Диссертация (1150730), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Дляанзаца Бете используется некоторое обобщение фермионного случая: число само является функцией . Также у каждой частицы более одного "цвета"и для каждого цвета имеется свой интервал допустимых энергий. В общемслучае фермионная формула представляет собой определенные -полиномы,выраженные через сумму произведений -биномиальных коэффициентов. Таким образом, обобщенная фермионная формула на конечной области имеетвид⎡⎤∏︁ + ∑︁⎣⎦ {} () ={}(2.78)2.2.8. Фермионная формула и полиномы КосткиВыше было показано, что в g-инвариантных моделях бетевские векторыявляются старшими векторами неприводимых представлений алгебры g. Дляполноты бетевских векторов необходимо, чтобы количество решений уравнений Бете совпадало с количеством собственных подпространств гамильтониана, т.е с количеством g неприводимых компонент. Для случая +1 , когда перемножаемые представления отвечают прямоугольным диаграммамЮнга = ( , .
. . , , 0, . . . , 0) полнота была доказана Кирилловым в [75].Решения уравнений Бете параметризуются оснащенными конфигурациями[70], и, вследствие установленной полноты бетевских векторов, существуетсоответствие между оснащенными конфигурациями и стандартными таблицами Юнга. Этот вопрос был подробно рассмотрен в [78]. Если поставить задачу нахождения числа бетевских векторов (2.71) на языке таблиц Юнга, то сэтой точки зрения аналогами кратностей (2.71) будут являться числа Костки[15], которые для пары разбиений , представляют собой число полустандартных таблиц Юнга формы веса .
Это соответствие было установлено51в [79]. Например, если рассматривать произведение спинорных модулейалгебры 2 то кратность модуля со старшим весом в этом разложениисовпадает с числом Костки ,(1 ) .Числа Костки, в свою очередь, представляют собой значения многочленов Костки [15] при = 1. Многочлен Костки задается парой разбиений , и по теореме Ласку-Шютценбергера [57] его можно выразить в виде ряда∑︁, () =(2.79) ( )∈ (,)где (, ) - набор полустандартных таблиц Юнга формы и веса , а ( )- заряд таблицы (некоторая статистическая функция, заданная на таблице ). При = 1 значения многочлена Костки совпадают с числами Костки.На основе этого факта было сделано предположение, что полином Костки можно считать - аналогом функции кратности (2.71). В случае, когда имеет форму одного столбца (1 ) Кириллов и Решетихин [79] предложилиформулу, связывающую полиномы Костки и фермионную формулу для аналога функции кратностей:(2.80),(1 )() = (, (1 ), )⎡⎤()()∑︁ ∏︁ + ⎦ (, (1 ), ) = ({}) ⎣(){} 1≤≤(2.81)≥1здесь сумма производится по набору допустимых конфигураций{} для ко()торых: {≥ 0|, 1 ≤ ≤ − 1, ≥ 1)} и удовлетворяют следующим∑︀()()соотношениям ≥ 0 и ≥1 = +1 + · · · + + для 1 ≤ ≤ − 1,а функции ({}) задаются выражениями:1({}) =2∑︁1≤,≤−1() = 1∑︁≥1∑︁() ()(, ) ,≥1(, ) −∑︁−(1)(, )(2.82),≥1∑︁1≤≤∑︁≥1()(, )(2.83)52здесь - матрица Картана алгебры +1 , а - целое число меньше илиравное длине , уменьшенной на единицу.Фермионная формула (2.81),полученная в [79] представляла собой -аналогвыражения функцию кратности (2.71) в том смысле, что при = 1 совпадала с (2.71).
Однако тогда смысл параметра как параметра энергии не былопределен. Работа С.В. Керова, А.Н. Кириллова и Н.Ю. Решетихина [79] стала одной из первых работ, в которой рассматривался - аналог функциикратности. Позже фермионная формула (2.81) получила интерпретацию сточки зрения теории кристаллических базисов [59, 60, 61, 62, 63, 64] и градуированных тензорных произведений Фейгина-Локтева [65, 66, 67]. Далее, дляупрощения обозначений, будем обозначать выражение (2.81) для фермионнойформулы Кириллова-Решетихина буквой .2.2.9. Фермионная формула и кристаллические базисыОдновременно с тем, как в работе С.В. Керова, А.Н. Кириллова и Н.Ю.Решетихина [79] была получена формула для градуированной кратности (2.81),Р. Бакстер [82, 83] при изучении угловой трансфер-матрицы ввел понятие одномерной суммы.
Позже в работе [84] было отмечено, что одномерные суммыявляются характерами представлений афинных алгебр Ли. В работе [60] было(1)показано, что в пределе −→ ∞ структура модуля 1стремится к струк^туре модуля квантовой афинной алгебры ((2)).Это позволило использо(1)вать теорию кристаллических базисов Кашивара и рассматривать 1какмодуль квантовой афинной алгебры. С этой точки зрения полиномы Костки, () представляют собой кратность неприводимого модуля в ограничении′(1)тензорного произведении ( ) модулей, которые рассматриваются черезих кристаллические базисы.
В частности, А.Накаяшики и Ю.Ямада [85] по53лучили выражение для полиномов Костки:, () =∑︁(2.84) ()где пробегает элементы 1 ⊗ · · · ⊗ из 1 ⊗ . . . , где - кристаллический базис для ( ) -модуля, а () - называется энергией и определяетсячерез функцию энергии :() =∑︁(+1)( ⊗ (2.85))≤≤(+1)где элемент определяется из изоморфизма кристаллов [85].Поскольку полиномы Костки определяются через фермионную формулу согласно (2.81), то из (2.84) следует, что можно выразить через функцию энергии, заданную на тензорном произведении кристаллических базисов ⊗ .
Это соответствие можно установить при помощи равенства = , где(1) - одномерная сумма, которая в случае модуля ( ) имеет вид:(⊗, , ) =∑︁∑︀ −1=1(2.86)( −)( ⊗+1 ){}Где называется энергией и обладает свойствами(1 ⊗ 1) = (2 ⊗ 1) = (2 ⊗ 2) = 1,(1 ⊗ 2) = 0и суммирование ведется по ∈ {1, 2} 1 ≤ ≤ таким что∑︀=1 ( ,1− ,2 ) ≥ 0 для 1 ≤ ≤ − 1 и равна при = .Гипотеза = [86] утверждает, что( ⊗ , , ) = (, (1 ), )(2.87)Для афинных алгебр других серий гипотеза = была рассмотренав большом числе работ[59, 60, 61, 62, 63, 64].542.2.10.
Градуированная кратность и алгебра токовВ работе Б.Л. Фейгина и С.А. Локтева [18] было введено тензорное произведение конечномерных, градуированных g[]- модулей простой алгебрыЛи, которое мы будем называть градуированным тензорным произведением1 ⋆ 2 ⋆ · · · ⋆ , или произведением Фейгина-Локтева. Для градуированного тензорного произведения возникает градуированная функция кратности{ }, (). В [65, 66, 67] было доказано, что градуированная функция кратности для произведения Фейгина-Локтева совпадает с фермионной формулой для модулей Кириллова-Решетихина.Ниже будет рассмотрена конструкция градуированного тензорного произведения для алгебры токов [19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 30, 31]. Произведение Фейгина-Локтева [18] представляет собой градуированный g[]- модуль,что является более узким понятием, нежели обычное тензорное произведениеg модулей. Выбирается штук конечномерных g-модулей , каждый с циклическим вектором , на котором индуцируется действие алгебры токов g[].Произведение Фейгина-Локтева определяется как градуированное пространство для пространства с фильтрацией, генерируемой действием (g[]) натензорном произведении циклических векторов, с градуировкой, определяемой степенью .2.2.11.
Градуировка алгебры токовДля алгебры Ли g напишем борелевское разложение:g ≃ n− ⊕ h ⊕ n+(2.88)Обозначим за вспомогательную переменную, и определим алгебру токовg[] := g ⊗ C[]. Она также представляет собой алгебру Ли, поскольку наборгенераторов {[] := ⊗ , ∈ g, ∈ Z+ } унаследует соотношения из ал55гебры g:[ ⊗ , ⊗ ]g[] = [, ]g ⊗ + ,∀, ∈ g(2.89)Таким образом, алгебра токов градуирована по степеням , как и ее универсальная обертывающая алгебра (g[]).Градуированный модуль в общем случаеОбозначим - модуль алгебры g[], на котором действие g[] представлено оператором представления .Введём как трансляцию его действия на некоторое ∈ C, ( ⊗ ) := ( ⊗ ( + ) ) =∑︁ − ( ⊗ ),∈(2.90)=0Пусть – циклический модуль относительно действия , а ∈ – циклический вектор, т.е. ≃ ( (g[])) .
Присвоим для степень 0. Обозначим 6 элементы (g[]) степени которых по меньше или равны .Таким образом возникает фильтрация (g[]) вида 6 ⊂ 6+1 . Обозначим () = 6 . Расмотрим присоединенное градуированное пространствоотносительно фильтрации ( (g[])) и этот градуированный модуль обозначим = ⊕≥0 ()/ ( − 1). Его градуированные компоненты являютсяg -модулями.2.2.12. Модуль Кириллова-РешетихинаРассмотрим частный случай градуированного модуля алгебры g[] - модуль Кириллова-Решетихина, , (). Он генерируется циклическим вектором , который является старшим вектором по отношению к действию алгебры g и его старший вес равен Обозначим генератор ⊗ = [].Пусть ∈ C, тогда определим представление для g[] через факторизацию56 (g[]) соотношениями: ∈ n+ , > 0 ([]) = 0, ( []) = 0, > ℎ ∈ h, > 0 (ℎ[]) = 0,(2.91) ( [0]+1 ) = 0,Здесь – элемент n− соответствующий корню −.
Модуль Кириллова-Решетихина представляет собой присоединенное градуированное пространство ( (g[])) . В [18] установлено, что размерность модуля Кириллова-Решетихина не зависит от .2.2.13. Произведение Фейгина-ЛоктеваМожно повторить конструкцию, описанную в предыдущем разделе длявведения градуированных тензорных произведений. Рассмотрим циклических g-модулей {1 , . . . , }, с циклическими векторами {1 , .
. . , } и возьмем разных комплексных чисел {1 , . . . , }. Тогда по аналогии, трансли( )рованное действие коумножения Δна тензорном произведении 1 ⊗· · ·⊗будет выглядеть следующим образом:)Δ( (⊗ ()) :=∑︁=1 (⊗ ()) =∑︁ ( ⊗ ( + ))(2.92)=1где обозначено действие на -й сомножитель тензорного произведения.Рассмотрим действие (g([]) на тензорном произведении циклическихвекторов через это коумножение. Для тензорного произведения циклическихвекторов выберем степень 0. Полученное пространство изоморфно тензорному произведению g[]-модулей и, поскольку теперь нём введена фильтрацияпо , то можно рассматривать присоединенное градуированное пространство.*Полученный градуированный g-модуль ℱ{называется произведе1 ,..., }нием Фейгина-Локтева модулей {1 , . .
. , }.57Если тензорные сомножители {1 , . . . , } являтся модулями Кириллова-Решетихина, то произведение Фейгина-Локтева не зависит от выбора , что было доказано в [18]. В этом случае можно ввести сокращенное обозначение ℱn* , параметризуя вектором n := (, ), где , определяются числом модулей , () в произведении. Градуированные компоненты произведения Фейгина-Локтева являются g -модулями, следовательно, кратностьвхождения этих модулей оказывается градуированной.2.2.14.
Градуированные кратностиДля тензорного произведение модулей { } имеем соотношения на характеры:ch (1 ⊗ 2 ⊗ · · · ⊗ ) =∑︁{ }, ch (2.93) −Если рассматривать произведение Фейгина-Локтева модулей { }, то в кратностях возникает зависимость от :ch (1 ⋆ 2 ⋆ · · · ⋆ ) =∑︁{ }, () ch (2.94) −Функция кратности { }, () называется градуированной. В [65] было доказано, что { }, () совпадает с фермионной формулой . Это дает еще одинспособ получения , который заключается в прямом построении произведения Фейгина-Локтева и нахождении соответствующих { }, ().Рассмотрим тензорное произведение двух фундаментальных модулей () алгебры sl2 () ⊗ () = (0) ⊕ (2)(2.95)Генераторы алгебры токов sl2 [] на тензорном произведении этих модулей58действуют следующим образом:[]1 ⊗ 2 = 1 (1 ) ⊗ 2 + 2 1 ⊗ (2 ),1 ⊗ 2 ∈ 1 ⊗ 2 , ∈ {, , ℎ}(2.96)Фильтрация происходит согласно диаграмме:12 ⊗ + 22 ⊗ ≃ 0 [2]1 ⊗ + 2 ⊗ [1]⊗ [0]- [0]-(1 + 2 ) ⊗ ≃ 0* ⊗ + ⊗ [0]-2 ⊗ Имеем градуированные компоненты ℱ0 ≃ (21 ) и ℱ1 ≃ (0), и, такимобразом, получаем соотошение на характерыch ( () ⋆ ()) = ch (0) + ch (2)(2.97)Градуированная кратность для веса = 0 таким образом будет равна 1 + .Этот метод, также как и все рассмотренные выше, позволяет получитькратности для любого числа тензорных сомножителей, но, по сути, является весьма трудоемким.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
