Диссертация (1150631), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Граничное значение нашего поля ϕ0 (xµ ) мы отождествляем с источником дуального ему оператораO.Следующим шагом мы изложим основные идеи построения n-точечнойкорреляционной функции для конформной теории поля с помощью дуальнойгравитационной теории. Сделаем мы это на примере 1 и 2-точечных функцийдля скалярных полей. Начнем с определения производящего функционалачерез функциональный интеграл:ZZ[J] ≡DψeiS(ψ)+Jψ(3.27)Рассмотрим 2-точечную корреляционную функцию:RhO1 O2 i =DψO1 O2 eiS(ψ)RDψeiS(ψ)(3.28)Используя простые преобразования её можно переписать через производящий функционал.DψO1 O2 eiS(ψ)+J1 O1 +J2 O2 R=DφeiS(ψ)+JψJ1 ,J2 =0δ δ Z[J1 , J2 ] δ δ==Log(Z[J,J])12δJ1 δJ2 Z(0) δJ1 δJ2δ δhO1 O2 i =δJ1 δJ2RJ1 ,J2 =0(3.29)J1 ,J2 =0В итоге, согласно АдС/КТП предписанию (3.18), получаем:δ δhO1 O2 i =S[ϕ,ϕ]грав12 0 0δϕ01 δϕ02ϕ1 ,ϕ2 =058(3.30)Итак, мы получили рабочий инструмент для поиска корреляторов.
Для1-точечного коррелятора получаем [75, 81]:hOi =2∆ − dϕ1L(3.31)и тем самым мы определяем смысл постоянной ϕ1 , которая пропорциональная вакуумному среднему оператора.Следующем шагом становится рассмотрение 2-х частичной корреляционной функции [75, 81]:hO(x)O(y)i =1(x − y)2∆(3.32)Этот результат получается из конформной теории поля и в ней константа∆ имеет смысл конформной размерности оператора O(xµ ). После выяснениясвязей двух теорий, асимптотика для скалярного поля ϕ(z, xµ ) дуальногооператору O(xµ ) около границы (3.26) z → 0 принимает свой окончательныйвид:hO(x)iµϕ(z, xµ ) → z 4−∆ ϕ0 (xµ ) + O(z 2 ) + z i+ O(z 2 )2∆ − 4(3.33)где ϕ0 (xµ ) является источником, а hO(xµ )i обозначает конденсат оператораO(xµ ) конформной размерности ∆.
В КХД (1.4) масса кварков m являетсяисточником оператора q̄q.Рассмотренные правила, по которым мы сопоставляем объекты из однойтеории величинам из другой можно занести в некоторую таблицу, котораяназывается «АдС/КТП словарь» [81]. Пример такого словаря изображен вТаб. 10.59Таблица 10: Словарь АдС/КТП соответствия4D Квантовая теория поля (КХД) 5D Классические теория гравитацииОператор O(xµ )Поле ϕ(xµ , z)Скейлинговая размерность ∆OМасса поля mϕИсточник оператораЗначение поля на границеJ(xµ )Конденсатϕ(xµ , z)|∂AdSЗначения импулься на границеhOiПроизводящий функционалΠ(xµ , z)|∂AdSДействиеS d+1 [ϕ(xµ , z)]∂AdSLn[Z d (J)]3.3Модель «жесткой стенки»Впервые модель «жёсткой стенки» была представлена и изучена в работах [8, 9, 84]. В модели, помимо спектра, воспроизводиться нарушение киральной симметрии, поэтому компонентами модели являются левые и правые векторные поля из группы SU (2)L × SU (2)R (рассматриваем только uи d кварки), а также скалярное поле, нарушающее эту симметрию.
Соответствие операторов и полей, а также, массы вычисленные согласно (3.24)занесены в Таб. 11.Таблица 11: Соответствие операторов/полей.4D: O(x)q̄L γµ ta qLq̄R γµ ta qRq̄Rα qLβ5D: ϕ(x, z) pAaLµAaLµ(2/z)X αβ60110∆ m2533300-3Действие 5-ти мерной теории имеет следующий вид:S5 =Z√d4 xdz g T r1|DX|2 − m25 |X|2 − 2 (FL2 + FR2 )4g5(3.34)где g обозначает определитель метрики (3.8), DN X = ∂N X−iAL,N X+iXAR,N- длинная производная и FM N = ∂M AN − ∂N AM − i[AM , AN ] - напряжённостьполя.
Масса скалярного поля m25 = −3. Греческие буквы пробегают обычныеизмерения µ, ν = 0, 1, 2, 3, а заглавные латинские пробегают 5D размерностиM, N = 0, 1, 2, 3, 4, где четвертая координата есть z. След берется по матрицам ta = σ a /2 — генераторам группы SU (2). Индексы α, β = 1, 2 соответствуют u и d кваркам, а a = 1, 2, 3 соответствует присоединенному представлениюSU (2).Чтобы в теории не было расходимостей, добавляют инфракрасную границу zm , которая является параметром модели.
Таким образом у нас пространство ограничено по оси z двумя точками zU V = 0 и zIR = zm .В отсутствии векторного и аксиального поля получаем уравнение движения на скалярное поле X(x, z):L5L33X(x, z) = −∂z 3 ∂z X(z, x)z5z(3.35)Рассмотрим решение, которое зависит только от пятой координаты:11X0 (z) = C1 z + C2 z 322Согласно голографическому предписанию (3.33) C1 = M - матрица кварковых масс, то есть источник оператора q̄Rα qLβ , а C2 = Σ - матрица кварковых61конденсатов, то есть вакуумное ожидание величины q̄Rα qLβ . Если мы работаемв теории с Nf = 2, то есть рассматриваем только u и d кварки, то можно положить массы кварков одинаковыми и равными mq , тогда и значениеконденсатов для обоих кварковых полей будет одинаковым и равным σ:XM = mq 1,= σ1Теперь, когда у нас есть решение для скалярного поля, займемся калибровочными полями.
Имеем следующее действие:SV51= 24g5Z√d4 xdz g FM N F M N(3.36)Уравнение движения для поля V (x, z) выглядит следующим образом:∂MRMM0 NN0FM 0 N 0 ηη=0z(3.37)где η = diag(1, −1, −1, −1, −1) метрика пространства Минковского. Далеелинеаризуем уравнение и учтя аксиальное калибровочное условие [8] и рассмотрев только поперечную полевую компоненту:Vz = 0,∂ µ Vµ = 0(3.38)получаем уравнение:110000(∂α ∂µ0 VN 0 η αµ − ∂N 0 ∂α Vµ0 η αµ )η BN + ∂z (∂z VN 0 − ∂N 0 Vz ) η zz η N N = 0|{z}zz| {z }(3.39)0∂µ0 Vµ0 =0Уберем штрихи и обозначив ∂α ∂µ η αµ = ∂02 − ∂12 − ∂22 − ∂32 = ∆ получим62окончательный вид уравнения движения для поля V (x, z):11∆Vν − ∂z ∂z Vν = 0zz(3.40)Для решения этого уравнения нужно перейти в импульсной представлениепо координатам (t, x1 , x2 , x3 ).11∆z (2π)4Zd4 qeiqx Veν (q, z) − ∂z11∂zz (2π)4Zd4 qeiqx Veν (q, z) = 0(3.41)Зануляя подынтегральное выражение и убираем волну получаем уравнение:1q2− Vν (q, z) − ∂z ∂z Vν (q, z) = 0zz(3.42)Делаем предположение, что поле можно факторизовать следующим образом:Vν (q, z) = V0ν (q)v(q, z) гдеv(q, z)|z=0 = 1(3.43)Тогда получаем уравнение на функцию v(q, z):1q2− v(q, z) − ∂z ∂z v(q, z) = 0zz(3.44)И находим решение уравнения (3.44) через специальные функции:v(q, z) = f1 z J1 (qz) + f2 z Y1 (qz)(3.45)где J1 (qz) - функция Бесселя первого рода, Y1 (qz) - функция Бесселя второгорода (иногда называются функциями Неймана).
Теперь, чтобы зафиксировать константы f1 , f2 воспользуемся:631. Условием на ультрафиолетовой границе (3.43):2. Условием на инфракрасной границе:v(q, z)|z=0 = 1∂z v(q, z)|z=zm = 0а также вспомнив асимптотики функций Бесселя:Jα (x)|z→0 x α1,=Γ(α + 1) 2Yα (x)|z→0Γ(α)=−π α2x(3.46)Из первого условия получим f2 = 0. Чтобы разрешить второе условие, нужновспомнить формулу для дифференцирования функции Бесселя первого рода.d ν[z Jν (αz)] = αz ν Jν−1 (αz)dzВоспользовавшись этой формулой получим соотношение на константу f1 :f1 J0 (qzm ) = 0Которое дает ограничение на вид спектра:qn zm = Zn (J0 )где Zn (J0 ) - нули функции Бесселя и n = 1, 2, ..., а так как эти нули ведут себялинейным образом и для частиц на массовой поверхности имеем q 2 = M 2 , товерно:Mn2 ∼ n2(3.47)Cпектр (3.47) достаточно хорошо описывает радиальные возбужденныесостояния ρ - мезона, несмотря на несовпадающее с реджевским (2.1) поведением, получаемым из других моделей.
Модель, помимо спектра ρ мезона,64предсказывает значения Mπ , Ma1 , fπ , Fρ и Fa1 . Выбор mq = 2.29 МэВ иσ = (327 МэВ)3 [8], который не так уж сильно отличается от результатов, полученных из киральной теории возмущений и ИТЕФ-их правил сумм, даётзначения всех этих физических констант достаточно близких к экспериментальным.3.4Модель «мягкой стенки»Для получения линейных траекторий Редже была предложена модель«мягкой стенки», которая отличалась от модели с «жёсткой» стенкой тем,что ИК обрезание происходит не жесткой границей zIR = zm , а добавлениемдилатонного фона Φ(z) в действие.
Простейшая модель с мягкой стенкой [10],описывающая векторные мезоны со скрытым ароматом, задается следующимдействием:5S =Z4−Φ(z) √d xdzeg Tr2|DX| −m25 |X|2122− 2 (FL + FR )4g5(3.48)Действие и обозначения в нем практически идентичны модели с «жесткой»стенкой (3.34) за нескольким нововведениями. Появился член e−Φ(z) которыйвозникает в супергравитации типа IIB вместе с гравитоном, как низкоэнергетический предел одной из мод колебаний закрытой струны [75, 85].
Значениеполя задает величину гравитационной постоянной Ньютона и оказываетсяпостоянной на D3-бране. Геометрия тоже другая и уже не рассматриваем65метрику (3.8). Новая имеет следующую форму:ds2 = e2A(z) (−dt2 + dxi dxi + dz 2 )(3.49)Теперь мы имеем две функции: Φ(z) и A(z), с помощью которых мы можем менять вид спектра векторных частиц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
