяемую соотношением(1.2.7)Точное решение уравнения (1.2.5) даётся выражением [32]:(1.2.8)22Соотношение (1.2.8) приводит к такому жеспектральной функции, как и в равновесном случае [32]:выражениюдля(1.2.9)Этот факт устанавливает «генетическую» связь между соответствующимивеличинами, описывающими свойства системы в равновесном инеравновесном случаях. Подчеркнём, что наличие такой генетической связиявляется очень важным обстоятельством, которое служит источникомустановления справедливости тех или иных приближённых выражений дляразличных характеристик системы.
В частности, для слабо неравновесногослучая оказываются справедливыми разложения (1.1.12) - (1.1.14),приведённые в предыдущем параграфе для равновесных систем. Далее, дляспектральной функции слабо неравновесного состояния разложениеспектральной функции (1.2.9) имеет такой же вид, как и в равновесномслучае.С помощью обобщённого кинетического уравнения (1.2.6) в работе [32]был предложен микроскопический подход к выводу кинетическогоуравнения феноменологической теории нормальной ферми-жидкостиЛандау-Силина(1.2.10)где Icollision – интеграл столкновений квазичастиц, а n – функцияраспределения квазичастиц, определяемая соотношением(1.2.11)Предложенный в [32] вывод кинетического уравнения Ландау-Силинасправедлив только при абсолютном нуле температуры, причём необходимымусловием является непрерывность собственно-энергетической функции какфункции переменной ω на уровне Ферми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
