Диссертация (1150536), страница 28

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

При этом необходимо помнить, что подобные упрощения допустимы только в области применимости асимптотическогоприближения.Бесконечный цилиндрРассматривая бесконечный цилиндр при неоднородном поглощении, для корректного описания интеграла в экспоненте необходимо проиллюстрировать всевозможные области испускания фотона в каждом из трех случаев ( < , =, > ).Для краткости записи, будем использовать следующие обозначения+Δ+ (,) = +1(,) − + (,),(B.55)−Δ− (,) = − (,) − +1(,),signsign (,) → , ( ) → .Случай < .Как видно из Рис. B.11, в данном случае необходимо рассмотреть сумму интегралов(1)(2)по двум областям: при ∈ [ , ]: , ; и при ∈ [0, ]: , , поскольку в интегралпо пути пролета фотона будут входить разные комбинации элементов.Для области (1) интеграл по оптической плотности будет иметь вид∫︁ ()d = 1 + 2 + 3 =+ +1−1∑︁+(︀)︀+ Δ+ ′ − + .(B.56)=+10Поскольку = ′ , можно переписать, =+ +1+−1∑︁=+1+ Δ− + .(B.57)195ψkIIIτ3τ2τ1q’ψq+i0IIψjψj+1ψψkřk q+k+1 Δq+mIq+iΔq+mq’q-j+1q-kq+j+1rj+1 rj0Δq-m řkРис.

B.11: Вычисление коэффициентов матрицы для бесконечного цилиндра принеоднородном поглощении. Случай < .Интеграл по радиальной координате рассчитывается аналогичным плоскому слоюспособом:++⎛ ⎞∫︁+1∫︁∫︁+1exp⎝− ()d ⎠d = e−,e− d.+0+(B.58)196Таким образом, полный интеграл по объёму для области (1) запишется∫︁1(1), =∫︁/2∫︁∞]︁+ −, [︁ − +1− +e−ed.d sin d e−∞0(B.59)В области (2) интеграл можно представить как сумму интегралов, определенныхна интервалах [ ,+1 ]. Согласно Рис. B.11, для оптической плотности получим∫︁(︀′ ()d = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = −+)︀+−1∑︁+ Δ=+10−1∑︁+(︀ +)︀−− Δ+ +1− +1+ − .(B.60)=+1Соответственно,,, =−1∑︁+ Δ+=+1−1∑︁(︀ +)︀−− Δ+ +1− +1+ − − + ,(B.61)=+1и интеграл по объёму для области (2) будет иметь вид−1(2),1 ∑︁= =0∫︁+1∫︁/2∫︁∞]︁+ −,, [︁ − +1− + ed.d sin de−e(B.62)−∞0Коэффициенты матрицы,(︁)︁(1)(2)= , + , .(B.63)Случай = .Как показано на Рис.

B.12, область интегрирования можно разделить на три части:(3) ∈ [ , ]: , ; ∈ [0, ] по области, не требующей пересечения с другими(4)кольцами: , ; а также ∈ [0, ] при наличии других колец на пути полета(5)фотона: , .Выражения для областей (3) и (4) выглядят тривиально (подобным образом были197ψkψj+1Vψq+k+1ψjq+kq’Δq+mIIIΔq-mq+j+1rj+1 rjIV0q-j+1 q-k řkРис.

B.12: Вычисление коэффициентов матрицы для бесконечного цилиндра принеоднородном поглощении. Случай = .получены диагональные коэффициенты для плоского слоя). В обоих случаях,∫︁ ()d = 1 = ′ .(B.64)0Интегралы по объёму(3),1=∫︁(4), =1∫︁0∫︁/2(︀ + )︀d +1sin d,(B.65)0∫︁/2(︀ )︀d − sin d.(B.66)0Область (5) учитывается подобно области (2) для < , но с заменой на :,, =−1∑︁+ Δ=+1−1(5),1 ∑︁= =0+−1∑︁(︀ +)︀−− Δ+ +1− +1+ − − + , (B.67)=+1∫︁+1∫︁/2∫︁∞[︁]︁+−,, − +1− +d sin d ee−ed.0−∞(B.68)198Диагональные элементы матрицы будут иметь вид, = (︁(3),+(4),+(5),)︁(B.69).Случай > .Область интегрирования подразделяется на три части (Рис. B.13): ∈ [ , +1 ]:(6)(6), ; ∈ [0, ]: , , когда точка испускания находится с ближней стороны цилин(7)дра относительно точки поглощения; и ∈ [0, ]: , , когда точка испусканиянаходится с дальней стороны цилиндра.Для области (6) интеграл в экспоненте равен∫︁(︀′ ()d = 1 + 2 + 3 = −−+1)︀+−1∑︁− Δ+ − .(B.70)=+10[︀ − + ]︀,+1 .

ТакимИнтеграл по радиальной координате считается на интервале +1образом,, =−1∑︁−− Δ+ − − +1,(B.71)=+1(6),1=+1∫︁∞∫︁/2∫︁]︁+− −, [︁ − +1− +1 ed.d sin de−e−∞0(B.72)В области (7) коэффициент ,, определен аналогично (6), но меняются пределыинтегрирования по радиальной координате:,, =(7), =1−1∑︁−− Δ+ − − +1,=+1−1 ∫︁+1∑︁=0 ∫︁/2∫︁∞]︁− −,, [︁ − −− +1d sin d−ed. ee0−∞(B.73)(B.74)199Область (8) определяется аналогично (2):,, =−1∑︁+ Δ=+1−1(8),1 ∑︁= =0+−1∑︁(︀ +)︀−− Δ+ +1− +1+ − − + ,=+1∫︁+1∫︁/2∫︁∞]︁+ −,, [︁ − +1− +ed sin d−ed.

e(B.75)0(B.76)−∞В итоге, для коэффициентов матрицы имеет место выражение, = (︁(6),+(7),+(8),)︁.(B.77)Представленные формулы успешно сводятся к более простым случаям однородного поглощения, равномерной дискретной сетки, определенных контуров спектральных линий и их асимптотик, обсуждавшимся ранее.200VIψi+1ψψiq+i+1q’q-i+1q-kVIIIri+1 ri0VII Δq-m řkψi+1VIψiψj+1ψq’ψjVIII0VII Δq-m řkψiq-iψj+1q+ψq’VIIIq-kψi+1VIψjq-i+1q+ij+1Δq+mq-i+1q-krj+1 rj 0 q j+1 VII Δq-m řkРис. B.13: Вычисление коэффициентов матрицы для бесконечного цилиндра принеоднородном поглощении.

Случай > ..

Характеристики

Список файлов диссертации