Диссертация (1150730), страница 10
Текст из файла (страница 10)
3.5. Диаграмма Браттели для алгебры 1 . По горизонтали отложены координаты веса ( и спины =−12соответствующих состояний), по вертикали - длина цепочки .Жирными точками отмечены веса с максимальной кратностью.ростом максимум опять будет иметь тенденцию к локализации на решетке,однако уже в интервале спинов ´2 − ´1 , который сдвинут относительно 2 − 1на 12 . В первый раз двойной максимум возникает при = 2, а потом черезнечетное количество шагов 5, 7, 9 .
. . . После двойного максимума при = 2возникает область локализации одного максимума при = 3, 4, 5, 6, cледующая за ней будет при = 8, . . . , 13 и так далее. Общая длина такой областивсякий раз увеличивается на 2(См Рис 3.5).В результате при удлинении цепочки максимум будет находиться намногоближе к минимальному спину 0, нежели чем к максимальному 2 , но при этом77 не стремится к нулю при −→ ∞.2. Асимптотика для состояний с фиксированным спиномЕсли в выражении (3.14) зафиксировать координату и рассмотреть термодинамический предел −→ ∞, то мы получим скорость роста числа частиц со спином =−12при увеличении длины цепочки.
Оказывается, чтоасимптотика одинакова для всех фиксированных спинов и пропорциональна3̃︁ для состояний cвыражению 2 − 2 . Для примера приведем асимпотики фиксированными значениями спинов:(︃ √ −2+22 2 1 3(︃(︂ )︂ 5 )︃ )︃22()1 2̃︁ ∼ 1√=0: +22(︃ √ −3+32 5 1 3(︃(︂ )︂ 5 )︃ )︃2 ( )221 21̃︁ ∼ 1√+2= : 22(︃(︂ )︂ 5 )︃ )︃(︃ √ −3+32 3 1 32 ()21 21̃︁√+=1: ∼22(3.15)(3.16)(3.17)Эти асимптотики можно получить и из формулы Бете (2.67), перейдя к соответствующим координатам.3. Асимптотика для бетевских векторов длины Вакуумное состояние цепочки cоответствует конфигурации, когда все спинынаправлены вверх.
Создадим внешнее возмущение: развернем спины частицв другую сторону. Какой будет реакция системы? В ней возникнет отклик,который будет описываться собственной функцией цепочки, называемой бетевским вектором длины . Как будет изменяться число таких векторов при −→ ∞?̃︁ в координатах , :Перепишем выражение для ̃︁(, ) = − 2 + 1 −+1(3.18)Из (3.18) видно, что при фиксированном количество состояний растет как:̃︁ ∼ + ((−1) )!(3.19)78Таким образом, при увеличении длины цепочки количество бетевских векторов длины растет как . Если увеличивать возмущение (т.е разворачиватьбольше спинов в положение, отличное от вакуумного), то число соответствующих бетевских векторов растет быстрее при −→ ∞, чем число бетевскихвекторов, отвечающих меньшему количеству перевернутых спинов.˜ ⊗ для алгебр 2 , 2Свойства Cвойства антиинвариантной функции кратности тензорной степени фундаментального модуля алгебры 1 , рассмотренные в предыдущем параграфе,можно было получить также из первоначальной формулы Бете для 12спиновой цепочки, однако, последующие ее обобщения в виде фермионныхформул не указывали ни на одно из вышеупомянутых свойств.
Антиинвариантная функция кратности (3.11), (3.13) является более удачным обобщениемформулы Бете (2.67) с той точки зрения, что демонстрирует все вышеупомянутые свойства, которые важны для анализа спектра спиновых цепочек, втом числе и в термодинамическом пределе. Они будут универсальны для бетевских векторов спиновой цепочки, гамильтониан которой дейтвует на тензорной степени фундаментального модуля алгебр , . Проиллюстрируемэти свойства на примере алгебр g =2 , 2 .1.
Наличие максимума̃︁ имеет максимум, лежащий внутри главной камеры Вейля.Функция ̃︁(1 , 2 , ) для непрерывных {1 , 2 }. На Рис.Будем рассматривать ̃︁(1 , 2 , ) для алгебр 2 и 2 . В главной камере Вейля(3.6) изображена обнаруживается один максимум, а общее число экстремумов равно порядку79группы Вейля.2. Асимптотика при фиксированных координатах { }22̃︁(1 , 2 , ) для = 10Рис.
3.6. Вид функции Количество частиц с фиксированными координатами { } демонстрируетодинаковую скорость роста для всех { } при −→ ∞:(︃ √ 53 1 4(︂ )︂5 )︃3()1̃︁ ∼ 1g = 2 {1 , 2 } = {1, 1} : + () 36(︃g = 2 {1 , 2 } = {2, 3} :̃︁ ∼92 1 515 ( )8(︂ )︂6 )︃1+ () (2 )2(3.20)(3.21)3. Асимптотика для бетевских векторовПри фиксированных координатах {1 , 2 } , отсчитываемых от старшего̃︁ демонстрирует полиномиальную асимптотику.веса, функция 2 (; 1 , 2 )|→∞∼2 + 1)︀ (︀ 1)︀ 1 .2 (1 + 2 ) + 1 ! 2 (1 − 2 ) !(︀ 1Рассмотрим подробнее обозначения. Согласно формуле Кириллова Решетихина (2.68), бетевский вектор спиновой цепочки длины параметризуется набором чисел { }=1 , которые связаны со старшим весом соответствующего модуля в разложении тензорной степени соотношением:=∑︁=1 −∑︁=1 (3.22)80для степени фундаментального модуля оно имеет вид: = −∑︁ (3.23)=1Таким образом, бетевский вектор находится на фиксированном расстоянииот старшего веса.
Числа { } представляют собой координаты веса вдольсоответсвующих корней. В силу специфики построенного решения, нам удобнее параметризовать вектора, находящиеся на фиксированном расстоянииот старшего веса набором чисел { }, которые являются координатами рассматриваемого веса вдоль границ главной камеры Вейля. Полученный такимобразом вектор будем также называть бетевским, он представляет собой тотже вектор, который используется в формуле Кириллова-Решетихина, но параметризуемый другим набором координат. Координаты выражаются черезлинейные комбинации , соответсвующие линейным комбинациям корней,задающим границы главной камеры Вейля.Асимптотические свойства функции кратности и ее максимум нельзябыло получить при помощи формулы Кириллова-Решетихина в силу ее комбинаторного характера. Несмотря на очевидные достоинства предложенногоалгоритма, стоит отметить его узкую облать применения.
Формула Кириллова-Решетихина, в свою очередь, применима не только для фундаментальных модулей наименьшей размерности, а для всех модулей Кириллова-Решетихина, которые в случае алгебр серии представляют собой модули состаршими весами , где - целое число, а - любой из фундаментальныхвесов. Кроме того, он позволяет считать тензорные произведения включающие степени различных модулей. Поэтому необходимо построить обобщениепредложенного метода, что будет сделано в главе 4. Оставшаяся часть главы3 будет посвящена доказательству формул 3.11,3.13.813.4. Доказательство для алгебры В этом параграфе будет приведен вывод формулы (3.11). Мы покажем,что для классических алгебр Ли серии сингулярный элемент Ψ((1 )⊗ )может быть построен в явном виде как элемент алгебры формальных экспонент.
Его координаты (в ℰ) будут функциями от координат веса и .Пусть g = и 1 - первый фундаментальный модуль.ch (1 ) = 1 + 1 −1 + . . . + 1 −1 −...−Веса ∈ 1 подчинены условию∑︀(3.24) = 0. Первые − 1 весов в 1 могут быть использованы как базис в весовом пространстве. Координаты веса∑︀ ∈ в -базисе будем нумеровать латинскими индексами : = −1 .{︀ }︀Координаты в {}-базисе будем нумеровать индексами в скобках: () =1, . .
. , − 1. В последнем случае ∈ часто снабжается дополнительной∑︀∑︀координатой () = − −1такой,что = 1, . . . , . Мини() () = 0,(︀)︀мальное значение -компоненты вектора Вейля обозначим := min () .Для доминантного веса ∈ + рассмотрим сдвинутый вес := + , егокоординаты в -базисе обозначим { }, его координаты в -базисе обозначим{︀ }︀() . Для упрощения выражений будем работать со сдвинутым сингулярным элементом Φ .Теорема 3. Пусть = ( + ) ∈ (1 + ) и{︀}︀() | = 1, . . . , его координаты в базисе .
Тогда кратности ( ; ) в разложении произведения∑︀Φ(0) (ch (1 ))⊗ = ∈ + ( ; ) Φ() имеют вид:)︀∏︀ (︀−()(),)︀ . (, ) = ! ∏︀ (︀(3.25)− !=1 ()Доказательство. Необходимый нам сингулярный элемент (как элемент ℰ):(0)Φ(ch ( )) =∑︁∈ () ∘ (ch ( )) .(3.26)82Согласно (3.24), его разложение в -базисе может быть выражено в терминахполиномиальных коэффициентов = (1) !(2)!!...() ! :{ () }∑︁∑︁ ((1) −(2) )1 +...+((−1) −() )−1 () ∘{ () }∈(1) +(2) +...+() =∑︁∑︀ (; + ) .(3.27)=∈Применяя -специализацию, получим систему соотношений:( ∘ , ) + () − (+1) = ; = 1, . . . , = − 1.(1) + (2) + . .
. + () = ;{︀ }︀Заметим, что числа () представляют собой координаты веса в базисе .Перепишем полученные соотношения в матричном виде:⎛1 −1⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝01−10...0...1...00011100...0⎞⎛(1)⎟⎜⎜0 ⎟⎟ ⎜ (2)⎟⎜⎜−1 . . . 0 ⎟⎟ ⎜ (3)⎜ ....... ⎟⎜ .... ⎟⎟⎜ .⎟⎜⎜0 . . . −1 ⎟⎠ ⎝ (−1)0...11()1⎞⎛1⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3⎟=⎜ .⎟ ⎜ ..⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜ −1⎠ ⎝⎞⎛( ∘ , 1 )⎟ ⎜⎟ ⎜ ( ∘ , )2⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜ ( ∘ , )3⎟ ⎜⎟−⎜.⎟ ⎜..⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜ ( ∘ , )⎠ ⎝0⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟.⎟⎟⎟⎟⎠Можно разрешить эту систему и найти координаты∑︀−1 ):са ∈ + (с + = −1{︀ }︀() для любого ве⎛⎛ − 1 − 2 ...⎜⎜ −1⎜⎜⎜ −11 ⎜⎜⎜ ...⎜⎜⎜ −1⎝−1−2−21⎞ ⎛⎛1⎟ ⎜⎜⎜⎜1 ⎟⎟ ⎜⎜ 2⎟ ⎜⎜⎜⎜... 1 1 ⎟⎟ ⎜⎜ 3⎟⎜ .....
.. ⎟ ⎜⎜ ... . ⎟⎜⎜⎜ .⎟ ⎜⎜⎜⎜... 1 1 ⎟⎠ ⎝⎝ −1. . . − 1 − 2 ...−2...11⎞⎛( ∘ , 1 )⎟ ⎜⎟ ⎜ ( ∘ , )2⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜ ( ∘ , )3⎟ ⎜⎟−⎜.⎟ ⎜..⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜ ( ∘ , )⎠ ⎝0⎞⎞(1)⎟⎟ ⎜⎟⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ (2)⎟⎟ ⎜⎟⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ (3)⎟⎟ = ⎜ .⎟⎟ ⎜ ..⎟⎟ ⎜⎟⎟ ⎜⎟⎟ ⎜ (−1)⎠⎠ ⎝()⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟.⎟⎟⎟⎟⎠83Это преобразование представляет собой переход от -базиса к -базису. Запишем его в виде:() = () − ( ∘ )() , = 1, . . . , .Координаты в правой части этого соотношения удовлетворяют свойствам:∑︀∑︀() = и( ∘ )() = 0. Подставляя полученное решение в (3.27), получаем:(︃)︃∑︁( + 1, ) ∑︁=∈ () ∏︀ (︁!)︁ .() − ( ∘ )() !Группа Вейля действует на множестве -координат веса как группа перестановок : (; + ) =∑︁∈ () ∏︀ (︁!(3.28))︁ .() − ( ∘ )() !Преобразуем правую часть (3.28)() −1 (∘)∏︁∑︁∏︁!)︀∏︀ (︀ () () − ! ∈(︀)︀() − , = , .
. . , ( ∘ )() − 1.=Сумма :=∑︁∈ ()∏︁(∘)() −1=1=может быть записана в виде⎛1⎜(︀)︀⎜⎜(1) − ⎜ (︀)︀ (︀)︀⎜ = det ⎜ (1) − (1) − − 1⎜⎜..⎜.⎝)︀∏︀ +−2 (︀−(1)=∏︁(︀)︀() − ...⎞1⎟⎟⎟...() − (︀)︀ (︀)︀ ⎟⎟. . . () − () − − 1 ⎟ .⎟⎟....⎟..⎠(︀)︀∏︀ +−2...() − =(︀)︀Последовательное преобразование строк приводит его к виду определителя84Вандермонда.
Становится очевидным,⎛111⎜⎜⎜ (1)(2)...⎜ (︀ )︀(︀)︀⎜2 = det ⎜ (1) 2(2)...⎜⎜......⎜...⎝ (︀ )︀)︀−1−1 (︀(1)(2)...что не зависит от :⎞1⎟⎟⎟()∏︁ (︀)︀(︀ )︀2 ⎟⎟() − () .⎟=()⎟⎟ 1≤<≤..⎟.(︀ )︀−1 ⎠()В результате получаем:)︀∏︀ (︀−()())︀ . ( + , ) = (; ) = ! ∏︀< (︀−!()=1(3.29)Переходя к координатам, имеем ({ } , ) = ! ∏︀=0(︁1 2 . . . (1 + 2 ) (2 + 3 ) . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
