Диссертация (1150730), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Необходимо производить факторизацию по предыду­щим уровням, что сложно при большом числе сомножителей. Аналогичнопри росте числа сомножителей усложняется решение задачи другими мето­дами, поскольку разложение тензорных произведений через кристаллическиебазисы требует проверки действия операторов Кашивара на каждом векторе59из тензорного произведения, и, по сути, того же требует модель путей Лит­тельманна, а формула Кириллова-Решетихина предполагает суммированиепо большому количеству различных разбиений числа.

Получить таким обра­зом явную формулу зависимости кратности от числа сомножителей такжене представляется возможным. В этой связи становится актуальной задачанахождение более простого способа подсчета кратностей.60Глава 3Антиинвариантная функция кратности дляфундаментальных модулей наименьшейразмерности3.1. Общие замечания относительно предлагаемогометода3.1.1. Постановка задачиБудем рассматривать полупростую алгебру Ли g ранга . Для непри­водимого модуля алгебры g со старшим весом будем рассматриватьразложение тензорной степени этого модуля на неприводимые( )⊗ =∑︁ (, ) .(3.1)Задача состоит в нахождени кратностей (, ) как функций и .Решение этой задачи будем строить, используя свойства группы Вейля ал­гебры g[5, 6, 4, 2].

Известно, что формулы, основанные на суммировании погруппе Вейля, были одними из первых, используемых разложении тензорныхпроизведений, и последующие модели стремились отойти от знакоперемен­ных сумм. Несмотря на это, сама формула Вейля представляет собой мощ­ный универсальный инструмент, используя который, можно получить ещенесколько методов, используемых для разложения тензорных произведений.613.1.2. Характер и сингулярный элемент модуляОстановимся подробнее на том, что представляет собой группа Вейляи какие обьекты, характеризующие модуль и тензорное произведение, мож­но построить с использованием группы Вейля. Напомним крратко основныеопределения, которые будут нам необходимы в дальнейшем[5, 6, 4, 2].

Извест­но, что полупростой алгебре Ли g ранга можно однозначно сопоставитьприведенную неприводимую корневую систему в вещественном + 1-мерномвекторном пространстве со скалярным произведением ( , ) и стандартнымортонормированным базисом { }. Группа Вейля является подгруппой груп­пы отражений этого пространства, соответствующей этой корневой системе.Отражением, связанным с вектором называется автоморфизм ∈ ,для которого множество () инвариантных относительно векторов об­разует гиперплоскость в и выполняется равенство: = −.

Действиеоператора отражения на векторе ∈ можно выразить через невырожден­(,)ную билинейную форму: = − ⟨, ⟩, где ⟨, ⟩ = 2 (,).Определение 3.1.1. Группой Вейля корневой системы Δ называетсядискретная подгруппа, порожденная операторами отражений , где ∈Δ.Для порождающих операторов { | ∈ Δ} справедливо свойство =−1. Для произвольного элемента = 1 . . . ∈ , () := () =(−1) . Если удалить из пространства гиперплоскости, задаваемые ∈ Δ,то оно распадется на конечное число открытых множеств, называемых каме­рами Вейля.

Среди них можно выделить одну, называемую главной камеройВейля 0 , которая представляет множество элементов вида: 0 = { ∈ | (, ) > 0, = 1 . . . , ∈ }(3.2)62Если рассмотреть замыкание главной камеры Вейля 0 , т.е допустить ⟨, ⟩ =0 то можно показать, что 0 является фундаментальной областью для дей­ствия . Т.е для каждого вектора ∈ существует только один вектор ∈ 0 такой, что = (), ∈ .Определение 3.1.2. Формальным характером модуля со старшим ве­сом называется элемент алгебры формальных экспонент:∑︁ℎ =( )(3.3)Определение 3.1.3.

Сингулярными весами модуля со старшим весом∑︀ называются веса: = ( + ) − , ∈ , = 21 ∈Δ+ .Определение 3.1.4. Сингулярным элементом Ψ модуля называетсяэлемент алгебры формальных экспонент:∑︁Ψ = () ∘(+)−(3.4)∈Определение 3.1.5. Несдвидутым сингулярным элементом Φ модуля будем называть элемент алгебры формальных экспонент:∑︁Φ = () ∘(+)(3.5)∈По теореме Вейля-Каца характер модуля старшего веса выражается че­рез сингулярный элемент:ℎ( ) =∑︀ () ∘(+)−Ψ=Π∈Δ+ (1 − − )Ψ0∈(3.6)3.1.3. Формулировка задачи в терминах сингулярных элементовИскомая функция (, ) задачи (3.1) задана на решетке доминантныхвесов + и ее областью определения является (0) . Можно переформули­ровать задачу таким образом, чтобы новая искомая функция (, ) была63задана на всем весовом пространстве, и при этом обладала определеннымисвойствами симметрии относительно преобразований группы Вейля.

Мы по­строим это продолжение так, чтобы новая функция кратности (, ) сов­падала с кратностью сингулярного элемента, и воспользуемся свойствами ееантисимметрии для получения явного вида (, ).Построим продолжение функции (, ) на другие камеры как Вейль-анти­инвариантную функцию(3.7) (( + ) − , )|∈ = () (, ).Легко заметить, что функция (( + ) − , ) = (, ) описывает крат­ности весов сингулярного элемента модуля . Действительно, в терминахформальных характеров исходная задача (3.1) переписывается следующимобразом:ℎ(( )⊗ ) =∑︁(3.8) (, ) ℎВоспользовавшись формулой Вейля, получим выражение:∑︁∑︁∑︁∑︁ (, ) () ∘(+)− = (, ) , (, ) Ψ() =Ψ(( )⊗ ) =∈∈(3.9)Формула (3.9) представляет собой то же соотношение что и (3.1) в терминахсингулярных элементов.

Областью определения функции (, ) являетсявся весовая решетка . Теперь мы можем использовать свойства антисиммет­рии функции (, ) относительно преобразований Вейля для нахожденияее явного вида. Искомую функцию кратности (, ), являющуюся решени­ем (3.1) можно получить сужением (, ) | (0) .В дальнейшем, задача будет состоять в нахождении функции (, ),которую мы будем обозначать ⊗ (, ) и будем называть ее просто функ­цией кратности.643.2. Построение функции кратности для степенейфундаментальных модулей наименьшейразмерностиВ этой главе мы сформулируем алгоритм [87, 88, 89], который позво­ляет получить явный вид зависимости (, ) от для степеней фундамен­тальных модулей алгебр серий , наименьшей размерности, что позво­лит изучать асимптотику функции кратности в термодинамическом пределе → ∞.

Полученное выражение дает число бетевских векторов для спиновыхцепочек, в каждом из узлов которых действует соответствующее фундамен­тальное представление. Ту же задачу для конечного можно решить припомощи фермионной формулы Кириллова-Решетихина, хотя процесс будетнесравненно более трудоемким. Применение формулы Кириллова-Решетихи­на при → ∞ не представляется возможным из-за быстрого роста коли­чества разбиений, по которым необходимо производить суммирование, в товремя как для выражения, полученного при помощи алгоритма, сосчитатьуказанную асимптотику сравнительно несложно.Наиболее кратко основное утверждение алгоритма можно сформулироватьследующим образом:Решениe задачи (3.9) для фундаментальных модулей наименьшей раз­мерности алгебр серии , однозначно определяется свойствами ан­тисимметрии сингулярного элемента относительно преобразований группыВейля, ограничениями области его существования и граничными условиями.Ниже мы сформулируем алгоритм построения вейль-антиинвариантной̃︁⊗ (, ), и докажем, что ̃︁⊗ (, ) = ⊗ (, ), где ⊗ (, )функции - решение задачи (3.9) при = (здесь - фундаментальный вес, являю­65щийся старшим весом модуля ).Алгоритм̃︁⊗ (, ), удовлетворяю­Построим антиинвариантную функцию кратности щую следующим условиям:1.

Равенство нулю функции кратностей вне орбиты старшего веса = .Будем считать, что все нули простые (это предположение объясним поз­̃︁⊗ (, ) обращалась в нуль внеже) и требовать прежде всего, чтобы орбиты старшего веса в узлах решетки доминантных весов. Правильноеповедение в иных камерах Вейля будет обеспечено ниже наложениемусловия Вейль-антиинвариантности. Искомое решение удобно писать вкоординатах, согласованных с действием группы Вейля на сингулярномэлементе модуля, где центр антисимметрии сдвинут относительно нулярешетки на вектор −.2. Равенство нулю на границах камер Вейля (сдвинутых на −)– тривиальное свойство сингулярного элемента для модулей старше­го веса конечномерной алгебры g.

Как и в предыдущем пункте, здесьтакже достаточно потребовать зануления на границах главной камерыВейля. Для этого используем простейшую функцию, которая обладаеттребуемым поведением – произведение координатных функций веса (вбазисе фундаментальных весов, сдвинутых на −).3. Антиинвариантность по отношению к преобразованиям Вейля:̃︁⊗ (, ) = () ̃︁⊗ (, ); ∈ .∘Поскольку при построении -антиинварианта нули искомой функциинеобходимо сохранить, решение представляется в виде произведенияэлементов -орбиты выражения, полученного на предыдущих этапах.̃︁⊗ ( + , ) = 14. Граничные условия 66Последнее условие отражает тот факт, что старший вес сингулярногоэлемента имеет кратность 1.3.2.1.

Построение антиинвариантной функции кратности дляg = при помощи алгоритмаДля алгебры g = введем необходимые обозначения:Δ = { − | ̸= }. = {1 = 1 − 2 , . . . = − +1 }{ }- стандартный евклидов базис в пространстве = R+1 . = 1 - 1-й фундаментальный модуль, 1 = + 1,1 = 1 - 1-й фундаментальный весПостроение антиинвариантной функции кратности для g = 2̃︁⊗ (, ) до­Для 2 для расширенной области определения функции 2статочно использовать 3 камеры Вейля.

Характеристики

Список файлов диссертации