Диссертация (1150730), страница 3
Текст из файла (страница 3)
ℎ −ℎ = (ℎ) и ℎ −ℎ = − (ℎ) ,3. [ , ] = ( − −1 )/( − −1 ), где = и = ℎ ,4.()(−) (−1) ∑︀= 0 и∑︀ (−1)(−) () = 0 для ̸= и =1 − (ℎ )Здесь введены обозначения()()и положим ()= =,[] !()=[] !(1.12)= 0 при < 0.Определим коумножение на (g) следующим образом:Δ( ℎ ) = ℎ ⊗ ℎ ,Δ( ) = ⊗ −1 + 1 ⊗ ,Δ( ) = ⊗ 1 + ⊗ Тогда (g) обладает структурой алгебры Хопфа и тензорное произведение (g)- модулей является (g)-модулем.18Глава 2Литературный обзорМетоды и подходы к изучению тензорных произведений можно условноразделить на два класса: алгебраические и комбинаторные.
Первые из нихбыли разработаны во многом для исследования тензорных произведений какотдельного объекта, в то время как комбинаторные методы разрабатывалисьдля исследования квантовых интегрируемых систем. В последние годы этиподходы все больше сближаются в связи с рассмотрением - деформацийфермионных формул.2.1. Алгебраические методыВ 1961 году Стейнберг[7] получил элегантную формулу для кратностинеприводимого представления простой алгебры g со старшим весом в тензорном произведении двух неприводимых представлений со старшими весами и :∑︁()´ (( + + (´ + ) − ( + 2))(2.1),∈´здесь -группа Вейля, - детерминант элемента группы Вейля, - вейлевский вектор(полусумма положительный корней) и - функция разбиенияКoстанта, которая выражает число способов, которыми заданный вектор задается в виде суммы положительных корней.
Эта формула имеет явный видно не легка в применении, когда группа Вейля велика.В 1967 году Климык [8] предложил более упрощенный вариант подсчетакратностей. Важно отметить, что формула Климыка включала в себя не только произведения конечномерных представлений, но и такие произведения, вкоторых один из сомножителей мог быть бесконечномерным. Основным недо19статком формул Стейнберга и Климыка являлось то, что они представлялисобой знакопеременные суммы заведомо неотрицательных слагаемых, и приходилось производить огромное количество сокращений. Большую сложностьпредставлял подсчет кратностей в тензорных произведениях представленийалгебр произвольного ранга из-за роста размерности группы Вейля. Необходимы были методы, основанные на использовании иных алгебраическихструктур.Один из таких подходов к решению задачи нахождения кратностей былразработан Джорджем Люстигом [35] и Масахару Кашивара [32, 33, 34] врамках теории квантовых групп, где аналогом весовых диаграмм, используемых для полупростых алгебр Ли, являлись кристаллические графы.
Вскорепосле этого Петер Литтельманн предложил интересный подход к построениютаких графов - модель путей [41, 43, 44] в которой вместо весовых диаграммиспользовались весовые графы.2.1.1. Квантовые группы и теорема ЛюстигаНиже, мы, следуя [59] покажем, как для решения задачи разложениятензорных произведений представлений алгебры g можно использовать теорию кристаллических базисов, разработанных для представлений ее квантовой группы.Обозначим (g) - универсальная обертывающую алгебры g. Выберемпараметр , тогда с каждым мы можем связать алгебру Хопфа (), которая называется квантовой группой. Таким образом будем иметь семействоалгебр Хопфа, которые при → 1 стремятся к (g).
Для решения задачтеории представлений алгебры можно использовать теорию представлений (). По теореме, доказанной Люстигом [36]:20Интегрируемые модули алгебры g из категории могут быть продеформированы в (g)-модули из категории таким образом, что размерности весовых пространств останутся инвариантными при такой деформации.Более подробно, пусть является (g) модулем из категории . Пусть⨁︀его разложение по весовым подпространствам = ∈ . Теорема Люстига утверждает, что для каждого существует (g)-модуль из категории⨁︀с разложением = ∈ такой, что () = для всех ∈ так, что структура стремится к структуре при стремлении кединице.Эта теорема была одной из мотиваций к созданию теории кристаллических базисов. Для интегрируемого модуля над (g) из категории и для модуля над () из категории рассмотрим соответствующиеформальные характеры:ℎ =∑︁( )(2.2)∈ℎ =∑︁(() )∈Поскольку является квантовой деформацией то, по теореме Люстигаℎ один и тот же при всех значениях и он совпадает с ℎ .
таким образом, если можно сосчитать ℎ при каком то значении , то этого будетдостаточно для нахождения ℎ . Сделать это наиболее просто при = 0.Кристаллический базис представдяет собой базис при = 0, ему можно сопоставить окрашенный ориентированный граф, называемый также кристаллическим. На нем дайствуют оперaторы Кашивара. Такой базис удобноиспользовать при разложении тензорного произведения, поскольку в полу21ченном графе операторы Кашивара задаются произведениями исходных, акаждая неприводимая компонента в разложении тензорного произведениясоответствует связной части кристаллического графа. Таким образом, кристаллические базисы дают мощный метод для решения поставленной задачи.2.1.2. Операторы КашивараТеория кристаллических базисов определяется для интегрируемых (g)модулей , которые мы будем обозначать .
Такие модули удовлетворяютследующим условиям:1. разлагается по весовым подпространствам =⨁︀∈ где ={ ∈ ; ℎ = (ℎ) } - весовое подпространство, () ≤ ∞ длявсех ∈ 2. Существует конечное число 1 , . . . ∈ , такиx что ∈ (1 ) ∪· · · ∪ ( ), где () = { ∈ | ≤ }3. Операторы , локально нильпотентны на для всех ∈ Теорема 1. Каждый весовой вектор ∈ может быть записан единственным образом в виде=∑︁() ,(2.3)=1где ∈ ≥0 и ∈+∩ для всех = 0, 1 . . . , здесь каждый однозначно определен для данного и ̸= 0 только если ⟨ℎ ⟩ + ≥ 0.Далее мы введем модифицированные корневые операторы, называемыеоператорами Кашивара, которые играют важную роль в теории кристаллических базисов.22Операторы Кашивара ˜ и ˜ , ∈ определяются следующим образом:˜ =∑︁(−1)˜ =,∑︁(+1)(2.4)=0=1Эти операторы коммутируют с гомоморфизмами модуля , и выполняютcя,соотношения: ˜ = ⊂ +.
Эти операторы˜ = ⊂ −введены таким образом, потому что при = 0 операторы и сингулярны, а построенные таким образом ˜ ˜ и ˜ ˜ - регулярны. Далее вместо для упрощения будем писать просто .2.1.3. Кристаллические базисы и кристаллические графыВ качестве примера, который поможет понять, как возникли кристаллические базисы, рассмотрим (2 ) = {, , , −1 } и ее двумерный модуль = F()+ ⊕ F()− на котором генераторы алгебры действуют как+ = 0, − = + , + = − , − = 0, + = + , − = −1 − .Рассмотрим тензорное произведение ⊗ . В нем, очевидно, есть базис+ ⊗ + ,+ ⊗ − ,− ⊗ + ,− ⊗ −(2.5)Но при ̸= 0 он не сопоставим c разложением тензорного произведения двухмодулей на неприводимые:(2.6) ⊗ = (2) ⊕ (0)Подходящий, но более сложный базис выглядит следующим образом.Вектора+ ⊗ + ,− ⊗ + + + ⊗ − ,− ⊗ −(2.7)составляют базис подмодуля, изоморфного (2), а вектор+ ⊗ + − − ⊗ +(2.8)23генерируют тривиальный подмодуль (0).Оба базиса совпадают при = 0.
Таким образом, можно предположить, чтосуществуют базисы, которые обладают хорошим поведением при = 0, приэтом они сопоставимы с разложением тензорного произведения модулей нанеприводимые.Кристаллические базисы для (g)-модулей могут быть рассмотреныкак базисы при = 0. А именно, будем рассматривать подкольцо A кольца полиномиальных функций Q(), состоящее из функций, регулярных при=0Кристаллическим базисом модуля называется пара (ℒ, ℬ), удовлетворяющая следующим соотношениям:1. ℒ - свободный A подмодуль , такой что = () ⊗ ℒ. ℒ называетсякристаллической решеткой.2. ℬ является базисом Q-векторного пространства ℒ/ℒ.
Переход от ℒ кℒ/ℒ называется кристаллическим пределом. Далее будем обозначать¯ как кристаллический предел .3. ℒ = ⊕∈ ℒ и ℬ = ⊔∈ ℬ где ℒ = ℒ ∩ , ℬ = ℬ ∩ (ℒ /ℒ ).4. ˜ ℒ ∈ ℒ и ˜ ℒ ∈ ℒ. Следовательно, операторы ˜ , ˜ действуют также ина ℒ/ℒ.5. ˜ ℬ ∈ ℬ ∪ {0} и ˜ ∈ ℬ ∪ {0}6. Для , ′ ∈ ℬ, ′ = ˜ тогда и только тогда, когда = ˜ ′Для кристаллического базиса (, ℬ) можно построить кристаллическийграф - окрашенный ориентированный граф с набором вершин ℬ и набором-раскрашенных стрелок на ℬ:→− ′ тогда и только тогда, когда ′ = ˜ , ( ∈ )24Кристаллический граф во многом отражает внутреннюю структуру модуля .
Для того, чтобы понять комбинаторную структуру модуля (g) зачастуюнеобходимо построить построить его кристаллический граф. В частности,характер модуля выражается через элементы кристаллического базиса:ℎ =∑︁(♯ℬ )(2.9)∈Рассмотрим полученные конструкции на примере (2 ). Это алгебра задается генераторами , , , −1 с коммутационными соотношениями −1 = 2 , −1 = −2 и [, ] = ( − −1 )/( − −1 ).Обозначим модуль, размерностью + 1. Он разлагается по собственным подпространствам = ⊕=0 Q() и операторы действуют на нем следующим образом: = [ + 1]+1 , = [ + 1 − ]−1 , = −2 .Тогда ℒ = ⊕ и ℬ = { ; 0 ≤ ≤ } ⊂ ℒ/ℒ и (ℒ, ℬ) является кристаллическим базисом для . Его кристаллический граф имеет вид:ℬ() :0 −→ 0 −→ · · · −→ −1 0 −→ 0здесь 0 обозначен образ 0 в кристаллическом пределе.2.1.4. Тензорные произведения и кристаллические базисыДля ∈ ℬ введем функции () = { ≥ 0; ˜ ̸= 0}(2.10) () = { ≥ 0; ˜ ̸= 0}(2.11)Рассмотрим, как описывается тензорное произведение модулей в терминахкристаллических базисов.
Обозначим перемножаемые модули из за 1 , 2и (ℒ , ℬ ) - кристаллические базисы для ( = 1, 2).Положим ℒ = ℒ1 ⊗ ℒ2 и ℬ = {1 ⊗ 2 ∈ ℒ/ℒ; ∈ ℬ }.25Тогда (ℒ, ℬ) будет кристаллическим базисом для 1 ⊗Q() 2 и действиеоператоров Кашивара на элементах базиса из тензорного произведения имеет вид:˜ (1 ⊗ 2 ) =˜ (1 ⊗ 2 ) =⎧⎨ ˜ 1 ⊗ 2если (1 ) > (2 )⎩ ⊗ ˜ 1 2⎧⎨ ˜ 1 ⊗ 2если (1 ) ≤ (2 )если (1 ) ≥ (2 )⎩ ⊗ ˜ 1 2если (1 ) < (2 )Правило тензорного произведения может быть проинтерпретировано следующим образом: имея вектор в ℬ1 ⊗ ℬ2 , сначала читая колонки, затем ряды,будем двигаться как можно дальше направо и затем вниз.
Таким образом,задача разложения тензорного произведения модулей из на неприводимые равносильна выделению связных подграфов в кристаллическом графетензорного произведения.Пусть g = (2 ). Рассмотрим векторный модуль 2 и обозначим егокристаллический базис (ℒ2 , ℬ2 ). Тогда кристаллический граф ℬ2 ⊗ ℬ2 выглядит следующим образом:⊗- ⊗ - 2 ⊗ ? ⊗ - ⊗ ? ⊗ 2 ⊗ 2 2 ⊗ ? 2 ⊗ 2Отметим, что разложение этого графа в дизьюнктное объединение его связных компонент совпадает с разложением тензорного произведения двух модулей 2 на неприводимые:2 ⊗ 2 = 4 + 2 + 0(2.12)262.1.5. -кратное тензорное произведение в терминахкристаллических базисовПравило построения тензорного произведения кристаллических базисов,описанное в предыдущем параграфе, дает удобный комбинаторный способпростроения -кратного тензорного произведения кристаллических базисов.Пусть модуль из категории c кристаллическим базисом (ℒ , ℬ ) =1 .
. . .Зафиксируем ∈ и рассмотрим вектор = 1 ⊗· · ·⊗ ∈ ℬ1⨂︀···⨂︀ℬ .Каждому ∈ ℬ ( = 1 . . . ) сопоставляется последовательность плюсов"+"и минусов "−"таким образом, что количество ” + ” в ней равно ( ), аколичество "−"равно ( ): = 1 ⊗ · · · ⊗ ↦−→ (−, . . . , −, +, . . . , +, . . . . . . −, . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
