Диссертация (1150631), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Экспериментальные данныевзяты из Табл. 1. Кружки отвечают за состояния ψ(4361) и ψ(4634), недавнополученные коллаборацией «Belle» [57, 58].Таблица 2: Радиальные Редже траектории (2.1) (в ГэВ) для Рис. (2a), (2b), (3a)и Рис. (3b).Mn2Mω2Mϕ2Mψ2MΥ2Фит I1.03(n + 0.74)1.19(n + 1.07)3.26(n + 3.03)6.86(n + 11.37)Фит II0.95(n + 1.04)0.95(n + 1.96)2.98(n + 3.53)5.75(n + 16.54)Mn2 = a(n + b)(2.1)которое очень похоже на то, которое наблюдается для легких нестранныхмезонов [40,42]. Однако, фитируемые наклон a и интерсепт b гораздо большечем в случае легких мезонов [40, 42] (см.
Табл. 2).Для интерсепта, полученный результат выглядит естественно, но наклонпропорционален натяжению адронной струны (или энергии на единицу длинны для потенциальных моделей с линейным потенциалом, описывающим конфайнмент), которое должно быть приблизительно равно 1 ГэВ2 .Ниже, мы приведем мотивацию линейной параметризации спектра векторных мезонов со скрытым ароматом универсальными параметрами a и b.26Единственным переменным параметром будет являться масса кварков.2.3Адронные струны.Для лучшего понимания соотношения (2.1), его полезно вывести из струноподобных моделей.
Таких моделей в литературе достаточно много, поэтому мы воспользуемся основными приемами в некой упрощенной форме. Безмассовую пару кварк—антикварк можно описать, как кварки, двигающиесявместе, и натянутое между ними хромоэлектрическое поле в виде струны.Энергия системы (масса мезона) вычисляется так:M = 2p + σr(2.2)где p обозначает импульс кварка, r -расстояние между кварком и антикварком, а σ является постоянным натяжением струны. Предполагается также,что кварки совершают колебательные движения внутри полевой трубки, поэтому мы можем проквантовать их с помощью полуклассических условийБора—Зомерфельда:Zlpdr = π(n + b),n = 0, 1, 2, .
. . .(2.3)0Здесь l - максимальное расстояние разлета пары кварк—антикварк, а константа b зависит от граничных условий. Подставляя импульс p из (2.2) в (2.3)и используя определение σ = M/l получаем спектр мезонов:Mn2 = 4πσ(n + b)27(2.4)который имеет форму (2.1).Массивный кварк вводиться путем замены:p→pp2 + m2 .(2.5)Если мы сделаем замену (2.5) в нашей упрощенной модели (для двух кварководинаковой массы m), то мы получим:pMn −Mn Mn2 − 4m2 + 4m2 lnpMn2 − 4m2= 4πσ(n + b).2m(2.6)В релятивистском пределе Mn m, соотношение (2.6) упрощается до (2.4),а в нерелятивистском случае Mn − 2m 2m, соотношение (2.6) дает спектр2линейно растущего потенциала: Mn ∼ n 3 .
В общем случае полиномиально2αрастущего потенциала V ∼ rα (α > 0) мы получим спектр Mn ∼ n α+2 придостаточно больших n [59]. Спектр ψ и Υ-мезонов нельзя фитировать законом (2.6) с универсальными параметрами σ и b из-за сильной нелинейностина типичных массах тяжелых кварков. Эта нелинейность возникает из подстановки (2.5), которую часто используют в струноподобных [1, 13, 60, 61] иполурелятивистских потенциальных моделях [3–5, 11, 12, 39, 62], а также вмоделях основанных на уравнении Бете–Солпитера [7, 36, 63]. Во всех этихмоделях наблюдается возникновение нелинейности при больших m, хотя сама форма нелинейности оказывается модельно зависима. В сущности, кваркирассматриваются как почти свободные частицы на массовой поверхности. Если же мы хотим иметь реджевское поведение спектра для любых кварковыхмасс, нам не следует использовать подстановку (2.5).28Таблица 3: Разницы масс ∆i = Mi − M0 в МэВ, где i = 1, 2, ...
отвечает за номеррадиального возбуждения.∆1ω 642 ± 25ϕ 660 ± 20ψ589Υ563∆2∆3887 ± 30 1177 ± 25—1155 ± 15942 ± 1 1324 ± 48951119 ± 1∆41422 ± 30——1416 ± 8Следующим шагом в рассмотрении радиального спектра возбуждений является изучение следующей разности ∆i = Mi − M0 между массой основногосостояния M0 и массой i-го радиально возбужденного состояния Mi . Эти разности приведены в Таб. 3 из которой видно, что величины ∆i практическине зависят от сорта кварков. Можно сказать, что мы имеем нерелятивистскую универсальность, так как мы имеем дело с самими массами, а не сих квадратами. Такая универсальность кажется нарушенной для сильно возбужденных ψ-мезонов, по причине смешивания экспериментальных данныхS и D-волновых состояний.
Это смешивание происходит в результате релятивистских эффектов и сдвига масс [64,65]. Нерелятивистская универсальностьприводит к тому, что масса векторных мезонов со скрытым ароматом даетсясоотношением:Mn = 2m + En(2.7)где En универсальная энергия возбуждения, а m является константой, отвечающей за аромат кварка. Далее будет показано, что эту константу, с хорошей точностью, можно интерпретировать как кварковую массу. Существование релятивистской универсальности предполагает, что En можно получить29из релятивистской теории, а значит En2 ∼ n. Поэтому соотношение (2.7) отличается от предсказаний потенциальных моделей, как релятивистских, так инерелятивистских. На основе данных из Таб.
3 мы предполагаем следующийанзатц:(Mn − 2m)2 = a(n + b)(2.8)Такой анзатц получается из простой струнной модели. Основная идеязаключается в том, что кварк—антикварковую пару образующую резонансможно рассматривать как радиально статичную систему. Связь осуществляется за счет обмена некоторой безмассовой частицей (например пионом илиглюоном).
А затем мы квантуем движение этой частицы (следует отличатьэто квантование, от квантования радиального движения кварков, как это делается в стандартных подходах к моделям адронных струн). Выражение дляполной энергии (массы) (2.2) заменяется на:M = m1 + m2 + p + σr.(2.9)Где p - импульс частицы, переносчика взаимодействия, m1 и m2 - кварковыемассы (m1 = m2 ≡ m для мезонов со скрытым ароматом), r - расстояние накоторое разнесены кварки. Применим условия квантования (2.3) для частицыпереносчика:Zrpdr = π(n + b),n = 0, 1, 2, .
. .(2.10)0В точках поворота p = 0 легко найти расстояние между кварками:r = (M − 2m)/σ. В результате получаем соотношение на массы (2.8), где30наклон a = 2πσ совпадает с наклоном вращающейся струны Намбу [66].Таким образом, полученная модель радиально статичной мезонной струныможет объяснить сильное вырождение M 2 ∼ J + n, обсуждаемое в Введении 2.1. Более важное свойство модели для нас, это реджевское поведениеспектра (2.1) с универсальными параметрами a = 2πσ и b.
Единственныйпараметр, который меняется - это кварковая масса m. В следующей частинайдем величины свободных параметров из экспериментальных данных.2.4Фитирование данныхНаш основной результат (2.8) был выведен в пределе большого числа цветов Nc в КХД. Это выражение предсказывает бесконечное количество возбужденных состояний, как и следует из предела большого Nc . В реальноммире Nc = 3 и адронная струна ломается в некоторой точке (при достаточно больших радиальных числах), поэтому, соотношение (2.8) должно иметьнекоторые ограничения.
Получение отклонения от этого предела являетсясложной задачей. Тем не менее мы можем предположить его качественнуюоценку. Возникновение непрерывного спектра можно связать с точкой, в которой полная ширина соседних резонансов перекрывается почти полностью.Давайте будем пользоваться следующим критерием: если при некотором номере возбужденного состояния k полуширина сравнима с разницей масс между k-ым и (k + 1)-ым состоянием:Γk /2 ≈ppa(k + 1 + b) − a(k + b),31(2.11)тогда (k + 1)-ое состояние считается неотличимым от непрерывного спектра(HWR rule). Полная ширина распада (обратное время жизни) пропорционально вероятности создания дополнительной кварк—антикварковой пары вструне, которая, в свою очередь, пропорциональна длине струны l.
А так как lпропорциональна массе мезона в этой схеме, Mk = σlk , то мы заключаем [67]:Γk = ckpa(k + b).(2.12)Среднее эмпирическое значение константы ck для возбужденных легких нестранных мезонов: c ≡ hck i ≈ 0.1 [68]. Подставив (2.12) в (2.11) и учтя тольколинейный по c член (приняли c за малый параметр) получим оценку:k ≈ [1/c − b],(2.13)где квадратные скобки означают целую часть.
Так как c = O(1/Nc ), то количество наблюдаемых резонансов равно O(Nc ). Для легких векторных состояний, константа c лежит в интервале c = 0.1−0.2, в то время как 0 . b . 1 (см.например фит I в Таблице 4). Количество радиально возбужденных состояний описанных соотношением (2.8) варьируется от k = 4 (пессимистично) доk = 9 (оптимистично).После этого пояснения, пора протестировать соотношение (2.8) используя доступные экспериментальные данные. Естественная проблема, возникающая на этом шаге - это выбор данных. В нашем случае — какие состоянияследует выбрать как надежные S-волновые векторные резонансы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
