Диссертация (1150730), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Kulish P.P., Lyakhovsky V.D., Postnova O.V., Tensor powers for non-simplylaced Lie Algebras. 2 case, Journal of Physics: Conference Series, Volume346, 2012, 0120124. Кулиш П. П., Ляховский В. Д., Постнова О. В., Функция кратностейдля тензорных степеней модулей алгебры An, ТМФ, 2012, том 171:2,283–2935. Ляховский В. Д., Постнова О.

В., Обобщенные треугольники Паскаляи сингулярные элементы модулей алгебр Ли, ТМФ, 2015, 185:1, 139–150Личный вклад автора. Все основные результаты, изложенные в дис­сертации, получены соискателем лично, либо при ее прямом неотделимомучастии в соавторстве.Структура и объем диссертацииДиссертация состоит из шести глав.Глава 1 является вводной. В ней даны определения основных понятий,необходимые для дальнейшего изложения.Глава 2 посвящена описанию основных методов нахождения кратностейв разложении тензорных степеней модулей полупростых алгебр Ли: правилоКлимыка, правило Литтлвуда-Ричардсона, теория кристаллических базисовКашивара, модель путей Литтельманна, а также формула Кириллова-Реше­тихина, позволяющая получить кратность в разложении тензорной степенимодуля путем подсчета числа решений уравнений Бете. Далее, рассматрива­ется общий случай фермионной формулы, в которой кратность становитсяградуированной.В главе 3 вводится понятие антиинвариантной функции кратности и10формулируется алгоритм, основанный на использовании Вейлевской симмет­рии, который позволяет получить явное выражение для коэффициентов раз­ложения тензорных степеней фундаментальных ("порождающих") представ­лений алгебр серий , на неприводимые.

Полученные выражения ис­следуются на наличие максимума и рассматривается их асимптотика при −→ ∞.В главе 4 приводится обобщение разработанного в главе 3 алгоритма наалгебры других серий. Вводится понятие обобщенной (g, )-пирамиды. До­казывается, что функцию кратности в разложении тензорного произведенияможно получить антисимметризацией (g, )-пирамид.В главе 5 проводится обобщение формул, полученных в главе 4 на гра­дуированные функции кратности.В заключении перечислены основные результаты и описаны возможныедальнейшие направления исследования.11Глава 1Определения1.1. Алгебры Каца-МудиВведем основные понятия теории алгебр Ли, которые будут необходимыдля дальнейшего изложения [1, 2, 3, 4, 5, 6].Пусть - конечный набор индексов.

Квадратная матрица = ( ),∈с элементами из Z называется матрицей Картана, если ее элементы удовле­творяют соотношениям: = 2 для всех ∈ , ≤ 0 если ̸= , = 0тогда и только тогда, когда = 0.Пусть ∨ - свободная абелева группа ранга 2|| − c Z-базисом{ℎ | ∈ } ∪ { | = 1, . . . , || − }. Обозначим h = F⊗Z ∨ - линейноепространство над полем F натянутое на ∨ . Назовем ∨ дуальной решеткойвесов, а h - подалгеброй Картана. Также определим весовую решетку как = { ∈ h⋆ |( ∨ ) ⊂ Z}(1.1)Обозначим Π∨ = {ℎ , ∈ } и выберем линейно независимый набор Π ={ , ∈ } ⊂ h⋆ , удовлетворяющий соотношениям: (ℎ ) = ( ) = {0, 1}(1.2)Элементы из Π называются простыми корнями, а элементы из Π∨ называ­ются простыми кокорнями. Также определим фундаментальные веса Λ ∈h⋆ , ∈ как линейные функционалы на h, задаваемые соотношениямиΛ (ℎ ) = Λ ( ) = 0,(1.3)Пусть дана обобщенная матрица Картана размером × ранга , а такжевекторное пространство h над полем комплексных чисел размерностью 2−.12Пусть в пространстве h есть набор линейно независимых элементов ∨ , ав пространстве h⋆ - набор линейно независимых элементов таких, чтовыполняется (∨ ) = .⨁︀Свободная абелева группа = ∈ Z называется решеткой корней⨁︀⋆а + =∈ Z≥0 называется решеткой положительных корней.

На hзадано частичное упорядочивание, определяемое как ≥ тогда и толькотогда, когда − ∈ + для , ∈ h⋆ .Для каждого ∈ определим простое отражение на h⋆ () = − (ℎ )(1.4)Подгруппа группы (h⋆ ) генерируемая простыми отражения называетсягруппой Вейля.Алгеброй Каца-Муди, соответствующей (, Π, Π∨ , , ∨ ) называется ал­гебра Ли g, определяемая генераторами , , ∈ , и элементами из ℎ ∈ h,между которыми заданы соотношения:′′• [ℎ, ℎ ] = 0 для ℎ, ℎ ∈ ∨• [ , ] = ℎ• [ℎ, ] = (ℎ) для ℎ ∈ ∨• [ℎ, ] = − (ℎ) для ℎ ∈ ∨• ( )1− = 0 для ̸= • ( )1− = 0 для ̸= Определим g+ (и, соответственно g− ) как подалгебру алгебры g, генериру­емую , и, соответственно, , и для каждого ∈ положим g = { ∈g|[ℎ, ] = (ℎ), ℎ ∈ h}.

Если ̸= 0 и g ̸= 0, тогда называется корнем g,а g - соответствующим этому корню корневым подпространством. Aлгебра13g разлагается по корневым подпространствам g =∈ g .⨁︀Обозначим наборкорней Δ, а Δ± = Δ ∪ ± - набор положительных и отрицательных корней.Важный класс алгебр Каца-Муди соответствует симметризуемым обо­щенным матрицам Картана , т.е таким, которые могут быть представленыв виде произведения = , где - диагональная, а - симметричнаяматрица.

Таким образом алгебры Каца-Муди подразделяются на три класса:• если матрица положительно определенная, то g - полупростая алгебраЛи• если матрица положительно полуопределенная, то g - афинная алгеб­ра Ли• если матрица неопределенная, то g - алгебра Каца-Муди неопределен­ного типаУниверсальной обертывающей алгеброй (g) называтся ассоциативная ал­гебра над полем F с единицей, генерируемая элементами , ( ∈ ) и h,удовлетворяющая соотношениям:′′′• ℎℎ = ℎ ℎ для ℎ, ℎ ∈ ∨• − = ℎ для , ∈ • ℎ − ℎ = (ℎ) для ℎ ∈ ∨ , ∈ • ℎ − ℎ = − (ℎ) для ℎ ∈ ∨⎛⎞1 − ∑︀1− −⎝⎠ 1−•(−1) = 0 для ̸= =0⎛•∑︀1−=0(−1) ⎝1 − ⎞⎠ 1− − = 0 для ̸= 14Модуль алгебры g называется весовым модулем, если он допускает разло­жение =∑︁(1.5)∈h⋆где = { ∈ |ℎ = (ℎ)} для всех ℎ ∈ h. Вектор ∈ называетсявесовым вектором соответствующим весу .

Если = 0 для всех ∈ , тоон называется максимальным вектором веса . Если ̸= 0, то называетсявесом , а - весовым подпространством. Его размерность назы­вается кратностью веса . Набор весов g-модуля обозначается ( ). Если ≤ ∞ для всех весов , то характер модуля определятся как∑︁ℎ = (1.6)где - базисный элемент алгебры формальных экспонент с умножением = + .Для ∈ h⋆ положим () = { ∈ h⋆ | ≤ }. Опишем модули катего­рии .

Она состоит из весовых модулей над g с конечномерными весовы­ми подпространствами для которых существует конечный набор элементов1 , 2 , . . . , ∈ h⋆ таких, что( ) ⊂ (1 ) ∪ · · · ∪ ( )(1.7)категория замкнута относительно взятия конечной суммы модулей или ихконечного тензорного произведения.

Одним из наиболее важных примеровмодулей категории являются модули старшего веса.Весовой модуль называется модулем старшего веса со старшим весом ∈ h⋆ , если существует ненулевой вектор ∈ , называемый вектором стар­шего веса, такой что = 0 для всех ∈ , ℎ = (ℎ) для всех ℎ ∈ h, = (g)Пусть - симметризуемая обощенная матрица Картана, с симметричнойматрицей = { | ∈ }. Определим симметричную билинейную форму15( | ) на h, принимающую значения в F соотношениями: (ℎ |ℎ) = (ℎ)/ дляℎ ∈ h, и ( | ) = 0 для , = 1 . . . −||.

Эта симметричная билинейнаяформа невырождена на h. Если определить отображение : h −→ h⋆ как′′(ℎ)(ℎ ) = (ℎ|ℎ ) то полученное отображение будет изоморфизмом векторныхпространств.Симметричную билинейную форму на h можно обобщить на симмет­ричную инвариантную билинейную форму на g, которую мы также будемобозначать ( | ). Она удовлетворяет следующим свойствам:• При ограничении на h билинейная форма ( | ) задается соотношениямииз предыдущего пункта• ([, ]|) = (|[, ]) для всех , , ∈ g• (g , g ) = 0 если + ̸= 0• ( | ) невырождена на g × g−• [, ] = (|) −1 () для ∈ g , ∈ g−()Для каждого положительного корня зафиксируем базисы { } из g и(){ } из g− . Будем говорить, что элемент ∈ g локально нильпотентен на если для каждого ∈ существует положительное целое число такое,что = 0.Модуль называется интегрируемым, если все , локально нильпо­тентны на .

Категория состоит из интегрируемых g-модулей категории, таких, что ( ) ∈ . Определим набор доминантных целых весов + = { ∈ |(ℎ ) ∈ Z≥0 }Верны следующие утверждения [1]:(1.8)16• Пусть неприводимый g-модуль со старшим весом ∈ h⋆ . Тогда ()принадлежит категории тогда и только тогда, когда ∈ +• Всякий неприводимый g-модуль из категории изоморфен () для∈По теореме Вейля-Каца [1] характер для модуля старшего веса ∈ +задается формулой () ∘(+)−ℎ( ) =Π∈Δ+ (1 − − )g∑︀∈(1.9)Каждый g -модуль из категории изоморфен прямой сумме неприводимыхмодулей старшего веса с ∈ + .

Тензорное произведение конечного числа g-модулей вполне приводимо.1.2. Квантовые группыВведем квантовые деформации универсальных обертывающих алгебр,или квантовые группы (g)[11, 12, 13, 14]. В дальнейшем для модулей кван­товых групп будут построены кристаллические базисы, которые представля­ют собой удобный аппарат для разложения тензорных произведений. Тео­рия представлений алгебр Каца-Муди может быть продеформирована в тео­рию представлений квантовых групп, вследствие чего разложение тензорногопроизведение модулей на неприводимые подмодули будет совпадать в обоихслучаях[36].Для ∈ Z и любого символа определим выражение − −[] = − −1(1.10)Определим [0] ! = 1 и [] ! = [ − 1] . .

. [1] . Для неотрицательных целых17чисел ≥ ≥ 0 аналог биномиального коэффициента задается выражением⎡ ⎤[] !⎣ ⎦ =(1.11)[] ![ − ] !⎡ ⎤Выберем переменную . Тогда [] и ⎣ ⎦ это элементы поля F(), которыеназываются - числами и - биномиальнымикоэффициентами соответствен­⎛ ⎞⎡ ⎤но. Отметим, что [] −→ и ⎣ ⎦ −→ ⎝ ⎠ при −→ 1.Алгебра (g) - это алгебра, генерируемая символами , , ℎ , (ℎ ∈ ∨ ),которые удовлетворяют соотношениям′′1. ℎ = 1 для ℎ = 0 и ℎ+ℎ = ℎ + ℎ ,2.

Характеристики

Список файлов диссертации