Диссертация (1150730), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

, −, +, . . . , +)⏟ ⏞⏟ ⏞⏟ ⏞⏟ ⏞ (1 ) (1 ) ( ) ( )В этой последовательности необходимо вычеркнуть все (+, −)-пары. В ре­зультате получится последовательность минусов за которой следует последо­вательность плюсов, называемая -сигнатурой -() := (−, −, −, . . . . . . , +, +, +)По правилам построения тензорного произведения кристаллических базисовоператор ˜ будет действовать на , соответствующий последнему "−"в по­следовательности -(), а ˜ будет действовать на , соответствующийпервому "+".˜ = 1 ⊗ · · · ⊗ ˜ ⊗ · · · ⊗ ,˜ = 1 ⊗ · · · ⊗ ˜ ⊗ · · · ⊗ (2.13)Для примера рассмотрим четырехмерный неприводимый модуль 3 алгебры (2 ) с кристаллическим базисом (3 , ℬ3 ). Возьмем тензорное произведение27кристаллических базисов ℬ3⨂︀ℬ3⨂︀ℬ3⨂︀ℬ3 и выберем в нем вектор = ⊗ 3 ⊗ 2 ⊗ () ↦−→ (− + +, − − −, − − +, − + +) для которого имеем-() := (−, −, −−, ++).

Следовательно, действие операторов Кашиварана этом векторе будет выглядеть следующим образом:˜ = ⊗ 3 ⊗ ⊗ (),˜ = ⊗ 3 ⊗ 2 ⊗ 2 Соединяя вектор стрелками с ˜ и ˜ , и применяя к ним аналогичнуюоперацию, получим связную компоненту, соответствующую одному из непри­водимых модулей в разложении тензорного произведения 3 ⊗ 3 ⊗ 3 ⊗ 3 .Рассмотрев все вектора в тензорном произведении кристаллических базисови соединив их по этому правилу, мы получим граф, связные компоненты ко­торого полностью описывают разложение рассматриваемого тензорного про­изведения модулей.

Напомним, что это же разложение сохраняется и для мо­дулей алгебры 2 , так как структура модулей (2 ) стремится к структуремодулей 2 при → 1.2.1.6. Правило Литлвуда-Ричардсона и пути ЛиттельманнаДля алгебр серии помимо привычного аппарата теории представле­ний, в котором используются весовые решетки, корни, характеры, существуетдополнительный важный комбинаторный инструмент: таблицы Юнга. Раз­ложение тензорных произведений представлений на неприводимые можнополностью осуществить по правилу Литтлвуда-Ричардсона [9, 10], пользу­ясь комбинаторными свойствами таблиц Юнга. Согласно этому правилу для, ∈ + тензорное произведение ⊗ ≃ ⊕+( ) - где сумма пробегаетвсе полустандартные таблицы Юнга формы которые -доминатны.Положительным свойством этой формулы (по сравнению, например, сформулой Стейнберга[7]) является то, что не происходит взаимного сокраще­ния при суммированиях.

Это помогает с большей легкостью установить факт28наличия того или иного представления в разложении тензорного произведе­ния, но область применения ее ограничена алгебрами серии . Модель путейЛиттельманна [41, 42, 43, 44] была разработана с целью обобщения правилаЛиттлвуда-Ричардсона на другие алгебры. В этой модели основным обьек­том являются пути на весовой решетке, которые начинаются в нулевом весеи заканчиваются в одном из весов на решетке. Каждому простому корню со­поставляется пара операторов, которые действуют на множестве путей. Еслипуть , который заканчивается в весе , лежит полностью в главной камереВейля, то модуль, генерируемый действием пары операторов представляетсобой "модель" неприводимого модуля алгебры g со старшим весом .

Cум­∑︀ (1)мапо конечным точкам всех путей этого модуля представляет собойхарактер неприводимого модуля алгебры g. При помощи модели путейЛиттельманна обобщается правило Литтлвуда-Ричардсона на другие алгеб­ры, так как такая модель универсальна и использует стандартные структурылюбой полупростой алгебры Ли.2.1.7. Пути Литтельманна. Основные понятияИзложим, согласно [42], основные понятия модели путей Литтельманна.Пусть - весовое пространство алгебры g, пусть - простой корень.

Обо­значим за Π набор путей : [0, 1] → , имеющих начало в нуле ((0) = 0)и заканчивающихся в целом весе ((1) = ). Определим корневой опера­тор , который действует на этих путях и отражает их куски в плоскости,ортогональной таким образом, что смещает конец пути на −. Сделатьэто можно не всегда. Оператор может отражать только те интервалы(1 , 2 ), которые удовлетворяют (( ), ) = ∈[,1] ((), ), ∈ [1 , 2 ].Если такое невозможно, то оператор возвращает некий элемент , которыйне является путем, и для которого () = . Аналогично определяется дру­29гой корневой оператор , который отражает куски путей в плоскости, ор­тогональной таким образом, что смещает конец пути на + (см.

Рис.2.1).Он может отражать только те интервалы (1 , 2 ) которые удовлетворяют(( ), ) = ∈[0, ] ((), ), ∈ [1 , 2 ]. Эти операторы удовлетворяют со­отношениям () = , если () ̸= и () = , если () ̸= .Для упрощения обозначений обозначим − прямой путь, ведущий из ну­ля в вес . Обозначим B - подмножество Π. Его характер определим как∑︀ℎB := ∈B (1)Рис. 2.1.

Действие корневого оператора на путь Литтельманна [41]2.1.8. Фoрмула для характера неприводимого представления втерминах путейПусть B ∪ 0 стабилен под действием корневых операторов, тогда ℎBстабилен под действием группы Вейля, где = при > 0 и = − при < 0, где =2((1),)||||2и 2 = , (1) = (1), где - элемент группыВейля, соответствуюший .

ТогдаℎB =∑︁ℎ (1)∈B, ⋆∈Π+0где Π+0 - подмножество элементов из Π, образы которых содержатся внутриглавной камеры Вейля, (1) обозначает неприводимое представление g со30старшим весом (1), а - полусумма положительных корней. Символ ⋆ обо­значает сцепление путей. Для двух путей 1 , 2 их сцепление = 1 ⋆ 2 опре­деляется как () = 1 (2) при 0 ≤ ≤12и () = 1 (1) + 2 (2 − 1) при12≤ ≤ 1.Рассмотрим путь ∈ Π.

Для него рассмотрим наименьший набор изB ∈ Π, такой что ∈ B и B∪0 стабилен под действием корневых операторов.Обозначим такой набор B . Если для выполняется условие ⋆ ∈ Π+0тогда { ∈ B | ⋆ ∈ Π+0 } = {}. Если скомбинировать это утверждение сформулой для характера, то получим основную теорему модели путейЛиттельманна:ℎ (1) = ℎBИз этой формулы видно, что если мы захотим найти значение характера∑︀в весе , то будем иметь ряд ℎB () := ∈B , (1)= 1 который не являетсязнакопеременным, что упрощает расчеты.Граф Литтельманна пути для которого ⋆ ∈ Π+0 строится сле­дующим образом (см.

Рис 2.2):• Вершины явлются элементами B• Вершины , ′ ∈ B соединены стрелкой цвета если () = ′2.1.9. Фoрмула для тензорных произведений в терминах моделипутейНа языке модели путей Литтельманна можно обобщить правило Литтл­вуда-Ричардсона:⊗ ∼=⨁︁ +(1)∈B2 , ⋆1 ⋆∈Π+0где , - старшие веса перемножаемых модулей и 1 2 - пути, такие что ⋆ 1 , ⋆ 2 ∈ Π+0 и 1 (1) = , 2 (1) = .31Рис. 2.2. Пути Литтельманна для присоединенного представления алгебры 3Связь между путями Литтельманна и диаграммами Юнга. Еслирассмотреть разбиение = (1 , .

. . , ) и таблицу Юнга 0 формы у которойв первом ряду только единицы, во втором только двойки и т.д. Тогда 0удовлетворяет ⋆ 0 ∈ Π+0 и поэтомуℎB0 = ℎ 0 (1) = ℎ и вообщеB0 = { | − полустандартные таблицы Юнга формы }Это соответствие проиллюстрировано на Рис. 2.2.Связь между путями Литтельманна и кристаллическими базисамиХотя модель путей разрабатывалась отдельно от теории кристалличе­ских базисов для квантовых групп в работах [46, 47] было доказано что Граф для ∈ Π+ , (1) = изоморфен кристаллическому графу неприводимогопредставления для (g).322.1.10.

P-R-V гипотезаP-R-V (Parthasarathi-Ranga-Rao-Varadarajan) гипотеза позволяет опре­делить, будет ли содержаться модуль старшего веса полупростой алгебры Лив тензорном произведении ⊗ двух интегрируемых модулей со старши­ми весами и . P-R-V гипотеза утверждает, что если есть элементы группыВейля , ∈ такие, что := () + () является доминантным, тогдамодуль входит в ⊗ . Ее доказательство приведено в [45].

Осуществитьразложение тензорного произведения при помощи P-R-V гипотезы трудно,но можно быстро понять, будет ли в разложении модуль определенного вида.2.2. Методы теории интегрируемых системПараллельно с развитием алгебраических методов разложения тензор­ного произведения представлений в общем виде, задача нахождения кратно­стей в разложении тензорной степени представлений возникла при подсчетесобственных функций интегрируемой спиновой цепочки. Впервые линейнаяцепочка была рассмотрена в работе [68] Х. Бете в 1931 году. Бете заметил, чтово всех имеющихся на тот момент работах по этой тематике рассматривалосьдвижение свободных электронов в поле атомов, без учета взаимодействиямежду электронами. Данное приближение подходило для только для изуче­ния проводимости металлов.

Для изучение ферромагнитных свойств металлазадачу нужно было формулировать следующим образом:Дана цепочка из большого количества одинаковых атомов. Допустим,что у каждого из этих атомов все оболочки заполнены, кроме последней, накоторой имеется один электрон в состоянии. Подразумевается, что известнысобственные функции для свободных атомов. Как будут выглядеть собствен­ные функции и собственные значения данной системы?33Для решения этой задачи Бете использовал модель Гейзенберга для систе­мы взаимодействующих частиц со спином12(1/2 -модель Гейзенбер­га) [69]. Бете предложил явный вид собственных функций и собственныхзначений этого "одномерного металла"(анзац Бете). В этой работе такжебыла получена формула подсчета числа собственных значений этой систе­мы с заданным спином, которая, как было отмечено позже Л.Фаддеевым иЛ.Тахтаджяном [70], представляла собой функцию кратности в разложениитензорной степени фундаментальных представлений алгебры 2 .

Характеристики

Список файлов диссертации