Диссертация (1150631), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Как и в прошлом Разд. 3.3 насбудет интересовать только векторные поля. В наших расчетах мы будем использовать аксиальную калибровку (3.38).Как и для модели «жесткой» стенки 3.3 мы рассматриваем действие длявекторного поля и получаем уравнение движения. Затем переходим к Фурьеобразам как в (3.41) , факторизуем (3.43) и в итоге получаем аналог уравнения (3.44):∂z e−B(z)∂z v(q, z) + q 2 e−B(z) v(q, z) = 0(3.50)где B(z) = Φ(z) − A(z). Сделав замену v = eB(z)/2 ψ получим уравнение типашрёдингеровского:1 0 2 1 00− ψ + (B ) − B ψ = M 2 ψ4200ДлявоспроизведенияB(z) = Φ(z) − A(z)|z→∞линейного=спектра(3.51)необходимочтобыa2 z 2 . Так же чтобы теория была кон-формно инвариантна в ультрафиолетовом пределе необходимо, чтобыB(z) = Φ(z) − A(z)|z→0 = ln z.
Выбор A(z) и Φ(z) такой [10]:Φ(z) = a2 z 2A(z) = − ln z66(3.52)При такой фиксации получаем уравнение:3− ψ 00 + a2 z 2 + 2 ψ = M 2 ψ4z(3.53)Собственные значения такого уравнения известны аналитически:Mn2 = 4a(n + 1)(3.54)Спектр (3.54) не зависит от 5-ти мерной константы связи g5 . Но константасвязи входит в выражение для константы электромагнитного распада√2|a|2Fn2 =g51[8](3.55)После расчета основного вклада в двухточечный коррелятор векторных токов, константу g5 можно зафиксировать, требуя совпадение с соответствующим результатом КХД [8, 9]:g523.512π 2=Nc(3.56)Модели для тяжелых кваркониевПриведенные модели «жесткой» и «мягкой» стенки активно применяются в адронной спектроскопии. Ряд работ [8, 9, 84] посвящен исследованиюнарушения киральной симметрии в КХД.
Частицы, которые исследуются спомощью АдС/КТП соответствия не ограничиваются легкими векторнымии аксиальными векторными мезонами со скрытым ароматом (ρ и a1 -мезоны)1В работе [8], константа F имеет размерность квадрата массы. Мы предпочитаем другую нормировку— F в уравнении не имеет размерность массы67[9, 10, 86].
Голографическое описание находят также и лёгкие изоскалярныемезоны a0 (980) и f0 (980) [87], гибридные экзотические мезоны J P C = 1−+такие как π1 (1400) [88]. В этих работах авторы находят спектры масс и константы распада частиц. В работе [89], в рамках модели с «жесткой» стенкойпредлагается описание глюбольных состояний.Работы [90, 91] посвящены описанию барионов в голографии.
Авторы используют модель «мягкой» стенки для описания нуклонов и ∆-резонансов.Результатом их деятельности стали спектры масс, ложащиеся на линейныетраектории Редже (L, M 2 ) с близкими по значению наклонами для нуклонов и ∆-резонансов. В работе [92], в рамках обобщения голографическогоописания адронов, рассчитывается мезон-нуклонное взаимодействие.Нас же интересует голографическое описание тяжелых кваркониев, поэтому мы упомянем некоторые попытки применить модель «мягкой стенки» дляописания чармония. Они могут быть разделены на модели со «сдвигом» [21]и модели с «растяжением» [20, 22]. Объясняя коротко, в моделях со «сдвигом», добавляется константа c2 к потенциалу из уравнения (3.53), котораяприводит к сдвигу спектра (3.54):Mn2 = 4|a|(n + 1) + c2(3.57)В моделях с «растяжением», масштабируется параметр наклона a в (3.54):a → a0 . Масса основного состояния ψ-мезона может быть получена подходящим выбором параметров c или a0 .
Но, как видно из Таб. 2, такие простыемодели оказываются неспособны корректно описать радиальные спектры возбуждений, потому как наклон и интерсепт должны расти одновременно с68возрастанием кварковой массы. В упомянутых работах это обстоятельство нерассматривается как недостаток, так как целью предложенных моделей было голографическое описание эффектов при конечной температуре для J/ψмезона.
Гораздо более сложная модель, предложенная в статье [19] нацеленана описание всей мезонной спектроскопии. Эту модель можно рассматриватькак «сдвинутую» из-за того, что она дает аналитическую величину сдвига c2в (3.57), как функцию кварковой массы и энергии связи при фиксированномнаклоне. Нашей целью будет построить другую модель, в которой и наклони энергия связи будут растущими функциями кварковой массы.3.6ВыводыВ разделе приведены основы АдС/КТП дуальности, даны основные связывающие соотношения. Также даны развернутые описания понятий, необходимых для использования голографического принципа.Были рассмотрены модели «жёсткой» и «мягкой» стенок, приведены ихрешения.69Глава 4Кварковые массы и мезонный спектр:голографический подход4.1ВведениеТак называемый «bottom-up» голографический подход для описания КХД[8, 9] оказался весьма плодотворным методом для теоретического исследования феноменологии сильных взаимодействий.
В нем начинают рассужденияс реальной КХД, а затем, применяя рецепты АдС/КТП соответствия, строятэффективную пятимерную модель для сильных взаимодействий. Изначально, данный подход применялся в спектроскопии легких мезонов (низкоэнергетическая физика, адронные формфакторы, эффекты, возникающие при конечной температуре, и другие приложения (см. [19, 93])). К удивлению, быломало попыток применить голографическое описание в секторе тяжелых кварков.
Целью настоящей работы является решение этой задачи для векторныхмезонов со скрытым ароматом.Наш выбор таких адронных состояний связан с наличием большого числа70экспериментальных данных о радиальном спектре [41]. Так как радиальныевозбуждения возникают естественным образом в 5-ти мерных голографических моделях — они отождествляются с Калуца—Клейновскими модами —то предсказания могут быть проверены феноменологически. К тому же, голографическое описание векторных мезонов относительно несложно [8, 9] ивыглядит наиболее естественным, когда начинается работа с сохраняющимися токами.Известно, что S-волновые векторные мезоны со скрытым ароматом рождаются в большом количестве в процессе e+ e− аннигиляции.
Предполагается, что механизм образования резонансов в таком процессе одинаков на всехэнергетических масштабах. Мы считаем, что в релятивистской картине1 формирования массы, вклад, возникающий за счет глюонного взаимодействия, независит от аромата кварков. Приближенную величину этой добавки можнополучить из спектра ω-мезонов (положив mu,d = 0). Другими словами, спектрвекторных мезонов со скрытым ароматом, зависит от кварковых масс, а вклады от остальных эффектов (в том числе и глюонного взаимодействия) задаюткоэффициенты в соответствующей формуле для массы адронов.Спектр состояний, который мы собираемся описывать, представлен в Таблице 1. На Рис. (2a) рис. (3a)–(3b) радиальных спектров прослеживаетсяуниверсальное реджевское поведение Mn2 ∼ n, где n - радиальное квантовое число.
Помимо этого поведения, присутствует единый для всех графиковэффект: основное состояние систематически оказывается ниже линейных траекторий. Вероятно, некий универсальный механизм ответственен за подобное1Ключевым моментом является работа именно с квадратом массы. Переходя к линейной массе (нерелятивистская картина) появится зависимость «энергии связи» от кваркового аромата.71поведение: похоже, эффект связан с минимальным сближением кварков в основном состоянии.На языке нерелятивистских потенциальных моделей это может означатьчто потенциал конфайнмента почти полностью разрушается на характерныхдля размера основного состояния масштабах, за счет кулоновского, спинспинового или другого взаимодействия. Нам не известно обсуждение этоговопроса в литературе, поэтому было решено убрать основное состояние израсчетов линейных траекторий, которые затем мы будем описывать в рамках голографического подхода.
Для описания экспериментальных данных используем линейный анзатц (2.1):Mn2 = a(n + b),который дает результаты, приведенные в Таблице 2. Наклон A и пересечениеB растут с увеличением кварковой массы, причем пересечение растет гораздобыстрее.Предвидя возможные вопросы, необходимо сделать некоторое пояснение.Обычно, приведенный выше реджевский закон (2.1) применяется для описания спектра легких мезонов, так как подобное поведение предсказываютквазиклассические модели КХД струн с безмассовыми кварками. Поэтому,удивительным фактом стало то, что линейный закон работает и для тяжелыхвекторных мезонов, причем их спектр подчиняется этому линейному закону сбольшей степенью точности, чем спектр легких мезонов.
В дополнение к этому, последние два состояния траектории на Рис. (2a) требуют уточнений, в товремя как состояния траекторий на Рис. ((3a)) и Рис. ((3b)) очень подробно72исследованы [41]. Руководствуясь этими замечаниями, мы считаем, что еслиданные по легким мезонам мотивировали нас использовать описание спектра вида (2.1), то данный анзатц может быть использован и для описаниятяжелых мезонов.Наша цель: используя голографический подход, найти функции a(m) иb(m) (m - масса кварка), предполагая, что спектр линеен (2.1).4.2Модель «без стенки»Данная модель иногда в литературе называется «бесстеночной».
В принципе, само дилатонное поле может быть формально (т.е., пренебрегая поверхностными членами) убрано из действия модели с «мягкой стенкой» (3.48)следующей заменой полей: AM → eϕ ÃM . Цена, которую придётся заплатитьза это упрощение - появление r-зависимого массового члена для ÃM . Однако,модель может быть переформулирована в калибровочно-инвариантном виде,если мы предположим, что этот член получается из конденсации некоторогоскалярного поля ψ [94]. В частности, стандартный выбор ϕ ∼ r−2 [10] приводит к (пятимерному расширению) полевой части действия с m2 = −4 [94].В такой «бесстеночной» модели предполагается что сначала конденсируетсяполе ψ, и только после этого извлекают феноменологию.Начнем с чистого АдС5 пространства и попробуем восстановить ультрафиолетовый вклад в 5-ти мерном лагранжиане, используя некоторые КХДоператоры [95].
В результате, полный вклад от этих операторов на отрезке 0 < z < ∞ может быть эффективно переписан как фон, зависящий отголографической координаты z. Это можно сделать определенным преобра73зованием 5-ти мерных полей [94]. Голографическое действие для модели безстенки определяется следующим выражением:ZS=()X1 2√|DXi |2 − m2i |Xi |2 − 2 FMd4x dz g,N4g5iНа ультрафиолетовой границе, z = 0, скалярные поля Xi отождествляются с источниками различных операторов КХД с каноническими размерностями i. Соответствующие 5-ти мерные массы определяются формулойm2i = i(i − 4) [82, 96]. Согласно предположению, поля Xi приобретают зависящие от z вакуумные средние hXi i, которые представляют x-независимыерешения уравнений движения:∂z1∂ z Xiz3m2i= 5 Xi ,z(4.1)со следующими условиями на УФ граниицу:hXi i|z=0 = 0(4.2)Затем мы получаем аналог уравнения (3.53) для векторных физических моди, как в предыдущем разделе, замена переменных позволяет привести этоуравнение к шредингеровской форме:− ∂z2 ψ +3+ 2g52 f (z) ψ = M 2 ψ,24zгде выражение74(4.3)f (z) =1 XhXi i22z i(4.4)определяет голографический «потенциал».Рассмотрим оператор размерности два, i = 2, а остальными пока пренебрежём.
Решение уравнения (4.1), удовлетворяющее граничным условиямдля Xi (z), имеет вид:(1)(2)hX2 i = C2 z 2 + C2 z 2 ln z(4.5)(2)Если положить C2 = 0, тогда уравнение (4.3) совпадет с (3.53). Таким образом, подобная бесстеночная модель выглядит эквивалентной модели с мягкойстенкой. Явным образом, данную эквивалентность можно показать, если переопределить векторное поле [94] (также см.
[19]).Отметим еще раз, что потенциал в уравнении (4.3) написан около границы АдС5 , z = 0, где, по предположению, правила голографического соответствия позволяют использовать данные из КХД. Для того, чтобы получить спектр масс, необходимо продолжить функцию f (z) в инфракраснуюобласть: z → ∞. Линейный спектр вида (3.54) может быть получен толькоесли:f (z)|z→∞ = a2 z 2 .(4.6)Тот факт, что ультрафиолетовая асимптотика 5-ти мерного поля, дуального оператору размерности два, автоматически обеспечивает корректное ИКповедение, является всего лишь совпадением, работающим для простейшей75модели с мягкой стенкой. В общем случае, данные асимптотики различны,даже для поля X2 (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
