Диссертация (1150730), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Построение полинома ( )2. Нахождение (, { }),3. Вейль-антисимметризация: (, ), =∑︁{˜ }: −̃︁ =(()−)(−1)() (, {̃︁ }),1014.2. Алгебра 1Фундаментальный модульПроиллюстрируем вышесказанное на примере фундаментального моду­ля алгебры (2). Для него полином (2)() = 1+, а коэффициент перед в разложении ((2)()) по степеням представляет собой биномиальныйкоэффициент (, ).

В этом случае соответствующая ((2), )-пирамидапредставляет собой треугольник Паскаля. На рисунке 4.1 слева изображенсингулярного элемента фун­треугольник (граф) Паскаля, а справа граф (2)даментального модуля алгебры (2). У вершин графа Паскаля стоят бино­миальные коэффициенты, а для графа (2)- значения функции кратностисингулярного элемента. Они удовлетворяют одному и тому же рекуррентно­му соотношению (, ) = ( − 1, − 1) + ( − 1, ), = 0.., = 0..∞,(4.8)но разным начальным условиям. В треугольнике Паскаля (0, 0) = 1, а дляграфа сингулярного элемента (0, 0) = 1, (0, 1) = −1.

Для нахождения (, )(2), необходимо построить Вейль-антисимметричное выражение избиномиальных коэффициентов, удовлетворяющее начальным условиям гра­фа сингулярного элемента. Графически "Вейль-антисимметризацию"можнопредставить как наложение двух графов Паскаля, сдвинутых относительнодруг друга, с разными знаками.

Воспользуемся формулой (4.5). Имеем⎛ ⎞ ⎛⎞⎠ = ()!( − 2 + 1) (, )(2), = ⎝ ⎠ − ⎝(4.9)()!( − + 1)!−1Таким образом, мы получили выражение для кратности неприводимого мо­дуля со старшим весом (−2) в разложении -й тензорной степени фунда­ментального модуля алгебры (2). Она совпадает с фермионной формулой102Бете, и считает число бетевских векторов длины для спиновой цепочкидлины из спинов12[68],[70]).Рис.

4.1. Треугольник Паскаля и граф сингулярного элемента фундаментального модуляалгебры (2)Векторный модульХарактер для степени векторного модуля алгебры (2) со старшим ве­сом 2:⎛ ⎞2⎝ ⎠ +((2)()) = (1 + + 2 ) ==0 ∑︁(4.10)2Коэффициенты этого разложения называются триномиальными коэффици­ентами:⎛ ⎞⎛ ⎞⎛⎞∑︁ ⎝ ⎠ =⎝ ⎠⎝⎠−=(4.11)2⎛при этом все ⎝⎞⎠ полагаются = 0 при < /2. Индекс = 0 . . .

2.−Существует и другое выражением для триномиальных коэффициентов:⎛ ⎞⎛⎞⎛ ⎞∑︁2 − 2⎝ ⎠ =⎠(−1) ⎝ ⎠ ⎝(4.12)−−=02103Рис. 4.2. Триномиальный треугольник и граф сингулярного элемента векторного модуляалгебры (2)Здесь индекс = − . . . - координата из центра симметрии треугольника(см. Рис.4.2). В этом выражении в явном виде видна симметрия относительно −→ −, и соответствующая разность этих двух выражений будет антисим­метрична.Выражение для кратности сингулярного элемента получается "Вейль антисимметризацией"триномиальных коэффициентов:⎞⎛⎛ ⎞⎠ (, )(2),2 = ⎝ ⎠ − ⎝+12(4.13)2Окончательно, воспользовавшись выражением 4.12 получим антиинвариант­ную функцию кратности модуля алгебры (2) со старшим весом ( − 1) вразложении -й тензорной степени модуля со старшим весом 2 на неприво­димые: (, )(2),2⎛ ⎞=(−1) ⎝ ⎠ (2 − 2)!( − + 12 + 2 )!( − + 12 − 2 )!=0(4.14)∑︁где = 2Z + 1 -координата из центра вейлевской симметрии сингулярного104элемента (для удобства сделана замена = 2 + 1).

В этой сумме фактическиостаются только слагаемые с ≤ + 21 − 2 Каждое слагаемое антиинвариантноотносительно замены → − что позволяет нам явно увидеть антиинвари­антность функции кратности относительно преобразований группы Вейля.Пример⊗4Получим кратность модуля со старшим весом 2 в разложении (2на(2) )неприводимые.Здесь = 4, = 3 и суммирование ведется = 0 . . .

3. Выражения в знаме­нателе можно заменить на гамма функции для удобства расчетов. В итогебудем иметь120960 8640 432 24−+−=64320240246Расчет по этой формуле проще, чем по формуле Кириллова-Решетихина ваналогичной сиитуации. Несмотря на то, что выражение включает в себяслагаемые разных знаков(что является следствием формулы Вейля) подсчеткратностей сводится к операциям сложения и умножения. Формула Кирил­лова-Решетихина, напротив, суммирует только положительные слагаемые, нодля расчета с ее помощью необходимо рассматривать разбиения чисел, а за­тем для каждого набора проверять, является ли конфигурация допустимой.4.3.

Алгебра 21Фундаментальный модуль (3)Для модуля алгебры (3) со старшим весом 1 характер имеет вид:1((3)(, ))= (1 + + ) =∑︁∑︁(; 1 , 2 )1 21 =0 2 =0(4.15)105Рис. 4.3. Пирамида Паскаля и ее Вейль-антисимметризация в сечении = 0. Внутренниеребра не изображены.Здесь 1 , 2 -комбинаторные координаты. Для удобства расчетов перейдем вкоординаты 1 , 2 относительно базиса (̃︁1 , ̃︁2 ), назовем их алгебраическими(в отличие от комбинаторных, эти базисные вектора сонаправлены корням(см.Рис.4.3)): 1 = 1 − 2 , 2 = 2 .Коэффициенты разложения 4.15 имеют вид:(; 1 , 2 ) =!2 !( − 1 )!(1 − 2 )!(4.16)Обобщенная ((3), 1 )-пирамида является пирамидой Паскаля (см. Рис.4.3).Вейль-антисимметризация коээфициентов 4.16 дает выражение для антиин­вариантной функции кратности: (, 1 , 2 )(3),1 == (; 1 , 2 ) − (; 1 − 1, 2 ) + (; 1 − 2, 2 − 1)(4.17)106−(; 1 , 2 − 1) + (; 1 − 1, 2 − 2) − (; 1 − 2, 2 − 2)Это выражение можно упростить.

Перейдем в координаты (1 , 2 ) относитель­но векторов (˜1 , ˜2 )(фундаментальные вектора, отложенные из центра сим­метрии сингулярного элемента). Координаты 1 , 2 выражаются через нихследующим образом:1 =2−21 −2 +3,32 =−1 −22 +33В новых координатах выражение имеет вид (, 1 , 2 )(3),1 =1 2 (1 + 2 )!2 +32 +3( −1 −2)!( −1 +)!( +213+2 +3 )!33(4.18)Это выражение совпадает с выражением 3.10, полученным для фундамен­тального модуля алгебры (3) в главе 3.4.4. Алгебра 2Cпинорный фундаментальный модуль алгебры 2Характер модуля алгебры2 ((5)) со старщим весом 2 можно выра­зить через биномиальные коэффициенты:2((5)(, )) = (1 + + + ) = (1 + ) (1 + ) ==∑︁∑︁1 =0 2!!1 21 !2 !( − 1 )!( − 2 )!=0(4.19)Здесь 1 , 2 -комбинаторные координаты.

Каждая боковая грань соответ­ствующей ((5), 2 ) -пирамиды представляет собой треугольник Паскаля.Кратности весов в каждом сечении при постоянном представляют собойбиномиальные коэффициенты, умноженные на постоянный множитель.(см.Рис 4.4)107Перейдем в алгебраические координаты 1 , 2 относительно сдвинутогобазиса (̃︁1 , ̃︁2 ) (см.Рис.4.4)): 1 = 1 − 2 , 2 = 2 .Рис. 4.4. ((5), 2 )-пирамидаРис. 4.5. Вейль-антисимметризация ((5), 2 )-пирамидыВ этих координатах коэффициент имеет вид:(, 1 , 2 )(5),2 =!!(1 − 2 )!2 !( − 1 + 2 )!( − 2 )!(4.20)Вейль-антисимметризация (см.Рис 4.5) приводит к следующему выражению108для (, 1 , 2 )(5),2 : (, 1 , 2 )(5),2 = (, 1 , 2 )(5),2 −(, 1 −1, 2 )(5),2 +(, 1 −3, 2 −1)(5),2 −−(, 1 − 4, 2 − 2)(5),2 + +(, 1 − 4, 2 − 3)(5),2 −− (, 1 − 3, 2 − 3)(5),2 + (, 1 − 1, 2 − 2)(5),2 − (, 1 , 2 − 1)(5),2 (4.21)Перейдем в координаты 1 , 2 относительно фундаментальных векторов (˜1 , ˜2 ),отложенных из центра симметрии сингулярного элемента.

Координаты 1 , 2выражаются через них следующим образом: 1 =−1 −2 +2+4,22 =−2 ++3.2После упрощения получим выражение для антиинвариантной функции крат­ности: (, 1 , 2 )(5),2 =1 2 (21 − 22 )( + 2)!!4( +21 +3 )!( −21 +3 )!( +22 +3 )!( −22 +3 )!(4.22)Это выражение совпадает с выражением 3.12, полученным в предыдущейглаве.Векторный фундаментальный модуль алгебры (5)Получим при помощи обобщенного алгоритма построения антиинвари­антной функции кратности явное выражение для (, 1 , 2 )(5),1 .

В преды­дущей главе было показано, что оно не распадается на мономы, поэтому по­лучить это выражении при помощи стандартного алгоритма для фундамен­тальных модулей представлялось невозможным. Формула Кириллова-Реше­тихина предполагает суммирование по разбиениям чисел, что затрудняет вы­числения и не позволяет получить явного выражения. Обобщенный алгоритмпозволяет получить новую формулу кратности для степени векторного пред­ставления.109Рис. 4.6. ((5), 1 )-пирамидаХарактер векторного фундаментального модуля представим виде поли­1нома: (5)(, ) = 1 + + 2 + 2 + 2 2 .

Его можно переписать черезкомбинацию биномиальных и триномиальных коэффициентов:1((5)(, )) = (1 + + 2 + 2 + 2 2 ) = [(1 + 2 2 ) + (2 + + 2 )] ==∑︁=0=∑︁=0!(1 + 2 2 )− (2 + + 2 ) =!( − )!−2∑︁∑︁∑︁!!( − )!!2 2 ( ) 2−!( − )! =0 !( − − )!!( − )! ( − )!(2 − )!=0=0Перейдем к комбинаторным координатам. Обозначим общую степень при за 1 а при за 2 .

Тогда =2 −1 +2,2=2 +1 −24и суммирование будетвестись по таким 1 , 2 чтобы , ∈ Z.Имеем:1((5)(, ))2∑︁=1 2 ×1 ,2 =0×∑︁∑︁1( 2 +4=0 =0−)!(2−1( 2 +4+))!!(2!11− )!( 2 −+ − )!(2 − ( 2 −+ ))!22(4.23)110Можно уточнить пределы суммирования, тогда окончательно будем иметь:(, 1 , 2 )(5),1 =1 +222 −1+2∑︁∑︁=1 −22=2 −1+ 221( 2 +4−)!(2−1( 2 +4+))!!(2!11− )!( 2 −+ − )!(2 − ( 2 −+ ))!22(4.24)Если 1 + 2 кратно четырем, то суммирование ведется по четным .Если 1 + 2 некратно четырем, то суммирование ведется по нечетным .Соответствующей Вейль-антисимметризацией получаем: (, 1 , 2 )(5),1 == (, 1 , 2 )(5),1 − (, 1 − 1, 2 + 1)(5),1 + (, 1 − 3, 2 + 1)(5),1 −−(, 1 − 4, 2 )(5),1 + (, 1 − 4, 2 − 2)(5),1 −−(, 1 −3, 2 −3)(5),2 +(, 1 −1, 2 −3)(5),1 −(, 1 , 2 −2)(5),2 (4.25)Пример.

Характеристики

Список файлов диссертации