Диссертация (1150730), страница 12
Текст из файла (страница 12)
. . , ) получаем определитель V({ }, { }):⃒⃒ ........⃒ ..2. 1.1⃒⃒ ..⃒ . 3 (1 ) ... 3 (1 ) ... 3 (2 ) ... 3 ( )⃒2 ⃒ ...............⃒ .........⃒⃒ .....⃒ . 2−1 (1 ) .. 2−1 (1 ) .. 2−1 (2 ) .. 2−1 ( )⃒.... ⃒⃒. (− ).⃒.. ⃒⃒... 3 ((− ) ) .⃒⃒....⃒..⃒..⃒...
2−1 ((− ) ).⃒где(2−1) ( ) =∑︁2−1( )+1 = 1 , . . . , ,∈2Z, 0≤<(2−1)(2−1) ( ) =∑︁2−1( ) = 1 , . . . , (− ) .∈2Z+1, 0<≤(2−1)Как (2−1) ( ) так и (2−1) ( ) представляют собой полиномы старшей степени 2 − 1 в -й строке и поэтому полученный определитель удовлетворяет свойствам определителя Вандермонда V(1 , . . .
, ). Таким образом, вовнешней сумме есть определителей с стобцами, содержащими полиномы (2−1) ( ), и с ( − ) столбцами, содержащими полиномы (2−1) ( ).Эти определители отличаются выбором 1 , . . . , из 1 , 2 , . . . , . Используя свойства определителей можно показать, что в каждом из них можновыделить часть, пропорциональную V(1 , . .
. , ):̃︀V({ }, { }) = 2 V(1 , . . . , ) + ({ }, { }).94При проведении оставшегося суммирования по различным наборам 1 , . . . ,остатки ({ }, { }) также скомбинируются в определитель, пропорциональный V(1 , . . . , ):∑︁0≤1 <···< ≤−11 ̃︀V({ }, { }) = 2− V(1 , . . . , ) + ()V(1 , . . . , )2Здесь () - полином по . В результате получаем следующее выражениедля − = 2− + (). При подстановке в (3.39) оно дает тождество.̃︁ удовлетворяет рекуррентным соотношениТаким образом проверено, что ̃︁ = является решением задачи (3.9).ям и следовательно 3.6. Область применимости алгоритмаСформулированный в этой главе алгоритм дает возможность построить решение задачи (3.1) только для тензорного произведения фундаментальных модулей наименьшей размерности для алгебр серий , .
Для модулей большей размерности, а также для других алгебр он дает возможностьполучить решения лишь для некоторого подмножества весов. Cистему рекуррентных соотношений (3.34) можно построить для произвольного модуляполупростой алгебры Ли. Но уже для векторного фундаментального модуляалгебры 2 в выражении для функции кратности появляются множители, которые не факторизуются на биномы. Тем не менее, многие свойства функциикратности, отмеченные для формул, построенных при помощи алгоритма, сохраняются и в этом случае. В частности, мы также наблюдаем универсальныеполиномы, описывающие кратность бетевских векторов и можем посчитатьих асимптотику.Почему же алгоритм не работает в данном случае? С помощью алгоритма можно описать нули функции кратности, которые в результирующихформулах дают биномиальные множители.
В данном случае перечисления95всех зануляющих множителей и последующим построением из них простейшего антиинварианта недостаточно для решения задачи. Они дают полиномменьшей степени, чем того требует реккурентное соотношение. Необходимаястепень добирается при помощи нефакторизуемого множителя, степень которого растет по мере отдаления от старшего веса. Функция кратности в данномпримере также является Вейль-антиинвариантной, однако для ее построениянеобходимо разработать более сложный метод, позволяющий конструироватьсложные антиинварианты.
Решению этого вопроса будет посвящена следующая глава.96Глава 4Антиинвариантная функция кратности длямодулей произвольной размерностиВ этой главе будет сформулирован метод нахождения функции кратности в разложении тензорной степени произвольного модуля полупростой алгебры g на неприводимые [91]. Поскольку для произвольного модуля однойинформации о вейлевской антисимметрии и начальных условий оказывается недостаточным для того, чтобы получить явный вид функции кратностикак это было сделано в предыдущей главе, то необходимо будет ввести дополнительные комбинаторные конструкции. В этом случае мы также сведемзадачу к нахождению функции кратности сингулярного элемента, но воспользуемся тем, что функция кратности сингулярного элемента удовлетворяетсистеме рекуррентных соотношений, отражающих процедуру перемножениямодулей.
Для решения поставленной задачи буден введен специальный комбинаторный объект - oбобщенная (g, )-пирамида, которая представляет собоймассив чисел (, { })g, , удовлетворяющих той же системе рекуррентныхсоотношений и будет доказано, что антиинвариантная функция кратностивыражается через линейную комбинацию соответствующих (, { }), .Для этой главы мы слегка изменим обозначения исходной задачи (3.1).Обозначим g -неприводимый модуль алгебры g со старшим весом , искомую функцию кратности ⊗ , и перепишем исходную задачу в виде:∑︁ ⊗ (g ) =⊗(4.1) g .Функция кратности сингулярного элемента является вейль-антиинвариантной комбинацией функций ⊗ :⊗ (+)−|∈ = () ⊗ ,(4.2)97В предыдущей главе было показано, что ⊗при разных связано системойрекуррентных соотношений:∑︁⊗ (︁()= )︁ ∑︁∈(−1)⊗ ,(4.3)∈(︀)︀где () -диаграмма модуля в алгебре формальных экспонент.
Данное соотношение можно считать реккурентным для сингулярных элементов, так(︀)︀как выражение в правой части есть () Ψ((g )⊗−1 ).4.1. Граф сингулярного элемента модуля и обобщенная(g, ) пирамидаОпределение 4.1.1. Графом сингулярного элемента g назовем бесконеч⋃︀ный граф g = (, ) определяемый множеством вершин = ≥0 и⋃︀множеством ребер = ≥1 состоящих из дизъюнктного объединенияподмножеств и удовлетворяющих следующим свойствам:1. 0 = {(0, ) : ∈ , = () − }, где -элемент группы Вейляалгебры g,2. Подмножества и конечны, = {(, ) : ∈ , ∈ Ψ((g )⊗ )}, - задается рекуррентным соотношением, и представляет собой множество ребер, соединяющих вершины (, ) ∈ с вершинами ˜( +(︀)︀1, + ) ∈ +1 , где ∈ () , Пара ( , ) (так же как и самнабор ) называется уровнем графа g .3. Задано возвращающее отображение и продолжающее отображение из в , такое, что: ( ) = , ( ) = −1 и −1 () ̸= ∅, −1 (˜ ) ̸= ∅для любого ∈ и ˜ ∈ ∖0 ,98Эти отображения также задаются рекуррентным соотношением:каждое ребро ( + 1) ∈ +1 соединяет вершину (, ) ∈ с ˜( +˜ ∈ +1 так что (( + 1)) = ˜ и (( + 1)) = .1, )На вершинах (, ) графа g зададим функцию ⊗ , сопоставляющую каждой вершине (, ) графа сингулярную кратность соответствующе()го веса в Ψ(⊗ ) .Определение 4.1.2.
Обобщенной (g, )-пирамидой называется массив чисел (, { }), = −∞ . . . ∞, = 0 . . . ∞, = 0 . . . , элементы которого удовлетворяютреккурентному соотношению∑︁(, { }), = (︁())︁ ∑︁( − 1, { }), ,(4.4)∈∈с граничными условиями (0, {0}) = 1.Здесь { } представляют собой координаты вектора в базисе вектороввесовой решетки, отложенном относительно старшего веса ⊗и направgленных по внешним граням весовой диаграммы, а - координаты вектора в базисе весовой решетки, отложенном относительно старшего веса⊗(−1)g. Эти координаты далее мы будем называть комбинаторными.Зададим на вершинах (, ) графа функцию (, ), =∑︁(−1)() (, {̃︁ }),(4.5){˜ }: −̃︁ =(()−)где - комбинаторные координаты вектора , отсчитываемые относительностаршего веса ⊗ .Утверждение (, ), = ⊗(4.6)99Данное утверждение будем доказывать при помощи метода структурной индукции, который подробно был описан в предыдущей главе.4.1.1.
Структурная индукция на графе сингулярного элементаНесложно заметить, что граф сингулярного элемента g представляетсобой индуктивный класс, где начальные правила есть 0 , а правила порождения задаются рекуррентным соотношением.Мы хотим доказать, что (, ) = ⊗для всего индуктивного классаg . Для того, чтобы доказать, что для всех ∈ g выполняется это свойство(для простоты обозначим его M()), достаточно показать, что:• Для всех начальных элементов 0 ∈ g свойство M() выполняется.Это так, поскольку 0 соответствуют веса = () − , у них координаты равны (() − ) и суммирование в (, ) сводится к одномуслагаемому с ̃︁ = 0 для каждого , которое имеет вид (−1)() , чтосовпадает с ⊗при = 0.• Для 1 , 2 , . .
. , ∈ g и любого способа комбинации (1 , 2 , . . . , ) = из того, что выполняется M(1 ), M(2 ), . . . , M( ) следует выполнение M(). Поскольку в рассматриваемом индуктивном классе правилапорождения определяются рекуррентным соотношением, то достаточнодоказать, что выражение (4.5) тоже удовлетворяет этому соотношению.Это очевидно, поскольку (, { })g, удовлетворяют тому же соотношению, что и ⊗по построению, а выражение (4.5) является их линейной комбинацией.Выражения для чисел (, { })g, , стоящих в обобщенной (g, )-пирамидеможно получить в явном виде, обратив внимание на тот факт, что харак100тер (ℎ(g )) модуля (g )⊗ удовлетворяет тому же реккурентному соотношению, и тем же начальным условиям, что и обобщенная (g, )-пирамида.При помощи структурной индукции можно доказать, что он совпадает с ней,т.е (, { })g, представляют собой коэффициенты разложения (ℎ(g )) валгебре формальных экспонент∑︁(ℎ(g )) =(, { }), 1 1 2 2 .
. . (4.7){ }где - базис весового пространства, имеющий начало координат в старшемвесе модуля (g )⊗ и построенный так, чтобы все веса модуля имели целыенеотрицательные (т.е чтобы координаты были комбинаторными).Таким образом (, { })g, получаются разложением (ℎ(g )) в ряд постепеням . Введем обозначение = , тогда характер модуля будет полиномом от : g ( ) = ℎ(g )| = .4.1.2. Обобщенный алгоритм построения антиинвариантнойфункции кратности для произвольного модуляОсновываясь на вышесказанном, сформулируем алгоритм нахожденияфункции кратности (, )g, :1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
