Диссертация (1150730), страница 15
Текст из файла (страница 15)
B : 1 −−→ 2 −−→ . . . n-1 −−−−→ n• расположим ячейки в некотором порядке 1 , 2 , . . . , • произведем сооотвествие с вектором 1 ⊗ 2 ⊗ . . . ∈ B⊗Тогда набор ℬ( ) будет обладать структурой кристалла, индуцированной сB⊗ . Такое вложение называется правилом чтения ℛ таблиц ℬ( ).Мыбудем использовать правило ℛ : ℬ( ) −→ ℬ ⊗ , согласно которому чтениеприсходит по строкам справа-налево, начиная с верхней строки и затем переходя к нижним.
Установленное соответствие можно проиллюстрироватьниже:1122333=3⊗2⊗11⊗⊗3⊗3⊗2⊗3(4.41)3В общем случае диаграмма Юнга формы (): 1... ... ... 2... ... ... ...11... ... ... ... ...... ... ... ...... ... ... сопоставляется вектору11 ⨂︀...⨂︀ 1 ⨂︀121 ⨂︀...⨂︀+в тензорной степени (1 )⊗1 (1 )⊗2 . .
. .22 ⨂︀...2211120Для упрощения на Рис.4.9 элементы кристаллического базиса параметризованы таблицами Юнга, хотя на самом деле там стоят тензорные произведения,сопоставленные диаграммам согласно сформулированному правилу.Получается, чтобы описать неприводимый модуль нам необходимо подобратьсоответствующую тензорную степень кристаллического графа так, чтобы поправилу чтения можно было провести необходимое соответствие.Для тензорного произведения произвольного модуля на фундамендаментальный справедлива теорема (аналог правила Литтвуда-Ричардсона):Теорема 4.
Пусть = 1 1 + . . . (1 ≥ · · · ≥ ≥ 0) - доминантныйвес и пусть - соответствующая диаграмма Юнга. Тогда имеет местоизоморфизм тензорного произведения и прямой суммы ( ) кристаллов:ℬ( ) ⊗ B =⨁︁ℬ( )[])(4.42)∈Bздесь ( )[] обозначена диаграмма Юнга, получаемая добавлением ячейкина -й ряд. Если полученная по таким правилам диаграмма не являетсядиаграммой Юнга, то ей сопоставляется пустое множество.Диаграммы Юнга на рисунке (4.9) получены тензорным произведениемB ⊗ B:⊗=⨁︁(4.43)Ниже будет показано, что тензорное произведение, построенное согласно правилу (4.42) в модели Литтельманна будет задавать путь в главной камереВейля, ведущий к необходимому весу. Например, старший вес модуля 31 −в ⊗31 может быть получен последовательно путем: 1 −→ 1 + 1 −→1 + 1 + (1 − 1 ) или 1 −→ 1 + (1 − 1 ) −→ 1 + (1 − 1 ) + 1 .Таким образом, кратность модуля 31 − в ⊗31 будет равна двум.1 1 = 1 1 ⊗ 22или1 ⊗ 12(4.44)121Пути Литтельманна и пути на пирамиде ПаскаляПравило разложения тензорного произведения на языке путей Литтельманна [41] формулируется следующим образом:Теорема 5.
Если 1 , 2 ∈ + , такие что = 1 (1) и = 2 (1), тогда тензорное произведение неприводимых модулей разлагается в прямую сумму ⊗ ∼=⨁︁ (1)(4.45)где пробегает все пути в + формы = 1 ⋆ для некоторого ∈2 (модуль, генерируемый действием корневых операторов на 2 ).Рис. 4.10. Пути Литтельманна для тензорного произведения 1 ⊗ 1 .На рисунке 4.10 разложение тензорного произведени согласно теореме 5проиллюстировано примере тензорного произведения двух модулей алгебры3 . Черным цветом обозначен путь 1 ∈ + соответствующий старшему весув первом модуле 1 тензорного произведения.
Зеленым цветом обозначенывсевозможные ∈ 2 которые можно сцепить с 1 . Синим и красным обозначены два пути, получаемые этим сцеплением, лежащие целиком в главной122камере Вейля. Они соотвествуют старшим весам модулей 21 и 2 в разложении тензорного произведения.На рисунке 4.9 изображены множества путей 1 , 2 , соответствующие весам диаграмм модулей 21 и 2 . Конечныеточки путей находятся в соответствующих весах.
Для того чтобы построитьграф Литтельманна, необходимо конечные точки путей соединить стрелками,соответствующими действию корневых операторов = (1) − . Нетрудно заметить, что они будут действовать также, как и операторы Кашиварана соответсвующих кристаллических базисах и граф Литтельманна в этомпримере изоморфен кристаллическому графу соответствующего модуля.Основываяь на вышесказанном, нетрудно провести соответствие междупутями на пирамиде Паскаля и путями Литтельманна. Правило порожденияна (g, ) пирамиде согласно (4.4) выглядит следующим образом:∑︁∈где (︁())︁(, { }), = (︁())︁ ∑︁( − 1, { }), (4.46)∈-диаграмма модуля, тензорной степени которого соответствуетданная пирамида.Напомним, что в каждом сечении = пирамида Паскаля пред(︁)︁⊗()ставляет диаграмму . В случае 2 алгебры 3 диаграмма фунда(︁)︁()ментального модуля состоит из трех весов:(1 , 1 − 1 , 1 − 1 − 2 )на языке диаграмм Юнга ( 1 , 2 , 3 ) Таким образом, любой вес из − 1слоя пирамиды под действием этих правил перейдет в веса:( + 1 , + 1 − 1 , + 1 − 1 − 2 )или, на языке диаграмм Юнга ячейка ( ) добавится в полустандартную таблицу Юнга, соответствующую весу таким образом, чтобы результирующая123таблица также была полустандартной.
Введем пути на пирамиде Паскаля,которые будут соединять веса на уровне со всеми весами , на уровне + 1, которые связаны с правилом порождения (4.4).Назовем путем отображение ˜ : [0, 1] → ⊗ R. Для двух путей ˜1 , ˜2их сцепление ˜ = ˜1 ⋆ ˜2 определим как ˜ () = ˜1 (2) при 0 ≤ ≤˜ () = ˜1 (1) + ˜2 (2 − 1) при12и≤ ≤ 1 Для разбиения = 1 , . . . , со12ответствующего диаграмме Юнга () положим ˜ = ˜ 1 ⋆ ˜2 ⋆ · · · ⋆ ˜ .Путь ˜ будет соединять последовательно веса 0, 1 , 1 + 2 , . . . в уровнях = 0, 1, 2, . . . (см.
Рис 4.9). На каждом уровне это соответствует переходу от−1 к степени фундаментального модуля путем сцеплению пути ˜ с путями˜ , которые соответствуют весам = ( + 1 , + 1 − 1 , + 1 − 1 − 2 ),на каждом шаге к соответсвующей таблице Юнга будет добавляться ячейка.Пути в графе Литтельманна [41], соответствующие модулю алгебры определяются также через диаграммы Юнга. Путем называется отображение : [0, 1] → . Для двух путей 1 , 2 их сцепление = 1 ⋆ 2 определяетсякак () = 1 (2) при 0 ≤ ≤12и () = 1 (1) + 2 (2 − 1) при12≤ ≤ 1Для разбиения = 1 , . .
. , соответствующего диаграмме Юнга () определяется = 1 ⋆ 2 ⋆ · · · ⋆ . Путь соединяет последовательно веса0, 1 , 1 + 2 , . . . на весовой решетке (см. Рис 4.9).Пути ˜ в пирамиде Паскаля можно взаимннооднозначно отобразить впути Литтельманна отождествив ˜ и , соответствующие одному и томуже разбиению .На рисунке 4.9 в пирамиде Паскаля синим цветом обозначены пути,соответствующие модулю 21 в тензорной степени ⊗21 . Соответствующиепути Литтельманна также обозначены синим и графически представляютсобой "проекции"путей в пирамиде Паскаля на весовую решетку . Аналогичная ситуация и с путями, соответствующими модулю (2 ). На путяхЛиттельманна определено действие корневых операторов , .
Благодаря124построенному соответствию мы теперь можем рассматривать действие этихоператоров на путях из пирамиды Паскаля, и построить граф, изоморфныйграфу Литтельманна и кристаллическому графу, отождествив каждый путьна пирамиде Паскаля с вершиной графа и соединив их стрелками, соответствующими действию корневых операторов.Мы произвели соответствие путей на пирамидах Паскаля и путей Литтельманна для степени первого фундаментального модуля алгебры серии ,рассмотрим же теперь то, как полученное соответствие будет проявляться вправилах разложения тензорного произведения.Разложение тензорного произведенияРазложение тензорного произведения при помощи путей Литтельманнаформулируется теоремой 6.
Согласно этой теореме, тензорное произведениеразлагается на неприводимые подмодули, старшие веса которых задаютсяпутями , лежащими целиком в главной камере Вейля. Они строятся сцеплением путей, параметризующих веса перемножаемых модулей, и эти путимогут быть любыми, но для того, чтобы получить старший вес, при каждомсцеплении необходимо оставаться внутри главной камеры. Это иллюстрируетрисунок 5.Если мы теперь взглянем на соответствующие пути ˜ в пирамиде Паскаля, то они будут находиться полностью внутри конуса, образуемого главнойкамерой Вейля в каждом сечении = . Но тот же самый результат будет давать и Вейль-антисимметризация пирамиды Паскаля. Проводя Вейльантисимметризацию мы удаляем все пути из пирамиды Паскаля, которые накаком-то шаге выходят за границы главной камеры Вейля.Таким образом, метод путей Литтельманна и метод пирамид Паскаляравнозначно решают поставленую задачу разложения тензорной степени мо125дуля.
Оба метода работают для произвольного представления полупростойалгебры Ли. Но стоит отметить, что метод антисимметризации пирамид Паскаля сводит задачу к операциям сложения и вычитания алгебраических выражений (биномиальных, триномиальных, полиномиальных коэффициентов), вто время как в методе Литтельманна необходимо строить пути на решеткеи считать их количество, что практически сложно реализовать в случае высого ранга рассматриваемой алгебры. Стоит отметить, что Литтельманн неставил задачу рассмотрения тензорной степени модуля и поэтому тензорнаястепень строится последовательно попарным умножением модулей.
Разложение модуля при помощи кристаллических базисов осуществить проще, поскольку кристаллический граф легче изобразить на плоскости. Но в этомслучае необходимо рассматривать действие операторов Кашивара на каждойвершине графа, чтобы построить все ребра, и, следовательно, выделить связные компоненты.Из методов, позволяющих определить кратность в разложении тензорной степени модуля, безусловно самым важным является формула Кириллова-Решетихина. Поскольку она была разработана в рамках теории интегрируемых систем, она предполагает рассмотрение оснащенных конфигураций - комбинаторных обьектов, не характерных для теории представленийполупростых алгебр Ли. В работе А.Кириллова и Н.Решетихина [79] былоустановлено соответствие между оснащенными конфигурациями и диаграммами Юнга. Интересной задачей могло бы стать установление аналогичногосоответствия между оснащенными конфигурациями и путями на обобщенной(g, ) пирамиде.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
