Диссертация (1150730), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

В случае неградуированного тензорного произведе­ния характер этого модуля можно изобразить в виде треугольника, в уз­лах которого находятся триномиальные коэффициенты. Существует многоспособов построить - аналог триномиальных коэффициентов.

Нас будетинтересовать тот, который позволит нам получить градуированный харак­тер степени векторного модуля алгебры 2 , т.е будет сочетаться с разло­жением этого модуля на неприводимые. На языке диаграмм Юнга вектор­ный модуль имеет вид: { 1 1 ; 1 2 ; 2 2 }. Это соответсвует элементу изℬ ⊗2 : 1 ⊗ 1 −→ 2 ⊗ 1 −→ 2 ⊗ 2 . Для упрощения значок тензорногопроизведения мы будем опускать для векторов из (2)2 и будем писатьℬ ⊗2 : 1 1 −→ 2 1 −→ 2 2Введем на этих векторах значения энергии, которые сочетаются с раз­ложением (2)2 на неприводимые:• = 0 для 1 1 ⊗ 1 1 −→ 2 1 ⊗ 1 1 −→ 2 2 ⊗ 1 1 −→ 2 2 ⊗142Рис.

5.4. Градуированный модуль (2)⊗32 1 −→ 2 2 ⊗ 2 2• = 1 для 1 1 ⊗ 2 1 −→ 2 1 ⊗ 2 1 −→ 2 1 ⊗ 2 2• = 2 для 1 1 ⊗ 2 2Энергию можно ввести с точностью до константы, но необходимо, чтобы онабыла постоянна внутри каждого неприводимого подмодуля.Введем одномерную сумму(ℬ ⊗ , , ) =∑︁∑︀−1=1 (−)( ⊗+1 )(5.21){}где =- базисный элемент из векторного модуля, = 1 . . . − 1Эта одномерная сумма будет давать градуированный характер векторногомодуля ℎ (2)⊗ , и задавать - аналог триномиального треугольника, кото­рый сочетается с разложением тензорного произведения на неприводимые(см.Рис 5.4).143Мы описали процедуру подсчета кратностей весов в характере моду­ля при помощи путей на -триномиальном треугольнике. Соответствующуюкратность неприводимого подмодуля в произведении Фейгина-Локтеваможно сосчитать, наложив ограничения на пути в (5.21) так, чтобы они на­ходились в главной камере Вейля.

Эту кратность также можно получить пофермионной формуле Кириллова-Решетихина (5.7). Но есть еще один способ:можно воспользоваться нашей гипотезой о - аналоге мультиномиального ко­эффициента и попробовать подобрать его таким образом, чтобы он совпадалс характером ℎ (2)⊗ .-триномиальные коэффициентыИзвестно выражение для триномиального коэффициента [96]⎛ ⎞⎛⎞⎛ ⎞∑︁ −⎝ ⎠⎝⎠⎝ ⎠ =+≥0(5.22)2Поставим задачу найти -аналог триномиального коэффициента, такойчтобы он совпадал с характером модуля ⊗21 . Будем искать его в виде:⎤⎡ ⎤ ⎡∑︁−⊗⎦(5.23)ℎ (2) = () ⎣ ⎦ ⎣+≥0Где ()-некоторая функция от .В статье [97] авторами была введена формула для - аналога триноми­альных коэффициентов:⎡⎤⎡⎤, , , ⎣⎦ =⎣⎦2,2,⎡ ⎤ ⎡⎤∑︁ −⎦= (+) ⎣ ⎦ ⎣+≥0(5.24)Воспользуемся этой формулой и сделаем предположение относительно видаискомого характера:144Градуированный характер тензорной степени векторного представленияалгебры 2 задается формулой:ℎ (2)⊗⎤⎡ ⎤ ⎡ −2⎦ ⎣ ⎦ ⎣=+≥0∑︁(5.25)здесь задает координату веса от начала координат весовой решетки ( = 0для тривиального модуля) .Пример: Рассмотрим (2) ⊗ (2).

Упростим (5.25):⎤⎡ ⎤⎡ −[ !][( − )!]⎦=⎣ ⎦⎣=[!][(−)!][(−2−)!][(+)!]+=[ !][2!]=[!][( − 2 − )!][( + )!] [!][(2 − 2 − )!][( + )!]При = 0 будем иметь[2!][!][(2 − 2)!][()!]В этом произведении допустимыми значениями являются = 0 и = 1.При = 0 имеем[2!][2!]= 1,при = 1 имеем[2!][1!][0!][1!]= [2!] = 1 + .Для характера в нуле имеем 0 · 1 + 1 (1 + ) = 1 + + 2 что совпадает сдействительностью (см. Рис 5.4)При = 1 будем иметь[2!][!][(1 − 2)!][( + 1)!]В этом произведении допустимыми значениями являются = 0, и в этомслучае[2!][0!][1!][1!]= [2!] = 1 + .Для характера имеем 0 · (1 + ) = 1 + , что также совпадает с действитель­ностью.

Таким образом, есть основания предполагать, что это выражениеявляется необходимым - аналогом триномиального коэффициента.145Формула (5.25) пока не доказана, как и основная гипотеза о -анало­ге мультиномиальных коэффициентов. Построение процедуры нахождения-аналогов в общем виде является одной из основных задач дальнейших ис­следований. Для доказательства необходимо построить рекуррентную фор­мулу, которой будет удовлетворять градуированный характер.

Затем можнобудет проверить справедливость гипотезы прямой подстановкой в это рекур­рентное соотношение. Одним из возможных вариантов является описаниеэтой процедуры на языке путей на - аналоге триномиального треугольни­ка. Из рассмотренных примеров уже сейчас можно сказать, что процедураэта нетривиальна. Каждый путь на треугольнике, в вершинах которого сто­ят -триномиальные коэффициенты будет получать дополнительный множи­тель в зависимости от своей геометрии, и искомая кратность, как суммаэтих вкладов, будет представлять собой полином от .146ЗаключениеВ данной работе были рассмотрены методы получения кратности в раз­ложении тензорной степени модуля полупростой алгебры Ли на неприводи­мые, такие как модель путей Литтельманна, кристаллические базисы, ферми­онная формула Кириллова-Решетихина.

Было установлено, что эти методыимеют ряд недостатков: во первых, они не дают явной зависимости кратностиот числа сомножителей в тензорном произведении, кроме того, вычисленияс их помощью очень трудоемки для большого количества сомножителей.В работе предложен ряд способов, позволяющих решить некоторые про­блемы, возникавшие в вышеописанных методах.Во первых, введено понятие антиинвариантной относительно преобразо­ваний группы Вейля функции кратности, и, в рамках этого понятия разра­ботан алгоритм, позволяющий получить функцию кратности с явной зависи­мостью от числа сомножителей , что во многом упрощает вычисления.

Дан­ный алгоритм позволил получить новые выражения для кратностей неприво­димых компонент степеней фундаментального модуля алгебр серии , .Явный вид зависимости от в полученной формулах позволил провести ис­следование асимптотических свойств кратностей при −→ ∞ для бетевскихвекторов и векторов с фиксированными координатами, а также описать по­ведения максимумов, которые нельзя было осуществить при помощи другихметодов.Во-вторых, для произвольных модулей полупростой алгебры Ли былсформулирован метод обобщенных (g, ) - пирамид.

С его помощью полученыкратности для -й тензорной степени векторного фундаментального модуляалгебры 2 , а также кратности неприводимых компонент для произведения фундаментальных и векторных модулей алгебры 1 .В третьих, проведено обобщение метода (g, ) - пирамид для нахожде­147ния градуированной функции кратности в разложении произведения Фей­гина-Локтева фундаментальных модулей алгебры 1 .Теоретические идеи и методы данной работы могут быть в дальнейшемиспользованы для изучения кратностей в разложении тензорных произведе­ний более широких классов модулей. В частности, планируется обобщение ме­тода (g, ) - пирамид для нахождения градуированной функции кратности вразложении произведения Фейгина-Локтева произвольных модулей полупро­стой алгебры Ли.148Список литературы1.

V.G Kac, Infinite dimensional Lie algebras. to Quantum Groups and CrystalBases,Cambridge University Press, 1994.2. J.E. Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups, Cambridge UniversityPress, 1992.3. M. Wakimoto, Infinite-dimensional Lie algebras, American MathematicalSociety, 2001.4. W. Fulton, J. Harris, Representation theory: a first course, Springer Verlag,Vol. 129, 1991.5. N. Bourbaki, Algebre de Lie IV–VI, (Hermann, Paris, 1968).6. J.

Humphreys, Introduction to Lie algebras and representation theory , Berlin:Springer, 19977. R.Steinberg, A general Clebsch-Gordan Theorem, Bulletin of AmericanMathematical Society, 67 (1961), 406-407.8. A.U. Klimyk, Decomposition of a direct product of irreducible representationsof a semisimple Lie algebra into a direct sum of irreducible representations,Thirteen Papers on Algebra and Analysis, Amer. Math. Soc. Translations, 76(1968), pp.

63–74.9. W. Fulton, Young tableaux: with applications to representation theory andgeometry, London Math. Soc. student texts 35, Cambridge University Press(1997).10. D. E. Littlewood, A. R. Richardson, Group Characters and Algebra,Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A,Containing Papers of a Mathematical or Physical Character, The Royal Society(1934), 233 (721–730): 99–14111. V. G.

Характеристики

Список файлов диссертации