Диссертация (1150730), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Одновременно с дальнейшим обобщением этих моделей на алгебры более высокогоранга [73, 74], обобщалась и формула для подсчета числа собственных функций [78, 79, 77], которая в самом общем виде была получена А. Кирилловым и Н. Решетихиным в [76]. С точки зрения модели спиновой цепочки этаформула представляла собой выражение для числа собственных векторов иимела вид суммирования по различным конфигурациям, с математическойточки зрения она описывала кратность в разложени тензорной степени представления алгебры наблюдаемых, определенного в каждом узле цепочки, нанеприводимые.2.2.1.
Цепочка ГейзенбергаВ качестве пространства системы рассмотрим дискретный круг - упорядоченный набор точек, нумеруемых числами , с отождествлением ≡ + , - фиксированное положительное число, которое несет смысл периодических граничных условий [69]. Переход к непрерывному случаю осуществляется при помощи введения шага Δ. Через него выражается координата = Δ,которая cтановится непрерывной при Δ → 0, → ∞.34Алгебра наблюдаемых задается в каждом узле и генерируется динамическими переменными . Индекс принимает конечный набор значений.
Алгебра задается фиксацией коммутационных соотношений между . Взаимодействие называется ультралокальным, если и комутируетпри ̸= . Для представления алгебры в каждом узле зададим гильбертово пространство h. Гамильтониан такой системы задается в гильбертовомпространстве состояний HH = ⨂︁∏︁h ,(2.14)=1в котором операторы представления (далее также будем обозначать их )действуют следующим образом: = ⊗ · · · ⊗ ⏟⏞ ⊗ · · · ⊗ (2.15)В зависимости от выбора представления алгебры мы будем иметьразные пространства представления. Например, для спиновой цепочки Бетеh = C2 .2.2.2.
XYZ-модельВ качестве генераторов алгебры наблюдаемых рассмотрим спиновые переменные с коммутационными соотношениями[70]:[, ] = } (2.16)где - полностью антисимметричный тензор. Эти коммутационные соотношения определяют алгебру 2 , для которой конечномерные представлениязадаются полуцелыми числами = 0, 21 , 1 . . . и действуют в пространствеh = C2+1 . Для =12операторы задаются матрицами Паули как = }2 .
Здесь -операторы Паули, которые в ортонормированном базисе35пространства C2⎛ ⎞1+ = ⎝ ⎠ ,0⎛ ⎞0− = ⎝ ⎠1выглядят следующим образом:⎞⎛⎞⎛0 −0 1⎠,⎠ , 2 = = ⎝1 = = ⎝ 01 0⎞⎛1 0⎠3 = = ⎝0 −1(2.17)(2.18)a 4 = - единичный оператор в пространстве C2 . Также имеют место периoдические граничные условия:+1 = 1( = 1, 2, 3)(2.19)Гамильтониан - цепочки имеет вид: = ∑︁3∑︁ +1(2.20)=1 =1Здесь , , -вещественные константы.Введенный таким образом оператор энергии представляет собой матрицу 2 × 2 . Частные случаи = ̸= и = = = называются и моделями соответственно.2.2.3.
21 - модельДля - модели Гамильтониан имеет вид ∑︁3∑︁ = ( +1− /4)(2.21)=1 =1Г.Бете [68] использовал -модель для рассмотрения однородного изотропного магнетика и нашел собственные вектора и собственные значенияэтого гамильтониана. Собственные вектора такой задачи он назвал спиновыми волнами.36У каждого атома в такой системе два состояния с одинаковой энергией: спинэлектрона может быть направлен либо вверх, либо вниз (в терминологии Бете, либо направо, либо налево). Состояние цепочки может быть зафиксировано, если указать, сколько спинов указывает в определенную сторону, например, налево.
Предположим, что это атомы с номерами 1 , . . . , . Пустьсоответствующая собственная функция (1 , . . . , ). Тогда правильная собственная функция, в приближении нулевого порядка, будет иметь видΨ(1 , . . . , ) =∑︁(2.22)(1 , . . . , )(1 , . . . , )1 ,...,Для = 1 собственная функция имеет вид () = , =2 ,где - целое число. Решение такого вида Бете назвал спиновой волной. В общемслучае он предположил, что решение выглядит следующим образом:(1 , . . .
, ) =!∑︁ =1[∑︁=11 ∑︁ + , ]2(2.23)<здесь обозначает перестановку чисел 1, 2 . . . , а - это число, которое этоперестановка ставит на место , а , - некоторые функции. Энергия такого∑︀состояния = =1 [1 − ].Здесь мы не будем подробно описывать явный вид этих функций приразных . Это подробно изложено в [68]. Нас будет интересовать подсчет числа решений с заданным спином.В общем случае решениями являются спиновые комплексы.
Рассмотрим спиновых комплексов, каждый с спиновыми волнами: 1 волн с вещественными волновыми числами 1 , 2 - пар волн с комплексно сопряженнымиволновыми числами и т.д. Введем , связанную с волновым числом равен∑︀ством: = 2 + . Бете определил, что величина 1 для первогокомплекса с волнами может иметь значение , + 1 . . . − , т.е. всего37 − 2 + 1 возможных значений в случае отсутствия других спиновых волн.Для каждого комплекса с > волнами это число уменьшается на 2, длякомплекса с < на 2, и для − 1 комплексов с волнами на 2 − 1.Таким образом, допустимых значений для 1 остается равным′ = − 2 + 1 − 2∑︁< − 2∑︁ − (2 − 1)( − 1)(2.24)>Константа 2 для второго комплекса из волн будет иметь на единицу меньше возможных значений.Для последнего комплекса из волн с можно выбрать значения(2.25)′ − ( − 1) = + 1где (1 , 2 , .
. . ) = − 2∑︁ − 2<∑︁(2.26)≥Если принять во внимание, что замена местами между разными волновымикомплексами с одинаковым числом волн не приведет к появлению новогорешения, то полное число решений становится(, 1 , 2 , . . . ) =∞∏︁∞∏︁⎛⎞ + ( + ) . . . ( + 1)⎠⎝ =!=1=1(2.27)Если поставить задачу найти число решений (, ) с полным спином ,то необходимо суммировать по различным наборам спиновых комплексов(1 , 2 , . . . ), таким, что полный спин каждого набора равен , а именно 1 +∑︀22 + 33 · · · = = ∑︁(, 1 , 2 , . .
. ) = (, )(2.28)1 ,2 ,...т.е, иными словами, суммирование проводится по всем разбиениям числа ,а означает то, сколько раз слагаемое возникает в разбиении. Введем38полное чило спиновых комплексов=∑︁(2.29)А также обозначим (, , ) полное число решений, в котором лево-ориентированных спинов объединяются в волновых комплексов, при этом неважно,сколько волн содержится в каждом комплексе(, , ) =∑︁(2.30)(, 1 , 2 , . . . )1 +2 +···=1 +22 +33 ···=Бете [68] доказал, что⎞⎛⎛(, , ) =⎞ − 2 + 1 ⎝ − + 1⎠ ⎝ − 1⎠ −+1−1(2.31)Таким образом, Бете была получена формула для полного числа состоянийсо спином ⎛ ⎞ − 2 + 1 ⎝ ⎠(, ) =(, , ) = −+1=1∑︁(2.32)2.2.4. Алгебраический анзац БетеВ 1979 году Л.
Фаддеев и Л.Тахтаджян [70, 72, 71] сформулировалиалгебраическую форму анзаца Бете и доказали, что выражение (2.32) длячисла бетевских векторов, полученное в [68], представляет формулу кратностей неприводимых компонент в тензорном произведении фундаментальныхпредставлений 2 .Изложим ниже метод нахождения собственных векторов и собственныхзначений для одномерного изотропного магнетика Гейзенберга согласно [70].Введем оператор Лакса:3 ∑︁ () = ⊗ + ⊗ 2 =1(2.33)39Он действует в пространстве ⊗ H , где = C2 - дополнительное пространство. Здесь стоящие слева сомножители и , как и сама операторнозначная матрица () действуют во вспомогательном пространстве C2 , а ееэлементы действуют в пространстве H . Параметр - комплексное число.Операторы Лакса удовлетворяют соотношениям:( − ) () ⊗ () = () ⊗ () ( − )где -матрица в базиcе пространства C2 ⊗ C2 имеет вид:⎞⎛1 00 0⎟⎜⎟⎜⎜0 () () 0⎟() = +⎟,() := ⎜⎟⎜⎜0 () () 0⎟() = +⎠⎝0 00 1(2.34)(2.35)Таким образом задается алгебра операторов Лакса.
Эти операторы можноинтерпретировать как переход от к + 1 узлу цепочки. Для того, чтобырассмотреть этот переход для всей цепочки, введем оператор монодромии (), который в дополнительном пространстве будет иметь вид:⎛⎞ () ()⎠ () = () . . . 1 () = ⎝ () ()(2.36)Он также удовлетворяет соотношениям:( − ) () ⊗ () = () ⊗ () ( − )(2.37)След матрицы монодромии - трансфер матрица () = () + ().Этот оператор действует в пространстве H . Оказывается, что () коммутируют при разных и более того, оператор импульса и оператор энергии выражаются через () следующим образом:(︂ )︂1 = log − 2(2.38)40 = log ()|= 2 −2 2(2.39)Таким образом, задача нахождения собственных векторов и собственных значений свелось к изучению спектра ().Рассмотрим векторы⎛ ⎞∏︁1⊗ = ⎝ ⎠ , Ω =0=1 ∈ h , = 1 . .
. , Ω ∈ H(2.40)ВекторΨ (1 , . . . ) = (1 ) . . . ( )Ω(2.41)назовем бетевским вектором длины . Он является собственным вектором семейства операторов () если числа 1 , . . . удовлетворяют системеуравнений Бете:∏︁ − 2 − − = − + + 2=1,̸= = 1...(2.42)Соответствующее собственное значение Λ(; 1 , . . . ) имеет вид:(︂Λ(, 1 , . . .
) =+2)︂ ∏︁(︂)︂ ∏︁ − − − + + −(2.43)−2−=1=1Собственные значения операторов и имеют вид: + 21 ∑︁(1 , . . . ) =log()(mod 2) =1 − 2 ∑︁ 1ℎ(1 , . . . ) = −2 =1 2 +14(2.44)(2.45)Вектор Ω играет роль вакуума, а оператор () - оператор рождения частиц с энергией ℎ() и импульсом ().В число наблюдаемых величин рассматриваемой системы помимо и вхо∑︀дит также вектор спина = 21 = 1, 2, 3. Нетрудно показать,=1 ,41что операторы и коммутируют с . Покомпонентно оператор спинаопределяется следующим образом: =∑︁ , = 1...3(2.46)=1Будем использовать обозначения:⎧⎨ + := 1 + 2⎩ − := 1 − 2Вектор Ω является собственным для + и 3⎧⎨ +Ω = 0⎩ 3 Ω = Ω(2.47)(2.48)2Если рассмотреть действие этих операторов на бетевский вектор длины тобудем иметь⎧⎨ + Ψ ( , . .
. ) = 01⎩ 3 Ψ (1 , . . . ) = ( − )Ψ (1 , . . . )2(2.49)Таким образом, получаем, что бетевские вектора являются векторами старшего веса. В пространстве H действует представление алгебры 2 и бетевские вектора классифицируются по неприводимым представлениям этой алгебры. В [70] доказано, что бетевские вектора являются старшими вектораминеприводимых представлений, а именно, бетевский вектор с фиксированным является старшим вектором в мультиплете размерности − 2 + 1.Подсчет числа бетевских векторов длины для данной задачи эквивалентен нахождению кратности неприводимого представления со спиномв тензорном произведении представлений 2 со спином 21 .2−422.2.5.
Решения уравнений БетеРассмотрим случай < 0. Оператор энергии положительно определен. Вектор Ω является основным состоянием - ферромагнитным вакуумом. Для описания спектра удобно использовать квазичастицы. СопоставимΨ (1 , . . . ) (бетевскому вектору) квазичастиц c энергией () и импульсом (), каждая из которых создаётся оператором (), который играетроль оператора рождения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
