Диссертация (1150631), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Далее нам будет интересно толькопространство АдС.Рассмотрим, какие бывают координаты в пространстве анти—де Ситтера [74]:• Глобальные координаты:Вектора в пространстве задаются пятью координатами (τ, ρ, θ, φ1 , φ2 ).Эти координаты параметризуют наш гиперболоид (3.3) следующим образом [75]:X0 = L ch(ρ) cos(τ ),Xi = L sh(ρ)x̂i ,X5 = L ch(ρ) sin(τ )(3.4)где x̂i евклидовы координаты единичной сферы S3 , записанные черезуглы (θ, φ1 , φ2 ).
Область изменения параметров: τ ∈ [0, 2π] и ρ ∈ [0, ∞).В такой параметризации метрика имеет вид:ds2 = L2 (ch2 (ρ)dτ 2 − dρ2 − sh2 (ρ)dΩ23 )(3.5)• Координаты Пуанкарэ:Другие координаты, которые часто используются в АдС/КТП соответствии называются координатами Пуанкаре (t, r, x1 , x2 , x3 ) и они параметризуют гиперболоид (3.3) по правилам:L2r2rX0 =1 + 2 L2 + xi xi − t2 , X1,2,3 = xi2rLL22rLr1 − 2 L2 − xi xi + t2 , X5 = tX4 =2rLL48(3.6)Получившаяся индуцированная метрика имеет вид:dr2r2ds = −f (r)dt ++(dxi dxi ) ,f (r) L222r2где f (r) = 2L(3.7)Эта форма для метрики используется в голографических моделях сверхпроводников. В моделях АдС/КХД используют координаты несколькоотличные от координат Пуанкаре. Произведя замену: z :=L2rмы полу-чаем простой вид для метрики:ds2 =L222−dt+dxdx+dziiz2(3.8)• Статические координаты: Для обсуждения шварцшильдовских черных дыр в АдС, необходимых для термализации голографических моделей, наиболее удобны координаты (τ, r, θ, φ1 , φ2 ), полученные из метрики (3.5) заменой t = Lτ , а r := L sinh ρ.
В этих координатах метрикапространства АдС выглядит следующим образом:1ds = −f (r)dt +dr2 + r2 dΩ23 ,f (r)22r2где f (r) = 1 + 2L(3.9)метрика Шварцшильда—АдС (невращающаяся и незаряженная чернаядыра в пространстве АдС) имеет похожую форму:1dr2 + r2 dΩ23 ,ds = −f (r)dt +f (r)22492Mr2где f (r) = 1 −+ 2 (3.10)rL3.2.2ДуальностьВ начале этой части кратко обсудим основы гравитационно/дуального соответствия [76]. Известно, что современная М-теория (11 измерений) содержит 5 типов теорий суперструн (10-ти измерений R1,9 ): суперструны Типа I,Типа IIA, Типа IIB, Гетеротические струны E8 × E8 и Гетеротические струныSO(32).
Для нас наиболее интересной теорией суперструн является теориятипа IIB. Описывает эта теория струны (открытые и замкнутые), которыераспространяются в пространстве-времени, заметая некоторую мировую поверхность. Замкнутая струна имеет периодичные граничные условия. Дляоткрытых струн могут быть два типа граничных условий - условия Нейманаи условия Дирихле. В первом случае конец струны может свободно двигаться, правда, не унося при этом импульса. В случае условий Дирихле конецструны может двигаться по некоторому многообразию.
Это многообразие иназывается «D-браной» или «Dp-браной» (p - целое число, характеризующеечисло пространственных измерений многообразия) [77].Браны представляют из себя не только статические объекты, накладывающие условия на струны, это динамические объекты. D-браны способныфлуктуировать и взаимодействовать гравитационно. Можно показать, чтотензор энергии-импульса для браны вычисляется следующим образом:бранаTµν∝1gsгде gs - константа взаимодействия струн. Теперь рассмотрим набор из N -штукD3-бран, имеющих размерность 1+3. Также будем считать, что положения50бран совпадают друг с другом. Браны определяют геометрию вокруг себячерез привычное уравнение Эйнштейна:1браныRµν − Rgµν = 8πG10 Tµν2(3.11)Из работы [78] известно, что ньютоновская константа в 10-ти измеренияхG10 ∝ gs2 .
В результате получаем, что правая часть (3.11) пропорциональнаgs N ≡ λ, где константа λ известна как постоянная ’т Хоофта. Далее рассматриваться два предельных случая для теории струн:• Предел слабой связи λ 1:В этом случае, браны не искривляют геометрию и мы имеем плоскоепространство-время с находящимися в нем бранами. В пределе низкихэнергий ls → 0, где ls -длинна струны, остаются только безмассовые моды.
В нашем случае это либо закрытые струны в объеме, либо открытыеструны, живущие на D3-бранах. В низкоэнергетическом пределе нашутеорию можно представить в виде [79]:Sэфф = Sбраны + Sобъем + Sвзаимод.(3.12)Здесь Sобъем соответствует теории супергравитации типа IIB (SUGRA),которая возникла из теории закрытых струн на низких энергиях. На бранах, открытые струны дают теорию поля Sбраны , а Sвзаимод. отвечающаяза взаимодействие открытых и закрытых струн вблизи бран исчезает впределе малых энергий. Для того, чтобы понять, какая теория поля возникнет на D3-бране следует отметить, что наличие (1+3) мерной браны51в (1+9)-ти измерениях приводит к нарушению (10-4) трансляционныхсимметрий.
В результате, согласно механизму Хигса мы должны наблюдать 6-ть скалярных полей, живущих на бранах.В случае N бран возникает дополнительная симметрия. В случае разделения бран неким расстоянием r самая короткая струнная мода, касающаяся концами разных бран имеет длину r. Следовательно она имеетнекоторую массу и соответствует W-бозону, распространяющемуся побранам. Струны, начинающиеся и заканчивающиеся на одной и той жебране соответствуют безмассовым модам.
В случае полного совпадениябран все моды становятся безмассовыми и если учитывать ориентациюструн мы будем иметь N2 струнных комбинаций. Это реализация U (N )калибровочной группы полей, живущих на бране. Данная группа представляет из себя U (N ) ∼= U (1) × SU (N ), где U (1) отвечает положениецентра массы браны. В итоге, на полностью совпадающем наборе из D3бран в количестве N штук мы имеем 6 скаляров из присоединённогопредставления калибровочной группы SU (N ). Полученная теория поляоказывается N = 4 суперсимметричная теория Янга—Миллса (СЯМ).В итоге, в пределе слабой связи, согласно (3.12), мы имеем следующеерасщепление:SUGRA Типа IIB⊕N = 4 СЯМ с калибровочной группой SU (N )52(3.13)• Предел сильной связи λ 1:В случае сильной связи D3-браны оказывают заметное влияние на геометрию и решив уравнение (3.11) мы получим АдС5 × S 5 форму пространства вблизи бран.
Переходя к пределу низкой энергии мы видимдва типа возбуждений. Первыми являются безмассовые моды, распространяющиеся вне «горловины» (аналог черной дыры, которую создаютN бран) r L где пространство-время практически плоское, которые немогут попасть в «горловину».
Это объясняется тем, что при низких энергиях моды имеют большую длину волны и не взаимодействуют с «горловиной». В работах [79, 80] показано, что сечение рассеяния для взаимодействия с D3 браной убывает с уменьшением частоты как σ ∼ ω 3 R8 .Второй тип возбуждений - струны живущие в «горловине» r L вАдС5 × S 5 геометрии. Эти возбуждения не могут покинуть эту областьи мы снова имеем расщепление, уже при сильной связи:SUGRA Типа IIB⊕(3.14)Теория струн Типа IIB в АдС5 × S 5Сравнивая два варианта расщепления теории при слабой (3.2.2) и сильной (3.14) связи мы видим, что в обоих картинах мы имеем сектор закрытых струн, распространяющихся в объеме (в низкоэнергетическом пределеявляется SUGRA Типа IIB). Возникает естественное предположение о существовании некоторой дуальности между оставшимися секторами в этих53двух энергетических пределах.
Впервые эта дуальность была сформулирована Малдасеной [76] и мы приведем ее в двух формах [81]:• Сильная формаСуществует абсолютно строгое соответствие между двумя теориями:N = 4 суперсимметричная SU(Nc )d=10 мерная теория струнтеория Янга-Миллса в d=4типа-IIB в пространствеАдС5 ×S5пространстве-времени.Полевая сторона этого соответствия (теория Янга-Миллса) описываетсятакими параметрами, как gY M - константа связи и Nc - число цветов.Вводиться еще константа ’т Хоофта λ = gY2 M Nc .
Струнная сторона соответствия характеризуется константой взаимодействия струн gs и ихотносительного размераLlsкоторый также связан с натяжением струны√следующим соотношением: ls = −a0 . Связаны эти параметры междусобой следующим образом:gY2 MgY2 M Nc= 2πgsL4= 42ls(3.15)и могут принимать произвольные значения. В такой форме дуальностьдоказать строго не получается.• Слабая формаВ этой форме рассматривается предел сильной связи для полевой теорииλ 1. Причем рост Nc → ∞ преобладает над убыванием gY M → 0.54Соотношение (3.15) дает нам следующее соответствие между теориями:Nc → ∞gs → 0λ→∞(3.16)ls → 0Получается слабосвязанная (gs → 0) классическая супергравитация(ls → 0). Значит возникает дуальность между теориями с сильной и слабой связью. Это ключевой момент для физики сильносвязанных систем(КХД на низких энергиях, высокотемпературная сверхпроводимость).Стоит отметить, что в слабой форме мы имеем дуальность между теориейполя с симметриями SO(2, 4)×SO(6) (конформная и суперсимметрия) которая дуальна классической супергравитации в пространстве АдС5 ×S5 с такойже группой пространственных изометрий («вращения» гиперболоида (3.3) исферы).
Так как КХД не обладает суперсимметрией, то окончательная формадля дуальности имеет следующий вид:SU(Nc ) теорияЯнга-Миллса в d=4d=5 мерная классическаягравитация в пространстве АдС5пространстве-времени.3.2.3Голографический словарьВ этой главе мы сформулируем основные правила гравитационно/калибровочного соответствия. Для того, чтобы обе теории (гравитационная и калибровочная) содержали одинаковую физическую информацию мы55должны задать равенство производящих функционалов [82]:4D5DZКТП[J] = ZКГ[ϕ]ϕ∂(АдС) =J(3.17)4D5Dгде ZКТП[J] и ZКГ[ϕ] производящие функционалы квантовой теории поляи квантовой гравитации соответственно. Значения поля ϕ на границе АдСпространства в теории квантовой гравитации приравниваются к значениямисточников J в конформной теории поля. В слабой форме этот же принципформулируется следующим образом:Z 4D [J] =5DeSграв [ϕ] (3.18)ϕ∂(АдС) =JКлючевой ингредиент всех моделей, полученных используя АдС/КТП соответствие, идентификация голографической координаты z в теории гравитации с масштабом энергии дуальной теории.Для установление других связей двух дуальных теорий, рассмотрим динамику полей в объеме АдС5 .
Для упрощения, рассмотрим случай массивногоскалярного поля ϕ(z, xµ ), которое дуально некоторому оператору O(xµ ) вКТП. Мы рассматриваем метрику АдС5 в координатах Пуанкаре (3.8). Длямассивного скалярного поля ϕ имеем следующее действие:ZS∼√dzdx4 g(∂A ϕ∂ B ϕ + m2 ϕ2 )(3.19)Уравнение движения имеет вид:∂z11 µ1 2∂ϕ+∂∂ϕ=mϕzµz3z3z556(3.20)Рассмотрим только моду, не зависящую от xµ :z 5 ∂z (z −3 ∂z ϕ) = m2 ϕ(3.21)ϕ(z) ∼ ϕ0 z ∆− + ϕ1 z ∆+(3.22)Его решениями являются:где ∆+,− большее и меньшее решение уравнения:m2 L2 = ∆(∆ − 4)(3.23)Стоит отметить, что в случае полей, отличных от скалярного, связь массы иразмерности следующая:m2 L2 = (∆ − p)(∆ + p − 4)(3.24)Здесь появилась p-форма оператора, которая равна полному угловому моменту J для данного оператора. Коэффициенты ϕ0 и ϕ1 отвечают двум линейнонезависимым решениям, первое из которых ϕ0 расходится на границе:Z√dzdx4 g|ϕ|2 = ∞(3.25)Если мы теперь учтем координаты xµ , и обозначим ∆ ≡ ∆+ (∆− = 4 − ∆соответственно) то решение на скалярное поле будет иметь вид [83]:ϕ(z, xµ ) ∼ z 4−∆ ϕ0 (xµ ) + O(z 2 ) + z ∆ ϕ1 (xµ ) + O(z 2 )57(3.26)В результате мы получили решение для скалярного поля, в котором есть трисвободных параметра: ϕ0 (xµ ), ϕ1 (xµ ) и ∆, а значит нашей задачей являетсяпридание им физического смысла в дуальной теории.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
