Диссертация (1150730), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Вычислим кратность модуля со старшим весом 1 − 21 − 32 в1разложении ((5))⊗ на неприводимые: (, 2, 4)(5),1(︂)︂( − 1)( − 2)3( − 1)( − 1)( − 3)= ( − 1) −+− +=2222Это выражение совпадает с полиномом, полученным в предыдущей главе рек­курентным образом. Хотя результирующее выражение выглядит достаточногромоздко, оно позволяет получить явную зависимость от .4.5. Tензорное произведение фундаментальных и векторных модулей алгебры 1Формула Кириллова-Решетихина позволяет находить кратности в раз­(1 )ложении тензорных произведений модулей вида 1( )⊗ .

. . ⊗ . Для111()алгебры модули = ( ) = (). Для алгебры 2 это моду­ли (). Обобщенный алгоритм нахождения антиинвариантной функциикратности применим и в этом случае.Рассмотрим для примера произведение модулей Кириллова-Решетихи­(1)(2)на 1 ⊗ 1= () ⊗ (2). Чтобы получить (, , )(2),,2 согласнонашему алгоритму, сначала рассмотрим произведение векторых модулей⊗2 . Для любого старшие веса неприводимых модулей в разложении ле­жат на решетке корней, и если описывать их координатами относительнофундаментального вектора ˜ , отложенного из центра вейлевской симметриисингулярного элемента (˜ = − ), то всегда будут целыми нечетнымичислами.

Ранее в (4.14) было получено, что для -й тензорной степени моду­ля со старшим весом 2 выражение для кратности неприводимого модуля состаршим весом ˜ имеет вид:⎛ ⎞∑︁ (, )(2),2 =(−1) ⎝ ⎠ (2 − 2)!1( − + 2 + 2 )!( − + 12 − 2 )!=0(4.26)В этой сумме есть только слагаемые с ≤ + 21 − 2 , поскольку все остальныебиномиальные коэффициенты приравниваются к нулю.⊗Для того, чтобы теперь рассмотреть тензорное произведение ⊗ ⊗ 2обратимся к графу сингулярного элемента. Теперь из каждого узла уровня графа сингулярного элемента модуля ⊗2 с координатой будет расти тре­угольник Паскаля (см. Рис 4.7). Поскольку функция (, )(2),2 антисим­метрична относительно замены на −, то можно сократить вычисления,проводя суммирование только по целым неотрицательным , сгруппировавсоответствующим образом треугольники Паскаля, что будет давать коэффи­циент при каждом (, )(2),2 в результирующей формуле.Для = 1 треугольник Паскаля будет расти из старшего веса тривиаль­ного представления и такой же треугольник с отрицательными кратностями112Рис.

4.7. Граф сингулярного элемента модуля 42 ⊗ 2будет расти из симметричного веса −2 (см. Рис 4.7). Мы будем иметь ту жекартину что и в разложении ⊗ на неприводимые, для которого кратностьмодуля со старшим весом ( − 20 ) имеет вид:⎞⎛ ⎞ ⎛⎠1 (, 0 ) = ⎝ ⎠ − ⎝0 − 10(4.27)Для = 3 треугольник Паскаля будет расти из веса 2 и такой же треуголь­ник с отрицательными кратностями будет расти из симметричного веса −4(см. Рис 4.8). В результате будем иметь граф сингулярного элемента 2 ⊗⊗для которого кратность модуля со старшим весом ( − 21 + 2) имеет вид⎛ ⎞ ⎛⎞⎠3 (, 1 ) = ⎝ ⎠ − ⎝(4.28)11 − 3Для остальных группировка происходит аналогичным образом.Для = 2+1(это старший вес для -кратного произведения векторных113модулей) имеем⎞⎛ ⎞ ⎛⎠2+1 (, ) = ⎝ ⎠ − ⎝ − (2 + 1)(4.29)⊗Рис.

4.8. Граф сингулярного элемента ⊗ и граф сингулярного элемента модуля 2 ⊗⊗Для получения кратностей в разложении ⊗ ⊗ 2 нам необходимодомножить (, ) на (, )(2),2 и просуммировать по = 1 . . . 2 + 1.Заметим, что = − + . Обозначим как . Эта координата будет⊗отсчитываться от старшего веса (2 + ) рассматриваемого модуля ⊗ 2 .Поскольку формула для векторного модуля записана в терминах координаты, отсчитываемой от центра Вейлевской симметрии сингулярного элемента,то перейдем к этой координате, заметив, что =−12 .Имеем: (, , )(2),,2 =2+1∑︁⎛ (, )(2),2 ⎝=−2−1=2+1∑︁=1⎡⎛ (, )(2),2 ⎣⎝⎞2−+ −12⎛⎠−⎝⎞2−+ −12⎠=⎞⎤2−− −12⎠⎦ =114=⎛ ⎞(−1) ⎝ ⎠ (2 − 2)!11 ×(−++)!(−+−2222 )!=02+1∑︁ ∑︁=1⎡⎛× ⎣⎝⎞2−+ −12⎛⎠−⎝⎞⎤2−− −12⎠⎦Таким образом, нам удалось получить кратность для тензорного произве­дения степеней различных модулей.

Эту процедуру можно обобщить и на⨂︀( ) .произвольные модули Кириллова-Решетихина=14.6. Тензорная степень произвольного модуля имультиномиальные коэффициентыВ общем случае известно, что степень полинома раскладывается по сте­пеням образующих с использованием мультиномиальных коэффициентов [15]:⎞⎛∑︁⎠ 11 22 . . . (4.30)⎝(1 + 2 + · · · + ) =1 +2 +···+ = 1 , 2 , .

. . , ⎛⎞⎠=где ⎝1 , 2 , . . . , !1 !2 !... !- мультиномиальный коэффициент.С другой стороны, характер любого модуля можно представить в виде1 + 2 + · · · + . Поэтому характер -кратной степени этого модуля можноразложить по весовым пространствам при помощи формулы (4.30). Напри­мер, пусть у нас есть спинорный фундаментальный модуль алгебры (5).Его характер в переменных , - отсчитываемых от старшего веса в алгебреформальных экспонент можно представить как 1+++.

Если применитьк нему формулу мультиномиального разложения будем иметь: ℎ(2 )⊗ == (1+++) =∑︁1 +2 +3 +4!2 3 ()4 =1 !2 !3 !4 !=∑︁1 +2 +3 +4!2 +4 3 +41 !2 !3 !4 !=115Для того, чтобы получить кратность нулевого веса на уровне = 2 в этомхарактере, необходимо найти коэффициент при . Т.е 2 + 4 = 1 и 3 + 4 =1. Это может быть только в двух случаях - при 2 = 3 = 0, 4 = 1 или при2 = 3 = 1, 4 = 0. Подставив эти значения в формулу получим правильныйответ: 4.

Для получения функции кратности в разложении тензорной степенинадо провести Вейль-антисимметризацию (4.6). Здесь уже не удалось уйти отразбиений чисел, но формула (4.30) обладает наибольшей степенью общности.4.6.1. Общие замечания относительно (g, ) -пирамидВ предыдущих параграфах был сформулирован метод нахождения функ­ции кратности ⊗в разложении тензорной степени сингулярного элемента∑︀модуля полупростой алгебры g на неприводимые Ψ(( )⊗ ) = ⊗ Ψ( ),и получен явный вид выражений для фундаментальных модулей алгебр (3)и (5). Необходимо отметить, что данный алгоритм по сути дела являетсяприменением формулы Вейля для тензорной степени модуля.Действительно, формула Вейля для характера[6]∑︀(+)Ψ( )∈ ()ℎ( ) = = Π∈Δ+ (1 − − )Ψ(0 )(4.31)для тензорной степени модуляℎ(( )⊗ )Ψ(( )⊗ )=,Ψ(0 )(4.32)и интересующий нас сингулярный элементΨ(( )⊗ ) = Ψ(0 ) · ℎ(( )⊗ ).(4.33)Как мы видели ранее, ℎ( ) есть в алгебре формальных экспонент.

Вней умножение ℎ(( )⊗ )на Ψ(0 ) дает вейль-антисимметричную линейнуюкомбинацию элементов алгебры. Если мы будем рассмаривать эту процедуру116в проекции на определенный вес с координатами , то получим выведеннуюнами ранее формулу для кратностей∑︁ (, ), =(−1)() (, {̃︁ }),(4.34){̃︁ }: −̃︁ =(()−)Данная формула, как и формула Вейля, применима для всех полупростыхалгебр Ли и модулей любой размерности, и обладает большей степенью общ­ности, чем формула Кириллова-Решетихина (2.71).4.7. Связь обобщенных (g, ) - пирамид с путямиЛиттельманна и кристаллическими графамиВ этом разделе мы покажем, как построенные в данной главе обоб­щенные (g, ) -пирамиды связаны с путями Литтельманна и кристалличе­скими базисами.

На Рис.4.9 показано тензорное произведения двух фунда­ментальных модулей 1 алгебры 3 и его разложение на неприводимые:⊗21 = 21 + 2 . В центре рисунка изображены пути Литтельманна длямодулей 21 (синим) и 2 (красным), а справа - соответствующие кристалли­ческие графы. Отметим, что на рисунке изображены именно пути, а не графЛиттельманна, они будут нам необходимы в дальнейшем для установлениясоответствия с пирамидой Паскаля. Веса модулей обозначены при помощитаблиц Юнга. Стрелками обозначены операторы Кашивара.Кристаллические базисы для ( )Рассмотрим кристаллические графы на примере модулей ( ) и уви­дим, что любой модуль можно выразить через тензорную степень кристалли­ческого графа фундаментального модуля.Для описания модулей алгебры g = используется аппарат таблицЮнга, поэтому между кристаллическими графами ℬ и полустандартными117Рис.

4.9. Алгебра 3 . Пирамида Паскаля для ⊗21 , cоответствующие пути Литтельмана икристаллический граф для тензорного произведения модулей () ⊗ (1 ) = (21 ) + (2 ) алгебры (3 )(значок ⊗ опущен)таблицами Юнга формы () должно существовать соответствие. Опишемего согласно [37]. Для каждого модуля () из категории его старшийвес находится на решетке доминантных весов+≥0= { = 1 1 + · · · + ∈ ≥0 |1 ≥ 2 ≥ . . . ≥ 0}(4.35)и () может быть параметризован разбиениями = (1 ≥ 2 ≥ · · · ≥ )на максимум частей, что соответствует диаграммам Юнга с максимум рядами.

Введем частичное упорядочивание: ≥ тогда и только тогда, когда1 ≥ 2 ≥ · · · ≥ ≥ 1 ≥ 2 ≥ · · · ≥ для = 1, 2 . . . Определим фундаментальные веса = 1 + · · · + ( = 1 . . . ).(4.36)+Тогда любой доминантный вес = 1 1 + · · · + из ≥0выражается через118их линейную комбинацию = (1 − 2 )1 + · · · + (−1 − )−1 + .(4.37)и обратно = (1 + · · · + )1 + (2 + · · · + )2 + · · · + (−1 + )−1 + (4.38)Известно,что базисные вектора -модуля () могут быть параметризавныполустандартными таблицами Юнга формы .Диаграммой Юнга формы называется набор ячеек, в котором длиныстрок образуют невозрастающую последовательность.

Набор чисел, состоя­щий из длин строк, задает разбиение числа (см. рисунок). В данномслучае = 41 + 32 + 23(4.39)Диаграмма Юнга формы / состоит из множества ячеек, принадлежащих, но не принадлежащих .Таблицей Юнга называется диаграмма Юнга, в каждой ячейке которойзаписано некоторое целое число из множества 1, 2, . . .

. Таблица называетсяполустандартной, если числа не убывают по горизонтали и возрастают повертикали. Выписывая, сколько раз встречается каждое число, мы получаемвес таблицы ( ) = 1 1 + · · · + . Ниже приведен пример таблицы Юнгас весом = 21 + 22 + 431122333(4.40)3Пусть - диаграмма Юнга формы , и пусть - число ячеек в . Обозначимℬ( ) число всех полустандартных таблиц Юнга формы .119Следуя работе [37] покажем, как вектор модуля алгебры парамет­ризуемый таблицей Юнга, сопоставляется вектору кристаллического базисатензорной степени фундаментального модуля (1 ) алгебры ( ).Определим вложение ℬ( ) в B⊗ , где B - кристаллический граф фун­12−1даментального модуля.

Характеристики

Список файлов диссертации