Диссертация (1150792), страница 6
Текст из файла (страница 6)
В работе[57] предложено следующее модельное выражение для шириныодночастичных энергетических уровней при нулевой температуре системысо сферической ферми-поверхностью(2.1.6)где a(p) – некоторая функция импульса Ферми, а μ – химический потенциал,при нулевой температуре совпадающий с уровнем Ферми. Такаяпараметризацияфункции,описывающейширинуодночастичныхэнергетических уровней, как отмечается [57], хорошо отражает многиереалистические черты вырожденных изотропных квантовых ферми-систем.28Отметим, что выражение (2.1.6) обеспечивает сходимость интеграла впреобразовании Гильберта (1.1.9).Соотношение (2.1.6) при учёте выражения для одночастичной энергии(1.1.8) позволяет записать уравнение для энергии квазичастицы (1.1.15) ввиде(2.1.7)Для контроля правильности получаемого результата проведём вычислениевходящего в уравнение (2.1.7) интеграла двумя независимыми способами.Рассмотрим интеграл(2.1.8)и перепишем его после некоторых преобразований в виде(2.1.9)Видно, что получилась нечётная функция параметра t.
Мы вычислиминтеграл при t>0 и продолжим аналитически нечётным образом наотрицательные значения этого параметра. Подстановка x=tu2 позволяетпереписать (2.1.9) следующим образом(2.1.10)Этот интеграл легко вычисляется с помощью теории вычетов.Подынтегральное выражение имеет простые полюса в точках u=-1,+1,i,-i.Вычисляем вычеты в полюсах, лежащих в верхней полуплоскости, обозначивих через R1, R2 и R3 соответственно.
Имеем:(2.1.11)Теперь с помощью теоремы Коши получаем(2.1.12)29чтоприводиткрезультату,t>0.Дляt<0получаем,так что окончательно интеграл оказывается равным(2.1.13)Теперь переписываем интеграл в выражении (2.1.7) в виде(2.1.14)и, учитывая равенство (2.1.13), приходим к следующему уравнению дляэнергии квазичастицы(2.1.15)Для контроля правильности полученного результата вычислим интеграл в(2.1.14) с помощью формулы (БХ [17] (11)) работы [58]:m<n(2.1.16)Стоящий в левой части (2.1.16) интеграл можно после некоторых простыхпреобразований привести к виду, аналогичному (2.1.10), так что, подставляясоответствующие рассматриваемому случаю значения m и n, приходим ктому же самому уравнению (2.1.15).Уравнение (2.1.15) определяет энергии квазичастиц при E(p)–μ>0 иэнергии квазидырок при E(p)–μ<0.
Отметим, что появление энергий двухтипов – квазичастиц и дырок свидетельствует об удачном, адекватномвыборе модели ширины уровней энергии (2.1.6), поскольку представления одырочных уровнях энергии обязательно используются при расчетах энергиисвязи в ядерной материи [40,42]. Далее, в нормальной ферми-жидкости,определяемой как в [32], при нулевой температуре энергия квазичастицы науровне Ферми равна энергии частицы в приближении Хартри-Фока, азатухание уровня отсутствует. Этому условию удовлетворяет соотношение(2.1.15), которое к тому же явно показывает, что при энергии, отличной отуровня Ферми, энергия квазичастицы может быть представлена какперенормированная энергия в приближении Хартри-Фока.Полученный результат обобщает предложенные раньше подходы и всовокупности с другими описанными выше подходами означает, чтоиспользованные в цитированных работах модельные выражения для энергииквазичастиц не противоречат фундаментальным положениям современнойквантовой теории систем многих частиц.
Подчеркнём ещё раз, что в30предложенном в данной работе подходе к вычислению энергииквазичастицы, в отличие от указанных выше других подходов, модельныепредставления используются только один раз при выборе выражения дляширины одночастичных энергетических уровней.Обратим внимание на то, что энергию квазичастицы в рамкахописываемого подхода можно определить несколько иначе, например, спомощью соотношения(2.1.17)в котором для энергии частицы e(p,ω) естественно воспользоватьсяприближением типа (2.1.1):(2.1.18)Теперь энергия квазичастицы E1(p) будет определяться как корень уравнения(2.1.19)где перенормировочный множитель Z1 даётся соотношением(2.1.20)Сравнение выражений (2.1.7) и (2.1.20) показывает, что уравнение дляопределения энергии квазичастицы E1 будет отличаться от уравнения (2.1.15)для определения E только дополнительным множителем Z1 перед вторымслагаемым в правой части (2.1.15).(2.1.21)Уравнение (2.1.19) означает, что и в этом случае при выборесепарабельной модели (2.1.6) для выражения, определяющего ширинуэнергетического уровня, энергия квазичастицы также может бытьпредставлена как перенормированная хартри-фоковская энергия, причём E1оказывается даже ближе к EHF, чем E.
Однако при феноменологическомпостроении теории равновесных явлений это обстоятельство не будет игратьникакой роли, оставляя только больший произвол для выбора значенийперенормировочного множителя. Как будет показано ниже, прирассмотрении неравновесных явлений определение квазичастиц с помощьюуравнения (2.1.15) является предпочтительным, так как именно при такомопределении квазичастиц кинетическое уравнение для функции31распределения квазичастиц имеет вид уравнения Ландау-Силинафеноменологической теории.Отметим, что квадратный корень в выражении (2.1.6) для шириныэнергетического уровня можно заменить на другое имеющее разумныйфизический смысл выражение, обеспечивающее сходимость интеграла впреобразовании Гильберта (1.1.9).
Однако при этом становитсяпроблематичной возможность аналитического вычисления интеграла вуравнении, определяющем энергию квазичастицы. Далее, для шириныэнергетического уровня можно задать модельное выражение в видесуперпозиции нескольких функций. При этом у уравнения, определяющегоэнергию квазичастицы, может оказаться несколько (больше двух!) решений,что будет означать возможность одновременного существования в системенескольких различных типов квазичастиц.
Как мы увидим ниже,существование такой возможности имеет принципиальное значение,поскольку она может позволить находить обоснование теоретическимпредположениям и объяснение различным экспериментальным фактамотносительно свойств системы, в частности, при рассмотрении её спектраколлективных возбуждений.Далее, обратим внимание на то, что в качестве сепарабельной моделидля ширины энергетических уровней можно выбрать, на первый взгляд,более удачное, чем (2.1.6), выражение. Например, зависящую от частотычасть в модельном выражении для ширины уровня можно считатьконстантой в небольшой области частот вблизи значения энергетическогоуровня и равной нулю вне этой области.
Вычисление интеграла в выражении,возникающем, в соответствии с (1.1.15), вместо (2.1.7), в этом случаестановится тривиальным, приводя к появлению натурального логарифма.При этом энергия квазичастицы также может быть представлена какперенормированная энергия в приближении Хартри-Фока. Однако, какпоказывает детальный анализ, при этом возможно возникновениематематических проблем, в частности, связанных с невыполнением условиянормировки спектральной функции при определённых значениях константыв выражении для ширины уровня. Такой проблемы не возникает в случаевыражения (2.1.7), несмотря на его заведомо несколько упрощенный вид сточки зрения физических представлений.Предложенный подход может быть, в принципе, использован длянахождения вещественной части собственно-энергетической функции, т.е.восстановления полного одночастичного (а не квазичастичного!)энергетического спектра системы по данным экспериментов по рассеяниюотносительно затухания (ширины) энергетических уровней.
Для этого32следует воспользоваться преобразованием Гильберта (1.1.9), не заменяя внём под знаком интеграла частоту на энергию квазичастицы. В этом случаевозникает ещё больше математических проблем, связанных с выборомвыражения для ширины энергетических уровней, которое, с одной стороны,должно приводить к выполнению условия нормировки спектральнойфункции (1.1.6), а с другой – не вступать в противоречие с результатамирасчётов собственно-энергетической функции в рамках предложенных в[40,42,43] методов. Эффективность такого подхода совсем не очевидна итребует глубокого исследования, однако этот вопрос выходит за рамкинастоящего исследования.2.2.
Разложение спектральной функции по степеням шириныодночастичных энергетических уровнейПроблемаполученияразложенияспектральнойфункцииодночастичных энергетических состояний по степеням шириныэнергетических уровней возникла практически одновременно во второйполовине восьмидесятых годов 20-го века в ядерной физике и в физикетвёрдого тела при формулировке основных положений теории равновесногосостояния и конкретных расчётах равновесных характеристик системыметодом квантовых функций Грина. В ядерной физике, как уже указывалосьвыше, эта проблема возникла в результате осознания необходимостисформулировать единый подход к расчётам различных характеристикатомного ядра и ядерной материи, в частности, энергии связи, приходящейсяна одну частицу. В физике твёрдого тела эта проблема обрисовалась более всвете вывода кинетических уравнений для описания слабо неравновесныхсостояний, что является актуальным и для ядерной физики.
Подробнее этасторона проблемы будет рассмотрена ниже.Как уже отмечалось выше, нетривиальность проблемы полученияразложения спектральной функции (1.1.7) по степеням ширины Годночастичных уровней обусловлена тем обстоятельством, что такоеразложение должно начинаться с дельта-функции Дирака (1.1.11),соответствующей стабильным одночастичным состояниям системы приучёте межчастичного взаимодействия не выше, чем в хартри-фоковскомприближении. Суть возникающей здесь проблемы определяется следующим33обстоятельством. Формально выражение (1.1.7) соответствует нечётнойотносительно Г функции, однако соотношение (1.1.10) определяет Г какстрого неотрицательную величину [32]. При этом формула (1.1.12)справедлива только при положительных Г, а соотношение (1.1.11) получаетсяиз (1.1.7) только при стремлении Г к нулю со стороны положительныхзначений. Поэтому формальное рассмотрение спектральной функции какнечётной функции Г здесь неприемлемо, и все рассуждения должныстроиться с учётом теории предельных (граничных) значений аналитическихфункций [59,60].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
