Диссертация (1150730), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

. . . (1 + . . . + )(︁)︁)︁ .∑︀∑︀−1(+1)1(−)+(−)++!+1=0=+12(3.30)Это выражение совпадает с выражением для антиинвариантной функциикратности (3.11), полученным с помощью алгоритма. Таким образом мы до­казали, что для случая тензорного произведения фундаментальных модулейнаименьшей размерности для алгебры функция кратности сингулярного̃︁⊗ = ⊗элемента совпадает с антиинвариантной функцией кратности и алгоритм позволяет получить решение задачи (3.9).3.5.

Доказательство для алгебры Для случая алгебры не удается напрямую провести доказательствовышеописанным методом, как в случае , поскольку система уравнений бу­дет содержать дополнительный параметр. Необходимо найти другой способдоказательства того, что антиинвариантная функция кратности (3.13) дает85решение задачи 3.9. В этом разделе мы покажем, что ⊗ должно удовлетво­рять системе конечноразностных уравнений, а затем, используя метод струк­̃︁⊗ = ⊗ .турной индукции на диаграмме Браттели докажем, что Конечноразностные уравненияПокажем, что ⊗ при разных связаны системой конечноразност­ных уравнений. Известно, что задача о разложении -кратного тензорногопроизведения модулей алгебры g на неприводимые модули эквивалентна за­даче редукции неприводимого модуля ( )⊗ алгебры ⊕ g на диагональновложенную подалгебру g.

Рассмотрим редукцию на примере тензорного про­изведения двух модулей.Редукция прямой суммы g ⊕ g ↓ gdiag на диагональную подалгебру ин­дуцирует разложение формального характера модуля ⊗ алгебры g ⊕ gна диагональную подалгебру. Запишем разложение:ch ( ) ch ( )↓ =∑︁(︀ )︀ch ,∈в терминах сингулярных элементов:(︂Ψ() Ψ()Ψ(0) Ψ(0)())︂Ψ.=(0)Ψ∈∑︁↓Используя коммутативность процедур произведения и проектирования(︁()()Ψ Ψ)︁()↓()()()= Ψ↓ Ψ↓ = Ψ Ψ ,получаем(︁(0)Ψ)︁−1()()Ψ Ψ=∑︁() Ψ .∈(0)()()элемент (Ψ )−1 можно отнести к любому из сомножителей Ψ Ψ и(0)умножение на него эквивалентно формированию диаграммы модуля (Ψ )−1 :86()Ψ −→ ( ).

Tаким образом, имеем:)︁(︁)︁(︁∑︁∑︁ ()()()()() . Ψ = Ψ = Ψ =(3.31)∈∈Рассмотрим старшие веса ∈ (0) . Значения, которые принимает функция ∈ (0)являются искомыми кратностями модуля . (Одним из след­ствий данного соотношения является правило Климыка [14]).

Из формулы(3.31) следует, что значения функции кратностей втензорном произведенииопределяется кратностями сингулярных весов, вклад веса зависит от значе­ния детерминанта соответствующего преобразования группы Вейля.Положим теперь = , = ( − 1) ,(︁)︁∑︁(−1)⊗ () = Ψ(⊗ ) ,(3.32)∈и будем рассматривать соотношение (3.33) как рекуррентное для сингуляр­ных элементов, или, что то же самое, для коэффициентов разложениясингулярного элемента в базисе формальных экспонент.Таким образом, у нас есть система конечноразностных уравнений, кото­рым должна удовлетворять функция кратности (, ). Однако решениеданной системы, вообще говоря, не единственно.

Для того чтобы доказать,̃︁ недостаточно показать, что оно удовлетворяет (3.33). Необходи­что = мы дополнительные предположения.Диаграммы БраттелиОдним из общепринятых инструментов, используемых для решения за­дачи о разложении тензорного произведения является диаграмма Браттели.Определение 3.5.1. Диаграммой Браттели называется бесконечный⋃︀граф = (, ) определяемый множеством вершин = ≥0 и мно­87жеством ребер =⋃︀≥1 состоящих из дизъюнктного объединения под­множеств и удовлетворяющих следующим свойствам:1. 0 = {0 } одна вершина,2. Подмножества и конечны,3. Задано возвращающее отображение и продолжающее отображение из в , такое, что: ( ) = , ( ) = −1 и −1 () ̸= ∅, −1 (´ ) ̸= ∅для любого ∈ и ´ ∈ ∖0 .Пара ( , ) (так же как и сам набор ) называется уровнем диа­граммы .

Конечная или бесконечная последовательность { | ∈ }|=1,2,...такая, что ( ) = (+1 ) называется конечным или бесконечным путемсоответственно. Длиной пути назовем количество ребер в этой последова­тельности.Разложение тензорного произведения в терминах диаграммыБраттелиСопоставим вершину = , в каждому неприводимому модулю в разложении (3.1). Тогда будет состоять из множества таких вершин = { = , | (, ) ̸= 0}. Обозначим координаты веса в базисе ={︀}︀ = 21 .Мы установили взаимнооднозначное соответствие между подмодулями в разложении(3.1)и вершинами в . Таким образом, множество вершин⋃︀ = ≥0 представляет собой дизъюнктное объединение весовых векторов,принадлежащих h* = R .Структура тензорного произведения определяет на множество ребер⋃︀ = ≥1 и задает вид отображений и .

А именно, каждое ребро ( +1) ∈ +1 соединяет вершину , ∈ с ´,+1 ∈ +1 так что (( + 1)) = ´88и (( + 1)) = . Структура тензорного произведения также задает числои вид вершин в +1 , соединенных с . Будем рассматривать как граф,вложенный в R+1 , а уровни , представим как набор векторов в R .Каждой вершине , ∈ () соответствует положительное число (, )— число путей длины , соединяющих 0 с , .

Следствием этого являетсяравенство (, ) = (, ).Рис. 3.7. Диаграмма Браттели для фундаментального спинорного представления алгебры2 .Индуктивный класс и структурная индукцияИндуктивный класс X это класс, определенный двумя видами правил,называемых начальными правилами и правилами порождения [92]. Началь­ные правила определяют начальные элементы, последние образуют опреде­89ленный класс, скажем S, часто называемый базисом X. Правила порожде­ния определяют фиксированный (не обязятельно конечный) класс, скажемM, способов комбинации.

Способ комбинации степени представляет собойотображение : X × X × . . . × X → X. С каждым таким способом c свя­зывается определенное число, называемое его степенью. Каждый элемент Xможет быть получен с помощью эффективного процесса, который начинает­ся с определенных начальных элементов и на каждом шаге которого способкомбинации из M применялся к уже построенным аргументам.На индуктивных классах можно доказывать утверждения с помощью мето­да структурной индукции.Структурная индукцияПусть X индуктивный класс, () — некое свойство . Для того, что­бы доказать, что для всех ∈ X выполняется свойство (), достаточнопоказать, что:• Для всех начальных элементов 0 ∈ X свойство (0 ) выполняется.• Для 1 , 2 , . . .

, ∈ X и любого способа комбинации (1 , 2 , . . . , ) = из того, что выполняется (1 ), (2 ), . . . , ( ) следует выполнение ()Диаграмма Браттели как индуктивный классБудем рассматривать вершины как элементы индуктивного класса X.Начальные правила имеют вид: S = 0 . Поскольку мы связываем вершинысогласно правилам тензорного произведения, то свойства функции кратностидают нам возможность сконструировать правила порождения.

В предыдущемразделе было показано, что функция кратности (, ) удовлетворяет си­90стеме конечноразностных уравнений:(︁)︁∑︁() (, + 1) = Ψ(⊗ ) .(3.33)∈В случае алгебры это соотношение принимает вид:∑︁ ({ }, + 1) = ({ + }, ),(3.34) =±1здесь { }|=1... - координаты в базисе .Сдвинем начало координат на вектор (−) и рассмотрим сдвинутуюглавную камеру Вейля как подрешетку в , генерируемую фундаменталь­ными весами с коэффициентами Z≥0 .Воспользуемся свойствами сингулярных элементов.

Сингулярные весаравны нулю вне орбиты старшего веса и на границах . Мы также будемиспользовать понятие весовой многогранник () который определяется каквыпуклая оболочка вейлевской орбиты веса . Обозначим I() набор весоввнутри (). Теперь можно переписать рекуррентные соотношения (3.34) дляфункций { } (): ({ }, + 1) =∑︁{ =±1|( + )∈ ({ + }, )⋂︀(3.35)I()}Как было замечено ранее, в диаграмме число путей (, ) совпадает скратностью (, ).

Поэтому (, ) также удовлетворяет рекуррентным со­отношениям (3.35).Отсюда получим правила порождения для :Вершина вида ,+1 = { },+1 ∈ +1 связана с вершинами , = { + }, ∈⋂︀ где ( + ) ∈ I().Функция кратности и структурная индукцияДопустим, что нам удалось с помощью алгоритма построить антиинва­̃︁. Обозначим (,̃︁риантную функцию кратности ̃︀ ) соответствующую 91весовую кратность.Требуется доказать, что ()̃︀= () верно для любого элемента индук­тивного класса X = B (другими словами, мы хотим показать, что полученнаяс помощью алгоритма функция ()̃︀считает число путей из 0 = 0 в = ).

В базе индукции необходимо показать, что (̃︀ 0 ) = (0 ) = (0 ) = 1. Наиндукционном шаге мы предположим, что (̃︀ ) = ( ) для всех { }, необ­∑︀∑︀ходимых для создания . Тогда из равенств ()̃︀= (̃︀ ), () = ( )и (̃︀ ) = ( ) следует, что ()̃︀= ().Таким образом, для того, чтобы доказать, что ̃︀ является решением за­дачи разложения тензорного произведения (3.1), достаточным доказать, что̃︁ удовлетворяет рекуррентному соотношению (3.34) и начальным условиям(0) = 1.ДоказательствоВ разделе (2.6) с помощью алгоритма была получен вид антиинвариант­̃︁ для алгебр серии :ной функции ̃︁({ }, ) =−1∏︁∏︁ ∏︁ (︀)︀( + 2)!)︁ (︁)︁(︁2 − 22 ++1 +2−1 ! −+1 +2−1 !<=0 2=122(3.36)Эта формула в сужении на главную камеру Вейля дает ,̃︀ которая удовлетво­ряет базе индукции (поскольку пункт 4 алгоритма в точности представляетсобой выполнение условий базы в главной камере Вейля).

Для того, чтобы̃︁ решает задачу (3.9), достаточно доказать, что она, а следо­доказать, что вательно, и соответствующая удовлетворяет рекуррентному соотношению(3.34).92Обозначим V(1 , . . . , ) обобщенный определитель Вандермонда⃒⃒⃒⃒⃒ 12... ⃒⃒⃒⃒⃒⃒ 1 32 3... 3 ⃒⃒,V(1 , . . . , ) = ⃒⃒ .⃒........⃒ ... ⃒⃒⃒⃒ (2−1)(2−1)(2−1) ⃒⃒ 1⃒2. . . и положим =+22 .Тогда рекуррентное соотношение принимает вид:∑︁ ∏︁ ( +( + 2 + 1)V(1 , . . . , ) =)V(1 − 1 , . . . , − ) (3.37)2=1−1∏︁=0 =±1Разложим левую часть по степеням :∑︀=1 где∑︁− =(21 + 1)(22 + 1) . . .

(2 + 1)V(1 , . . . , )0≤1 <···< ≤−1и разложим правую часть по степеням :∑︀=1 где− =∑︁∑︁ =±1 0≤1 <···< ≤−11 1 · · · · · V(1 − 1 , . . . , − ).2(3.38)Мы хотим просуммировать определители в правой части таким образом,чтобы получить соотношение вида: = V(1 , .

. . , ). Тогда рекуррентноесоотношение сведется к набору равенств:− = −где =!!(−)! . −11− ++···+−1−−12−2−2−(3.39)Вначале перепишем выражение (3.38) в виде:∑︁0≤1 <···< ≤−11 · · · · · ∑︁1 · · · · · V(1 − 1 , . . . , − ).2 =±1Во внутренней сумме 2 определителей, и каждый входит в сумму с множи­телем 1 · · · · · = ±1. Будем проводить суммирование следующим образом.93Каждую пару определителей, которые отличаются только одним столбцомможно заменить на новый, просто просуммировав столбцы.

Если применятьэту процедуру последовательно, получим следующее выражение для элемен­тов определителя в -й строке и -м столбце (, = 1...):∑︁( + 1)(2−1) + ( − 1)(2−1) =22−1( )(3.40)∈2Z+1, 0<≤(2−1)( + 1)(2−1)(2−1)− ( − 1)∑︁=22−1( )(3.41)∈2Z, 0≤<(2−1)Сумма(3.41) возникает только для = 1 , 2 . . . , . Выделяя этимножители из1 ·····2и домножая -й столбец определителя на , ( =̃︀1 , .

Характеристики

Список файлов диссертации