Диссертация (1150730), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Пока мы остановимся на том, что все вышеописанные методыпозволяют найти функцию кратности в тензорной степени различными спосо­бами, и каждый из них применим для конкретного типа задач. Безусловнымдостоиством формулы Кириллова-Решетихина является то, что она представ­ляет собой сумму положительных слагаемых, однако эта формула справед­126лива только для модулей Кириллова-Решетихина, а не для произвольногомодуля. Метод обобщенных (g, )-пирамид приводит к возникновению знако­переменных сумм, однако он применим для произвольного модуля.127Глава 5Антиинвариантная функция кратности дляградуированных тензорных произведенийФормула Кириллова-Решетихина следует из подсчета числа решений си­стемы алгебраических уравнений Бете.

Если каждому бетевскому состояниюсопоставить ’энергию’, которая пропорциональна числу Бете, то в формулеКириллова-Решетихина возникает дополнительный параметр . Кратностьстановится полиномом по , и таким образом, учитывает параметр энергии.Та же градуировка кратности по возникает, если рассматривать произведе­ние Фейгина-Локтева модулей Кириллова-Решетихина.В этой главе мы поставим задачу обобщить разработанный в преды­дущей главе метод обобщенных (g, ) пирамид Паскаля на градуированныекратности, возникающие в произведении Фейгина-Локтева. Основная гипоте­за состоит в том, что градуированный характер представляет собой - аналогмультиномиального коэффициента, явный вид которого зависит от комбина­торных свойств путей, ведущих в рассматриваемый вес.5.1.

Гипотеза о градуированной антиинвариантнойфункции кратностиБудем рассматривать простую конечномерную алгебру Ли g с разложе­нием Леви g = n+ ⊕ h ⊕ n− , где обозначим подалгебру Картана h, подалгебруБореля b = h ⊕ n+ . Будем обозначать конечномерные модули алгебры g какg , где Обозначим g[[]] алгебру токов, которая представляет собой алгебрукомплексных полиномов с генераторами [] = ⊗ где ∈ g.Опишем как возникают градуированные коэффициенты кратности в128произведении Фейгина-Локтева [18] для модулей алгебры g.• Определим действие алгебры токов на тензорном произведении моду­лей = 1 ⊗ · · · ⊗ .Для ∈ C определим действие g[[]]-генераторов [] ∈ g[[]] на ∈ gкак [] · = .Для комплексного вектора (1 , . .

. , ), мы будем иметь действие g[[]]на = 1 ⊗ · · · ⊗ по правилу:[](1 ⊗ · · · ⊗ ) =∑︁ 1 ⊗ · · · ⊗ ⊗ · · · ⊗ .(5.1)=1Соответствующий модуль алгебры g[[]] генерируется действием пони­жающих операторов на тензорном произведении старших весовых век­торов 1 ⊗ · · · ⊗ .• Введем фильтрацию на модуле алгебры токов, соответствующемутензорному произведению.Отметим, что алгебра g[[]] градуирована степенью полинома и алгебра (g[[]]) также градуирована.

Тогда на индуцируется фильтрация: 0 ⊂ 1 ⊂ · · ·где = ≤ (g[[]])1 ⊗ · · · ⊗ ,(5.2)• Введем градуировку на модуле алгебры токов, соответствующемутензорному произведению.Расмотрим присоединенное градуированное пространство относительноэтой фильтрации и этот обозначим его = ⊕≥0 / −1 . Его гра­дуированные компоненты являются g -модулями. Можно показать, чтоколичество градуированных компонент = / −1 конечно.Градуированный модуль называется произведением Фейгина-Лок­129тева g-модулей 1 , .

. . , = 1 ⋆ · · · ⋆ (5.3)• Введем коэффициенты разложения произведения Фейгина-Локтева нанериводимые g -подмодулиОтметим, что 0 это неприводимый g-подмодуль, соответствующийстаршему весу в разложении тензорного произведения1 ⊗ · · · ⊗ = 1 ⊕ · · · ⊕ (5.4)Используя фильтрацию на можно ввести “коэффициенты разложенияградуированного тензорного произведения”(градуированные кратно­сти) формулой:1 ,... ()=∑︁ dimHomg ( , )(5.5)≥0Если положить = 1 то эти коэффициенты совпадут с коэффициентамиразложения тензорного произведения(неградуированного):1 ,..., (1) = 1 ,...,(5.6)В этой главе мы поставим задачу нахождения градуированных кратно­стей.В предыдущиx главах мы решали задачу нахождения неградуированных крат­ностей.

В главе 4 был разработан метод Вейль-антисиммеризации обобщен­ных (g, ) пирамид, который позволял находить кратности в разложениитензорных произведений произвольных модулей, в частности, модулей Ки­риллова-Решетихина (KR-модулей). Формула Кириллова-Решетихина была130обобщена в [65, 66] на случай градуированных тензорных произведений KR­модулей 1 , . . . , .Согласно [65, 66], в произведении Фейгина-Локтева , модулей состаршими весами , градуированные кратности задаются выражением:⎡⎤∑︁ ∑︀∏︁ , + ,(b)⎣⎦ ,(5.7) () = ,,, , g min(,),,,{, }где g – матрица Картана, и сумма является ограниченной:∑︁ (, −,, =∑︁(5.8) , ) = ∑︁min(, ), −∑︁(5.9)min(, ),истоят -биномиальные коэффициенты:⎡ в выражении⎤[!]−1⎣ ⎦ =.[!] ([−)!] , [] = 1 + + .

. . Если ставить задачу обобщить метод обобщенных (g, ) пирамид, опи­санный в главе 4, на произведения Фейгина-Локтева -модулей, то необхо­димо произвести обобщение формулы (4.34) таким образом, чтобы в результа­те мы имели градуированные кратности, совпадающие с 5.7. Сформулируемтеперь основную гипотезу.ГипотезаДля произведения Фейгина-Локтева модулей старшего веса ⏟ ⋆ · ·⏞· ⋆ ал­гебры g градуированная кратность неприводимого модуля задается фор­мулой: (, )() =∑︁{̃︁ }: −̃︁ =(()−)(−1)() [, {̃︁ }]131где [, {̃︁ }] = - - аналоги мультиномиальных коэффициентов для модуля .Нахождение -аналогов мультиномиальных коэффициентов для произ­вольного модуля старшего веса представляет собой сложную задачу. Нижемы рассмотрим несколько простых примеров, позволяющих проиллюстриро­вать данную гипотезу.5.1.1.

-треугольник ПаскаляРассмотрим треугольник Паскаля (Рис. 5.1). На этом треугольнике узелпараметризуется своими координатами {, }, где означает ряд, в которомнаходится узел, а -координата узла в ряду, откладываемая от крайне право­го узла. В каждый узел {, } ведут пути, состоящие из шагов влево и − шагов вправо. Биномиальный коэффициент считает число способов, которы­миможно построить на данном треугольнике пути длиной c шагами влево:⎛ ⎞⎝ ⎠ = ! Можно представить, что мы кладем на вершину треугольни­!(−)!ка шарик, у которого есть 50-процентная вероятность скатиться вправо и50-процентная вероятность скатиться влево.

Когда шарик будет скатываться⎛ ⎞в ряд, его вероятность находиться в узле будет пропорциональна ⎝ ⎠.Представим теперь, что мы теперь вместо шарика кидаем на треугольникэлектрон и включаем магнитное поле, перпендикулярное плоскости треуголь­ника. Согласно квантовой механике, если у нас есть заряженная частица вмагнитном поле, то его волновая функция набирает фазу = при дви­жении частицы по петле, где - поток магнитного поля через петлю.

Та­ким образом, та фаза, которую наберет электрон, если он пойдет по пути (Рис.5.1), отличается от фазы, которую он наберет следуя пути 1 , крайнелевому из всех возможных (т.е сначала шагов влево и затем −-шагов впра­132во). Назовем путь 1 базовым. Фаза для пути будет равна числу ромбов, изкоторой состоит область, ограниченная и 1 . Если мы просуммируем фазывсех путей, ведущих в узел, то получим -аналог треугольникаПаскаля, в⎡ ⎤[!]узлах которого стоят -биномиальные коэффициенты ⎣ ⎦ = [!] [−]!, где[] = 1 + + .

. . −1 . На Рис 5.1 для пути число ромбов = 1. Суммафаз всех путей, ведущих в данную точку равна -биномиальному коэф­фициенту, который для этой точки равен 1 + + 2 2 + 3 + 4 . Отметим, чтопри равным единице -биномиальный треугольник переходит в треугольникПаскаля.Известно, что биномиальные коэффициенты связаны рекуррентным со­отношением:⎞⎞ ⎛⎛ ⎞ ⎛−1−1⎠⎠+⎝⎝ ⎠=⎝−1(5.10)Несложно заметить, что для элементов -треугольника Паскаля верно рекур­рентное соотношение:⎤⎡⎤⎡⎡ ⎤−1−1⎦⎦ + − ⎣⎣ ⎦ =⎣−1(5.11)В предыдущих главах было отмечено, что с помощью треугольника Паска­ля можно изобразить характер тензорной степени фундаментального модуля⊗ алгебры 2 . А соответствующая кратность неприводимого подмодуля состаршим весом = − задается разностью биномиальных коэффициен­тов (, ) − ( − 1, ).Предположим теперь, что характер градуированного модуля ⏟ ⋆ · ·⏞· ⋆ задается -биномиальным коэффициентом:⎡ ⎤ℎ (, ) = ⎣ ⎦(5.12)133Рис.

5.1. Треугольник Паскаля и -треугольник ПаскаляТогда соответствующая кратность неприводимого подмодуля получается ихВейль-антисимметризацией:⎤⎡⎡ ⎤⎦ (, ) = ⎣ ⎦ − ⎣−1(5.13)Справедливость (5.12), (5.13) докажем в следующем параграфе, но здесь при­ведем еще один пример, подтверждающий справедливость данного предполо­жения.Во введении было отмечено, что градуированная функция кратностидля модулей Кириллова-Решетихина может быть описана при помощи тензор­ного произведения кристаллических базисов ℬ ⊗ фундаментального модуляалгебры (2 ).

Характеристики

Список файлов диссертации