Диссертация (1150631), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Приложение А). На самом деле, сумма в (4.4) можетдать асимптотику (4.6) даже в отсутствии оператора размерности два. Но всевыглядит, как если бы оператор размерности два был бы дуален сумме (4.4)в инфракрасной области: неважно, рассмотрим мы только этот оператор ипренебрежем остальными или будем иметь дело со всей суммой (4.4) и учитывать асимптотику (4.6). Напомним, что оператор размерности два можетбыть построен в КХД — это калибровочно неинвариантный оператор, построенный из двух глюонных полей, Aµ Aµ .
Его вакуумное среднее значение(конденсат) hAµ Aµ i обычно служит (в калибровке Ландау, где он минимален)для параметризации некоторых важных непертурбативных эффектов [97,98].В литературе можно найти рассуждения [99], показывающие, что hAµ Aµ i получается из пересуммирования пертурбативных поправок к единичному оператору в операторном разложении корреляционных функций [100], то естьприходиться работать либо с бесконечными суммами этих поправок либо сhAµ Aµ i.
В некотором смысле, до этого мы обсуждали некоторый аналог этоговыбора в голографическом подходе.Нашей задачей является получение формы зависимости линейного спектра от массы кварков. Такая зависимость может возникнуть только из конденсата hX3 i, так как поле X3 дуально кварковому оператору q̄q. Масса кварка получается из решения классического уравнения движения для скалярного поля Φ (3.26), где масса кварка m является источником для оператораq̄q.Для операторов с канонической размерностью i = 3, решения урав-76нения (4.1), удовлетворяющие граничным условиям, являются функциями(1)(2)hX3 i = C3 z + C3 z 3 .
В соответствии с предписанием (3.26), это решениеможет быть переписано в терминах физических величин. В случае нулевогоизоспина, решение имеет следующий вид:hX3 i = ξmz +σ 3z ,2ξ(4.7)где σ обозначает кварковый конденсат, hq̄qi и нормирующий множитель ξбыли сосчитаны в работе [101],ξ2 =Nc.4π 2(4.8)Если мы учтем поле X3 и пренебрежем всеми остальными скалярными полями, действие этой модели совпадет с действием первых «bottom-up» моделей [8,9] для векторного сектора.
Обычно поле X3 используется для описаниенарушения киральной симметрии в КХД. Этот эффект важен для аксиальных векторных частиц, которые мы не рассматриваем. В нашем случае, полеX3 необходимо нам для получения закона зависимости векторного спектраот токовой кварковой массы.Соотношение (4.7) позволяет однозначно получить m-зависимые членыв (4.4), f (z) → ξ 2 m2 + mσz 2 + f˜(z), где вкладσ2 64ξ 2 zпереходит в новую суммуf˜(z). Для того, чтобы воспроизвести реджевскую форму спектра, первые двачлена ИК асимптотики f˜(z) должны иметь форму:˜f (z)z→∞= a2 z 2 + δ77(4.9)Если бы мы знали все коэффициенты в ультрафиолетовом разложенииf˜(z), то суммирование дало бы нам строго определенную функцию с ИКасимптотикой (4.9), для которой бы воспользовались упрощением: функцияf˜(z) заменяется ее ИК асимптотикой (4.9).
УФ асимптотика голографического потенциала в (4.3) регулируется первым членом:34z 2 .Асимптотическоеповедение в ультрафиолетовой области и на средних z функции f˜(z) можнозаменить константой δ в (4.9).Таким образом, мы получаем следующее уравнение на спектр масс:3− ∂z2 ψn ++ 2g52 (σm + a2 )z 2 + 2g52 ξ 2 m2 + 2g52 δ ψn = Mn2 ψn .24z(4.10)Множитель перед z 2 в (4.10) определяет наклон линейной траектории. Онсостоит из двух частей, одна из которых зависит от кварковой массы.
Такоеописание согласуется с правилами сумм в КХД [100, 102] в пределе большогочисла цветов Nc [43,44]. В нем наклон определяется конденсатами 4-х мерныхоператоров. Операторное разложение содержит два таких вакуумных средних: mhq̄qi иαs 2π Gµν(глюонный конденсат). Для легких мезонов глюонныйконденсат доминирует, в то время как для тяжелых — наоборот.Спектр, получающийся из уравнения (4.10):Mn2p√= 4 2 g5 σm + a2 (n + 1) + 2g52 ξ 2 m2 + 2g52 δ(4.11)В этом выражении видна параметрическая зависимость линейного спектраот кварковой массы m. После замены констант, спектр (4.11) может быть78записан в следующем виде:Mn2p= α + βm(n + 1) + γm2 + δВеличину γ можно получить из соотношения g52 =γ = 2g52 ξ 2 = 6.12π 2Nc(4.12)и (4.8), (4.11):(4.13)Следует отметить, что соотношение на массу (4.12) получено в рамках целогокласса голографических моделей.
Сейчас мы привели лишь одну конкретнуюмодель из этого класса. Пример другой модели будет приведена чуть ниже вРазделе 4.4.В следующем разделе мы воспользуемся значением этой константы дляфеноменологических оценок.4.3ФеноменологияВ пределе m → 0, параметры α и δ в спектре (4.12) могут быть найдены из√траекторий ω-мезона (Таблица 4), α ≈ 1 ГэВ2 , δ ≈ 0. Оставшийся параметрβ и кварковую массу можно оценить из фитирования в Таблице 4. Траектория для чармония дает значения β ≈ 7 ГэВ3 , mc ≈ 1.1 ГэВ. Для боттомонияβ ≈ 8 ГэВ3 , mb ≈ 3.9 ГэВ. На масштабе 2 ГэВ, «Particle Data Group» приводит величины для токовых кварковых масс в схеме минимальных вычитаний:mc = 1.27 ГэВ, mb = 4.18 ГэВ [41]. Масса b-кварка должна быть ниже этой величины, так как масштаб энергии для возбужденного ботомония около 5 ГэВна кварк.
Ренормгрупповой бег кварковых масс [41] предсказывает (на уровне79одной петли), что mb следует уменьшить в 1.2 раз. Общая согласованность сэкспериментальными данными, в любом случае, неплохая: предсказанная величина параметра γ (4.13) — величина, описывающая зависимость квадратамассы мезона от m2 — оказывается очень близка к феноменологическому значению. Попытка описать весь набор экспериментальных данных привела наск следующей оценке: 5 < γ < 7, которая зависит от различных допущений иэкспериментальных значений.Рассмотрим предел m → 0 аналитически. Соотношение на массы (4.11)дает линейные по m поправки к наклону:√4 2 g5p√√2 g52σm + O(m2 ).σm + a2 = 4 2 g5 a +a(4.14)Если линейную форму спектра при m = 0 сопоставить с результатами правил сумм КХД при больших Nc (планарные правила сумм), мы получимнаклон [43, 44]:√48π 2 24 2 g5 a =fπ = 2m2ρ ,Nc(4.15)где fπ = 92.4 MeV [41] — пионная константа распада, а mρ обозначает ρмезонную или ω-мезонную массуВ разложении (4.14) воспользуемся2 выражением (4.15) и получим наклон:p√48π 2 2 4σmfπ + 2 + O(m2 ) = 2m2ρ − 2m2π + O(m2 ), (4.16)4 2 g5 σm + a2 =Ncfπ2Можно воспользоваться соотношением Fρ2 = 2fπ2 , которое также получается из планарных правилсумм для КХД [43, 44].
Применив это равенство в Fn2 =80√2 2|a|g5 ,получим тот же результат.здесьмыприменилисоотношениеГелл-Манна–Оакеса–Реннераm2π fπ2 = −2mσ. Дуальные амплитуды типа Венециано [103, 104] предсказывают те же поправки (4.16) в наклон, когда мы берем в расчет пионнуюмассу. Таким образом, наша голографическая модель прошла еще однупроверку.Полученный результат (4.12) дает нам растущую линейно, вместе с кварковой массой, энергию связи E (которая получается из нерелятивистских потенциальных моделей) в пределе тяжелых кварков. Это следует из выражения (4.13) (где γ > 4). Такое поведение находится в качественном согласии сэкспериментальными данными [41].
Например, в случае основного состояния,можно получить Mψ − 2mc ≈ 0.56 ГэВ и MΥ − 2mb ≈ 1.1 ГэВ если mc,b взятына масштабе 2 ГэВ (взяв mb при 5 ГэВ получим MΥ − 2mb ≈ 2.5 ГэВ). Данный эффект можно легко объяснить: кинетическая энергияmv 22рожденногонерелятивистского кварка должна быть компенсирована энергией связи.4.4Калибровочно неинвариантный примерСоотношение масс (4.11) (или (4.12)) не является результатом конкретноймодели, а скорее оно получается из класса голографических моделей. Внутриэтого класса, разница в финальном выражении для спектра масс сравнима(или даже превышает) точность метода, поэтому полученные предсказанияможно считать эквивалентными. Этот класс может быть расширен, если мыне накладываем условия калибровочной инвариантности на в 5-ти измерениях и рассматриваем выражение (3.38) как часть определения 4-ох мерныхфизических мод.
Тогда становиться легко построить подобную модель, где81сумма f (z) (4.4) содержит конечное число членов. Это эквивалентно рассмотрению только нескольких операторов наименьших размерностей в операторном разложении [100] для подсчета адронных масс (стандартное приближение в правилах сумм КХД [100, 102]). В этом разделе мы представимтипичный пример для такого типа моделей.Действие модели дается выражением:ZS=√d4x dz g {LV + LS + Lint }(4.17)где действия для векторного, скалярных полей и их взаимодействия данывыражениями:LV = −1FM N F M N ,24g5F M N = ∂ M VN − ∂ N VM ;(4.18)31X∂M ϕk ∂ M ϕk − m2i ϕ2k ;LS =2(4.19)1Lint = VM V M g1 ϕ1 + g2 ϕ22 + g3 ϕ3 .2(4.20)k=1Мы рассмотрим следующее соответствие между 5-ти мерными полями и4-х мерными операторами в КХД:ϕ1 ←→ G2µν ,ϕ2 ←→ q̄q,ϕ3 ←→ (q̄q)2(4.21)Канонические размерности операторов в (4.21) следующие:i1 = 4,i2 = 3,82i3 = 6(4.22)которые, в соответствии с (3.23) задают массы полей:m21 = 0,m22 = −3,m23 = 12(4.23)Решения уравнений (4.1) для полей, удовлетворяющие граничному условию (4.2) имеют вид:ϕ1 (z) = C1 z 4 ,ϕ2 (z) = C21 z + C22 z 3 ,ϕ3 (z) = C3 z 6(4.24)Записывая ϕ2 в форме (4.7) мы приходим к следующему, зависящему от zкоординаты, массовому члену векторного поля:m2V (z) = g52 2σg2 ξ 2 m2 z 2 + (g1 C1 + g2 σm)z 4 + g22 2 + g3 C3 z 6 .4ξ(4.25)Затем мы получаем уравнение в шрёдингеровской форме, аналогичное уравнению (4.1):23m− ∂z2 ψn ++ 2V ψn = Mn2 ψn24zz(4.26)Для того, чтобы воспроизвести линейный спектр следует занулить коэффициенты при z 6 в m2V (z) (4.25).
После этого «потенциал» уравнения (4.26)можно параметризовать следующим образом:U (z) =31+(α + βm)z 2 + γm224z4Эта параметризация дает нам спектр в форме (4.12) c δ = 0.83(4.27)4.5ВыводыВ существующих «bottom-up» голографических моделях, наклон A и пересечение B линейных траекторий не зависят от массы кварка. Нам удалось построить модель, в которой величины A и B представлены растущимифункциями кварковой массы. Модель выдерживает ряд феноменологическихтестов.В пределе тяжелого кварка, поведение вышеупомянутых функций выгля√√дит следующим образом: A ∼ m, B = γm2 + O( m), где m — масса кварков, составляющих векторные мезоны со скрытым ароматом. Пересечениерастет существенно быстрее, чем наклон.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
