Диссертация (1150730), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Согласно [60] на тензорном произведении кристаллических134базисов вводится одномерная сумма :∑︁ ∑︀−1⊗(ℬ , , ) = =1 (−)( ⊗+1 )(5.14){}Где удовлетворяет: (1 ⊗ 1) = (2 ⊗ 1) = (2 ⊗ 2) = 0,(1 ⊗ 2) = 1.∑︀а суммирование ведется по ∈ {1, 2} 1 ≤ ≤ таким, что, =1 ( ,1 − ,2 ) ≥ 0 для 1 ≤ ≤ − 1.Утверждается[60], что градуированная кратность для модуля Кирил­лова-Решетихина совпадает с . Также доказано[65], что градуировка, воз­никающая при таком введении одномерной суммы, совпадает с градуировкойдля произведения Фейгина-Локтева. Поэтому для решения поставленной за­дачи нахождения функции кратности мы будем также использовать икристаллические базисы.Снимем ограничения на {} в формуле (5.14), т.е будем рассматривать всевоз­можные вектора из тензорного произведения.

Полученное выражение будетпредставлять собой характер модуля. Изобразим все вектора из тензорногопроизведения 1 ⊗ 2 ⊗ 3 ⊗ 4 на плоскости. Это будут вершины кристалличе­ского графа. Затем соединим их стрелками так, как действует оператор Ка­шивара ˜. В результате получим кристаллический граф, связные компонентыкоторого соответствуют разложению тензорной степени модуля на неприво­димые. Отметим, что внутри каждой неприводимой компоненты степень одна и та же, это следует из определения энергии на элементах кристал­лического базиса (см Рис 5.2).Взглянем теперь на это утверждение с точки зрения путей на треуголь­нике Паскаля.

Установим взаимооднозначное соответствие следующим обра­зом: Пути на треугольнике Паскаля будем сопоставлять элемент из 1 ⊗ 2 ⊗3 ⊗4 таким образом, что шагу вправо будет сопоставляться элемент 1 , а ша­гу влево элемент 2 . Пути из шагов сопоставляется вектор⊗⊗⊗из ℬ ⊗ (см. Рис 5.2).

При таком соответствии пути, имеющие множитель не135Рис. 5.2. Разложение ()⊗4 = (4) + (2) + 2 (2) + 3 (2) + 2 (0) + 4 (0).Пути на -треугольнике Паскаля и кристаллический граф для модуля ()⊗4 алгебры 2 .Значок ⊗ для элементов кристаллического базиса опущен.отсекают область из ромбиков, как было отмечно выше для -треугольникаПаскаля.Здесь действует другое правило сопоставления пути множителя , кото­рое сочетается с разложением тензорного произведения кристаллическихбазисов.

А именно:• для каждого пути устанавливается, сколько в нем элементов 1 ⊗ 2(т.е шаг вправо-влево).• пути сопоставляется множитель ∑︀=1 (−), где - номер шага, на кото­ром встретилось 1 ⊗ 2 .На рисунке комбинация 1 ⊗ 2 на каждом пути обозначена цветом. Пути с136одинаковой степенью образуют базис неприводимого подмодуля.⎡ ⎤Сопоставив рис 5.1 и рис 5.2 можно заметить, что что элементы ⎣ ⎦из -треугольника Паскаля в каждом весе в точности совпадают с дляпутей, заканчивающихся в рассматриваемом весе, где путям сопоставля­ется множитель по вышеуказанному правилу. Например, для узла { =4, = 3} оба треугольника дают выражение 1 + + 2 2 + 3 + 4 . При этоммножитель и отличаются для каждого пути, но их суммы совпадают.Это дает основание предполагать, что весь -треугольник Паскаля будет сов­падать с характером степени фундаментального модуля алгебры 2 .В заключение отметим, что ограничения, накладываемые на вид путейв формуле (5.14) для подсчета кратностей означают, что мы отсекаем всепути, которые выходят из главной камеры Вейля, следовательно для каж­дого веса получаем пути, соответствующие старшим весам неприводимыхподмодулей.

Эта процедура немного упрощает разложение тензорного про­изведения по сравнению с перечислением всех связных комнонент в кристал­лическом базисе. Но все равно требуется перечислять некоторое множествопутей (или элементов из кристаллического базиса) и считать для них необ­ходимую степень . В этой связи наше предположение о том, что кратностьдается разностью -биномиальных коэффициентов может существенно упро­стить вычисления.5.1.2. Локальный модуль ВейляДля того, чтобы доказать справедливость гипотезы (5.12), введем допол­нительные определения. Известно, что если все модули 1 , .

. . , являют­ся фундаментальными для алгебры Ли g, то произведение Фейгина-Локтева1371 ⋆ · · · ⋆ совпадает со специальным g[[]] модулем (), = 1 + · · · + который называется локальным модулем Вейля. [19].Определение 5.1.1. Локальный модуль Вейля это циклический g[[]]модуль, генерируемый действием вектора старшего веса и удовлетворя­ющий следующим условиям:• ℎ = (ℎ), ℎ ∈ h• [] = 0, ≥ 0, ∈ n+ , ∈ Δ+• ℎ[] = 0, > 0• <,>+1 = 0Градуированные характеры модулей Вейля можно получить как несим­метричные обобщенные полиномы Макдональда [95], а также по формулеКириллова-Решетихина (5.7). Но формула Кириллова-Решетиxина как и ком­бинаторная формула для полиномов Макдональда достаточно громоздки дляпрактического использования.

Рассмотрим, как будет работать обобщение ме­тода пирамид Паскаля для нахождения градуированных кратностей в локаль­ном модуле Вейля. 1 , . . . .5.2. Произведение Фейгина-Локтева дляфундаментальньного модуля алгебры 2В этом параграфе мы докажем формулу (5.13) для градуированной крат­ности в разложении (, ) = ⏟ ⋆ · ·⏞· ⋆ , где - фундаментальный мо­дуль алгебры 2 . Разложение тензорного произведения на неприводимые под­модули будем рассматривать с точки зрения редукции модуля прямой суммыалгебр g ⊕ · · · ⊕ g на диагонально вложенную подалгебру g ⊂ g ⊕ · · · ⊕ g.138В качестве алгебры g рассмотрим алгебру (2, C) и рассмотрим произве­дение Фейгина-Локтева для фундаментальных модулей.

Обозначим весо­вой вектор, соответствующий фундаментальному весу . Весовая диаграммафундаментального модуля алгебры (2, C) состот из двух весов , −, поэто­му весовая диаграмма модуля прямой суммы алгебр Ли (2, C)⊕· · ·⊕(2, C)представляет собой -мерный куб (см. Рис 5.3). Действие понижающего опе­v⊗fv⊗fvv⊗v⊗fvfv⊗fv⊗fvfv⊗v⊗fvfv⊗fv⊗vfv⊗v⊗vfv⊗fv⊗vffv⊗v⊗vРис.

5.3. Редукция (2, C) ⊕ (2, C) ⊕ (2, C) на диагонально вложенную (2, C)ратора на одну из подалгебр (2, C) представляет собой шаг вдоль ребракуба по соответсвующему направлению. Положительный корень диагональ­∑︀ной (2, C) подалгебры имеет вид = 1 , в то время как это положи­тельный корень -й подалгебры (2, C).Cделаем шагов вдоль различных ребер -мерного куба с номерами1 , . .

. , . Мы окажемся в весе: = 1 + · · · + (5.15)который проектируется в вес ( − 2) диагональной подалгебры. Очевидно,что размерностьнатянутого на соответствующие весовые век­⎛ пространства,⎞тора равна ⎝ ⎠. Базис этого пространства состоит из весовых векторов139 для всех вида (5.15). C точки зрения диагональной подалгебры (2, C)это пространство является весовым пространством веса .Построим алгебру токов g[[]] для диагональной подалгебры. Как век­торное пространство произведение Фейгина-Локтева или модуль Вейля изо­морфен прямому произведению фундаментальных модулей (2, C) которыемы выбрали в качестве -мерного куба.

Полиномы по 1 , . . . , которые появ­ляются под действием алгебры токов являются коэффициентами в линейнойкомбинации векторов . Эти линейные комбинации представляют собой дру­гой выбор базиса для весового пространства веса .Будем описывать структуру и градуировку на пространстве этих поли­номов. Рассмотрим вектор ⊗ · · · ⊗ ⊗ ⊗ · · · ⊗ ⊗ . . . , где нахо­дятся на местах 1 , .

. . , . Поскольку генераторы алгебры токов [], []коммутируют и их действие на тензорном произведении симметрично, то по­лином, который является коэффициентом перед этим вектором,симметриченпо 1 , . . . . Вследствие факторизации необходимо рассматривать только од­нородные многочлены. Градуировкой пространства является степень этогомногочлена. Число таких полиномов степени равно числу ограниченныхразбиений числа не более чем на положительных чисел.Максимальная степень каждого не больше, чем − по свойстваммодуля Вейля.

Чтобы это увидеть, сначала используем условие +1 ⊗ · · · ⊗ = 0 и будем действовать на него [] = ⊗ , = 0, 1, . . . . Сначала,действуя = [0] мы получаем 0 вследствие коммутационных соотношенийалгебры (2, C): +1 ⊗· · ·⊗ = ( +1 +(+1) ℎ−(+1) ) ⊗· · ·⊗, ⊗ · · · ⊗ = 0 и ℎ ⊗ · · · ⊗ = ⊗ · · · ⊗ . Действие при помощи ⊗ даетнам новое соотношение, поскольку у нас есть условие (ℎ ⊗ ) ⊗ · · · ⊗ = 0:( ⊗ ) +1 ⊗ · · · ⊗ = (−( + 1) ⊗ ) ⊗ · · · ⊗ = 0 or ⊗ ⊗ · · · ⊗ = 0.Действуя − + 1 раз на это выражение при помощи ⊗ мы аналогичнополучим ⊗ −+1 ⊗ · · · ⊗ = 0, и поэтому у нас не будет уровня более чем140 − .

Тогда максимальная степень всего полинома ( − ).Таким образом, число полиномов степени представляет собой числоограниченных разбиений (, − ; ). Умножая это число на мы получаемградуированную кратность веса :⎡(−)∑︁(, − ; ) = ⎣=0⎡Здесь ⎣⎤(5.16)⎦⎤⎦ - -биномиальный коэффициент. Получаем, что формальныйградуированный характер модуля Вейля дается формулой⎡ ⎤∑︁ ⎣ ⎦ ℎ ()) ==0(5.17)Когда мы действуем оператором на вектор, соответствующий весу( − 1) который находится на уровне модуля Вейля,векторс⎤⎡⎤ получаем⎡ мывесом на том же уровне. Таким образом имеется ⎣⎦ −⎣−1⎦ пред­ставлений (2, C) со старшим весом в модуле Вейля (), и кратностиградуированного тензорного произведения фундаментальных представленийдаются формулой:⎡⎣M () =⎤⎡⎦ −⎣−1⎤⎦(5.18)Предположение доказано.По этому определению структуры модуля Вейля легко увидеть, что мо­дуль () содержится в модуле (( + 1)).

Он натянут н вектора вида(−)(1 , . . . )( ◁ ⊗ . . . ) ⊗ ,(5.19)141(−)где (1 , . . . ) симметричный полином по от 1 . . . со степенью каж­дого не более чем − и = ⊗ 1 ⊗ · · · ⊗ ⊗ 1, где будет операторов и − единичных. Действуя на эти вектора оператором и сравнивая со всеммодулем (( + 1)) можно получить следующее рекуррентное соотношениедля характеров модуля Вейля:ℎ (( + 1)) = ℎ ()ℎ () + ( − 1)ℎ (( − 1)) (5.20)5.3. Произведение Фейгина-Локтева для векторногомодуля алгебры 2-триномиальный треугольникРассмотрим теперь произведение Фейгина-Локтева для векторных мо­дулей алгебры (2, C).

Характеристики

Список файлов диссертации