Диссертация (1150536), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Расчет матричных коэффициентов состоит из двух основных этапов: определения пути пролета фотона, и расчета ядра () для каждой пары ячеек.Для расчета путей фотонов и учета пересеченных вокселей применяется алгоритм трассировки [173]. Данный этап является весьма затратным с вычислительной точки зрения, поскольку количество возможных пар элементовсоставляет 2 , а задача трехмерна. С целью оптимизации, алгоритм трассировки был модифицирован для параллельных вычислений с использованиемграфического процессора (GPU). GPU может обрабатывать до нескольких50Подготовка геометрии1.
Вычисление исходного объёма V2. Вокселизация на основе ndimИнициализация1. Построение массива пар элементов2. Входные параметры - κ0, εν , A, VРасчет матричных элементов1. Определение размера подмассива Zдля параллельных вычисленийЦикл по подмассивам2. Построение (r,r’)-подмассива3. GPU: Алгоритм трассировки4. CPU: Расчет ядра оператора5. Сохранение коэффициентов6. Сбор коэффициентов в единую матрицуРешение линейной системы1. Ввод источников возбуждения W2. CPU: Решение системы Ax = WРисунок 2.12: Алгоритм численного решения задачи.тысяч параллельных потоков, каждый из которых способен выполнять операции только над скалярами. В каждый поток загружается по одной (,′ )-паре.Число воксельных пар, обрабатываемых единовременно (массив размера), ограничено оперативной памятью графической карты.
В данной работеиспользовалась карта NVIDIA Tesla K40 12 GB. После расчета расстояний,массив размера передается в основную оперативную память, и на обычномпроцессоре (CPU) производится итоговый расчет коэффициентов матрицы.Затем цикл повторяется для следующего массива размера . По окончаниицикла из полученных данных строится финальная матрица.4.
На последнем этапе задается желаемая форма источников возбуждения ипроизводится решение линейной системы уравнений. На данной стадииматрица переноса может быть включена в более сложную столкновительнорадиационную модель, где уравнение Холстейна-Бибермана будет решатьсясовместно с уравнениями баланса для других компонент плазмы.Схема на Рис.
2.12 дает краткое описание приведенного выше алгоритма.51(a)L = 2R(b)SourceРисунок 2.13: () Схема геометрии конечного цилиндра, () пространственныераспределения плотности резонансных атомов в случае -образного источникавозбуждения в центре. Сетка - метод трассировки лучей, закрашенная поверхность- матричный метод с симметричными конечными объёмами.2.3.4Верификация методаДля верификации разработанного подхода необходимо провести сравнение срезультатами матричного метода.
Поскольку метод трассировки лучей подходитдля описания только конечных объектов, для тестовой задачи был выбран конечный цилиндр длины равной диаметру ( = 2 = 1) c -образным источникомвозбуждения в центре объёма (Рис. 2.13a). Получение матричных коэффициентовдля 2D-симметрии выполнялось ранее в работе [172]. Коэффициент поглощенияпредполагался равным 0 = 106 см−1 , и использовалась асимптотика лоренцевского контура, поскольку решалась задача о пленении резонансного излучения.
Засчет учета угловой симметрии размерность матрицы была 2dim с размером сеткиdim × dim = 119 × 60. Аналогичная задача решается методом трассировки безпредположения об асимптотике. Итоговая линейная система имеет размерностьпорядка 3dim , где характерный размер сетки dim = 45. На Рис. 2.13b приведеныпространственные распределения нормированных концентраций резонансныхатомов, рассчитанные двумя методами. Сравнение показывает хорошее согласие.Единственным источником различий может служить разрешение сетки в методетрассировки.Для того, чтобы проверить сходимость задачи, неоходимо проанализироватьзависимость решения от размера сетки.
В предыдущем матричном методе точность52(a )-2(b )-11 0-21 0-31 0-41 0-5= 0 .8 )/N (0 )N /N (0 )1 01 000 .0nd im= 2 1nd im= 3 1nd im= 4 1nd im= 4 50 .2N (r/R1 00 .40 .60 .8r/R1 .01 0-31 0-4r = 0 .4 Rr = 0 .6 R1 0-51 0-6r = 0 .8 R2 03 04 05 06 0n7 08 09 01 0 0d imРисунок 2.14: Проверка сходимости: () радиальные профили концентраций, рассчитанные на сетках с разным пространственным разрешением, () относительныезначения концентраций как функции dim в различных радиальных позициях. Точки - рассчитанные концентрации, линии - экстраполяция.решения определялась оптической плотностью ячейки 0 Δ, которая должна былабыть достаточно высокой для выполнения асимптотического приближения. Какбыло показано ранее, матричный метод также может использоваться для произвольного контура линии (Рис.2.4). В методе трассировки точность определяетсялишь разрешением сетки dim . Радиальные профили заселенностей, рассчитанные на сетках с разным числом элементов, приведены на Рис.
2.14a. Зависимостизаселенностей от dim и экстраполяционные кривые показаны на Рис. 2.14b длятрех радиальных позиций. Решение, в итоге, сходится в области dim = 70. Однако,столь высокое разрешение сетки приводит к весьма долгому времени расчета,(︀)︀поскольку алгоритмическая сложность данной задачи порядка 6dim . Такимобразом, разрешение порядка dim = 40 представляется компромиссным с точкизрения баланса время/точность.
В будущих исследованиях представляет интереспоиск пути снижения алгоритмической сложности и увеличение разрешения сеткибез значительного роста требуемых вычислительных мощностей.2.3.5Примеры решенияОсновным достоинством представленного метода является возможность решения уравнения переноса излучения в плазме произвольной трехмерной геометрии.В качестве примеров нетривиальной геометрии были выбраны форма, повторяющая контур свободно горящей дуги [109, 175] и коаксиальные цилиндры магне-53(b)(a)CathodeArc PlasmaAnode(c)Рисунок 2.15: () Схематичное изображение свободно горящей дуги. () Решениев случае = 41, 0 = 106 .
() Источник возбуждения (красная линия) ираспределение плотности в плоскости (,).тронного разряда [176, 177]. Размер сетки в обоих случаях dim = 41, коэффициентпоглощения 0 = 106 см−1 , рассматривается задача о резонансном переходе. НаРис.2.15a схематично изображена свободно горящая дуга типичной формы. Рис.2.15b демонстрирует решение уравнения Холстейна-Бибермана в указанной геометрии. Здесь - длина вдоль оси вращения, - радиус наиболее широкой частиколокола, при этом = 2 = 1 см. Источником возбужения служит -функция врадиальном направлении, спадающая вдоль оси дуги: (,) = max · () · 10− .54(b)(a)CathodeB-FieldRKRAAnode1 .0(c)lo g ( N /Nm a x)0 .0 0 00 .8-0 .4 5 0 00 .4A n o d ez /LC a th o d e0 .6-0 .9 0 0 0-1 .3 5 0-1 .8 0 00 .2-2 .2 5 00 .00 .00 .20 .40 .60 .81 .0r/RРисунок 2.16: () Схематичное изображение коаксиальной геометрии магнетронного разряда.
() Решение в случае = 41, 0 = 106 при наличии цилиндрическисимметричного источника возбуждения. () Распределение плотности в плоскости(,).Здесь max - максимум источника возбуждения, = const. На Рис. 2.15с приведеныисточник возбуждения и срез решения в плоскости (,).Этот рисунок демонстрирует, каким образом резонансные атомы перераспределяются в плоскости (,), предоставляя относительную количественную картинупо заселенностям. Абсолютные значения могут быть получены путем умноженияприведенных величин на max = max /. Предполагается, что max и известны.Общая схема типичного цилиндрического магнетронного разряда приведенана Рис.2.16a. Плазма заключена между внешним и внутренним цилиндрическими электродами.
Роль пленения резонансного излучения в пространственном55перераспределении возбужденных атомов в подобной конфигурации изучалась вработе [62] с использованием матричного метода для бесконечного цилиндра. Вчастности, для того, чтобы учесть экранирование излучения внутренним цилиндром, модифицировалось ядро оператора переноса ().В методе трассировки лучей наличие экранирующего препятствия вдоль траекторий полета фотонов учитывается следующим образом: когда луч пересекаетвоксел, координаты которого отсутствуют в массиве координат области, то матричный коэффициент, соответствующий рассматриваемой паре элементов и ,зануляется. Решение уравнения для трехмерной области проиллюстрировано 2.16b.В данном случае и источник возбуждения, и распределение резонансных атомовцилиндрически симметричны.Качественным отличием настоящего подхода от метода для бесконечного коаксиального цилиндра [62] является возможность учета краевых эффектов по оси, что иллюстрирует Рис.
2.16с. Наблюдается искривление изолиний контурногографика вблизи границ = 0 и = , чего невозможно добиться, решая задачу вбесконечном цилиндре. Таким образом, наилучшая корреляция между методамидостигается в области, где изолинии параллельны оси .Также можно показать, каким образом перераспределяются резонансные атомывследствие пленения излучения за пределами зоны возбуждения в более сложныхгеометриях. В качестве примера можно взять коаксиальный магнетрон, помещенный в цилиндрический стеклянный сосуд (Рис. 2.17).
Функция источникавозбуждения аналогична предыдущему случаю. В плоскости (,) можно четковидеть, как излучающие атомы "выплывают"из магнетрона в окружающий сосуд.Учет экранирования можно продемонстрировать на примере коаксиальнойгеометрии с точечным источником возбуждения вблизи одного из электродов. НаРис. 2.18 приведены контурный график и радиальное распределение резонансныхатомов в плоскости (,) при наличии источника возбуждения вблизи внутреннего цилиндра.
Из рисунка видны эффекты переноса, связанные с попаданиемфотонов в область за экранирующим препятствием вследствие многочисленныхактов перепоглощения.561 .00 .8(a )G la s slo g ( N /NA n o d e0 .6m a x)0 .0 0 00 .4-0 .7 5 0 0r/R0 .20 .0-1 .7 5 0C a th o d e-0 .2-2 .7 5 0-0 .4-3 .7 5 0-0 .6-0 .8-4 .7 5 0-1 .0-1 .0 -0 .8 -0 .6 -0 .4 -0 .2 0 .00 .20 .40 .60 .81 .0r/RG la s s1 .0(b )lo g ( N /Nm a x)0 .0 0 00 .8G la s sA n o d e0 .4C a th o d ez /L0 .6A n o d e-0 .7 5 0 0-1 .7 5 0-2 .7 5 0-3 .7 5 00 .2-4 .7 5 00 .0-1 .0 -0 .8 -0 .6 -0 .4 -0 .2 0 .00 .20 .40 .60 .81 .0r/RРисунок 2.17: Магнетрон в цилиндрическом стеклянном сосуде. Решения для = 41, 0 = 106 с цилиндрически симметричным источником возбуждения.() Распределение плотности в центральной плоскости = /2. () Распределениеплотности в плоскости (,).Различия между переносом частиц (диффузией) и пленением излучения также можно продемонстрировать на примере источника возле внешнего цилиндра(электрода).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
