Диссертация (1150536), страница 27
Текст из файла (страница 27)
B.2: Вычисление эскейп-фактора для бесконечного цилиндра.Перенос начала координат и замена переменных осуществляется аналогично случаю плоского слоя. Тогда∫︁2() = 1 −d0где () = cos +()/∫︁ sin ∫︁()2 d,sin d0(B.16)0√︀2 − 2 sin2 - расстояние от точки до границы объёма,определяемое углом .Интеграл по рассчитывается аналогично плоскому слою:()/∫︁ sin [︂(︂)︂]︂1()1−.()2 d =4sin (B.17)0Для произвольного контура спектральной линии получаем1() =∫︁0)︂(︂∫︁/2∫︁∞ ()d sin d exp −d.sin 0−∞(B.18)182-32 .5 x 1 0-32 .0 x 1 0-32 .0 x 1 0-31 .5 x 1 0-31 .5 x 1 0-31 .0 x 1 0-31 .0 x 1 0-35 .0 x 1 0-45 .0 x 1 0-4S la bκ0 = 1 06C y lin d e rκ0 = 1 0 6g (r)g (z )2 .5 x 1 0(a )(b )0 .00 .00 .00 .20 .40 .60 .81 .00 .00 .20 .4z /L0 .60 .81 .0r/RРис.
B.3: Вычисление эскейп-фактора при оптической плотности 0 = 106 для() плоского слоя, () бесконечного цилиндра.Для лоренцевского контура выражение примет вид() =1∫︁0(︂)︂ (︂)︂∫︁/20 ()0 ()d sin d exp −0.2 sin 2 sin (B.19)0Асимптотика лоренцевского контура позволяет аналитически взять интегралпо углу :() =1∫︁0√︃∫︁/2sin d sin d0 ()(B.20)00.874 1≃√·0 ∫︁ (︂ cos +√︁2 − 2 sin2 )︂−1/2d.0Итоговые выражения можно записать следующим образом:0.874(0) = √,0 )︂−1/2∫︁ (︂√︁()12=(/) cos + 1 − (/)2 sin d.(0) (B.21)(B.22)0На Рис.
B.3 приведены примеры рассчитанных эскейп-факторов для плоскогослоя и бесконечного цилиндра в зависимости от аксиальной и радиальной коорди-183нат соответственно. Выбранное значение оптической плотности 0 = 106 характеризует порядок значений, справедливых для резонансных переходов инертныхгазов. Можно видеть, что вероятность фотона покинуть объём плазмы возрастаетот центра к границе плазмы.B.2Вычисление коэффициентов матрицы в случаеоднородного поглощенияАналогично предыдущему приложению, расчет интегралов будет осуществляться в сферических координатах: dr = d sin d2 d. Разбиение можно осуществлять либо на элементы равной толщины ℎ, либо на неравномерной сетке.Пусть - число разбиений.
Также предполагается, что коэффициент поглощенияпространственно однороден:∫︁∞ () = exp (−0 (r))d,−∞∫︁∞() = (r) = |r − r′ |,exp (−0 (r))d.42(B.23)(B.24)−∞В свою очередь, матричные элементы задаются выражением (2.27):⎛⎞∫︁ = ⎝ −(r , r′ )dr′ ⎠ = ( − ).(B.25)ΔБесконечный плоский слойРассмотрим геометрию плоского слоя толщины , бесконечного в радиальномнаправлении (Рис. B.4).
Плазменный объём разбивается на плоских слоёв, определяемых точками , ∈ {0.. − 1}, где = . Толщина каждого слоя +1 − может быть произвольной. Интегрирование по этим слоям выполняется в точках˜ = +1/2 . Необходимо рассмотреть два случая: когда точка r , в которой поглощается фотон, лежит в пределах объёма Δ (случай = , где ˜ = 0.5( + +1 )),а также когда она лежит за пределами Δ (случаи < и > ). Последние два184zkzk+1rθρzizi+1zMr’Рис. B.4: Вычисление коэффициентов матрицы для плоского слоя при однородномпоглощении.случая для плоского слоя идентичны, поэтому будет рассмотрен только случай < .Случай < .В соответствии с Рис.
B.4, и переставляя пределы интегрирования аналогично(B.5), запишем∫︁2 =∫︁/2∫︁+1∫︁1∫︁∞∫︁+11d de− dd sin d()2 d =2001=−2−∞∫︁∞∫︁1d00 d[exp(− ) − exp(− +1 )].(B.26)−∞где = ( − ˜ )/ cos = ( − ˜ )/.Таким образом, для произвольного контура спектральной линии имеем = −2∫︁1[ ( ) − (+1 )]d.(B.27)0Соответственно, для лоренцевского контура коэффициент равен =2∫︁10[︁ (︁ )︁ (︁ )︁(︁ )︁ (︁ )︁]︁0 +10 +10 0 d exp −0 −− exp −0 −.2222(B.28)185В случае асимптотики лоренцевского контура берется интеграл по ]︂[︂11√. = √−√3 0+1 − ˜ − ˜(B.29)Случай = .Здесь ˜ = 0.5( + +1 ) и, соответственно, интеграл можно представить каксумму двух интегралов ˜ на промежутке [ ,˜ ].В свою очередь, ˜ = (˜ − )/ = (+1 − )/2.
Для интеграла получим = 2˜ = 20∫︁∞∫︁1=∫︁2d0∫︁˜∫︁1dd0()2 d =0d0∫︁˜∫︁∞∫︁1 d−∞e− d0(B.30) d[1 − exp(− ˜ )].−∞Для произвольного контура линии∫︁1 (˜ )d.(B.31))︂ (︂ )︂(︂˜˜exp −0d.22(B.32) = 0Для лоренцевского контура∫︁1 = 0В случае асимптотики лоренцевского контура получаем·2 = √3 0∫︁1 √︂√·2 21√ = √.+1 − 3 0 +1 − (B.33)0Если рассмотреть случай с равномерной сеткой ℎ = / , а также имея ввиду, что ˜ находится в центре дискретного слоя, то можно провести дальнейшее186упрощение:⎧√√ ⎪⎪ ,)︃ · 2 2 ⎨ √ (︃ = √113 0 ⎪⎪⎩ 2√2 √︀| − | + 0.5 − √︀| − | − 0.5 , = , ̸= .(B.34)Бесконечный цилиндрРассмотрим бесконечный цилиндр радиуса (Рис. B.5).
Объём разбиваетсяна бесконечных колец, определяемых радиусами и +1 , ∈ {0.. − 1}, где = . Аналогично плоскому слою, допускается неравномерная сетка. Интегрирование по кольцам выполняется в точках ˜ = +1/2 . Оно эквивалентно разностиинтегралов по цилиндрам радиусов и +1 соответственно:∫︁+1∫︁+1∫︁()2 d =()2 d − ()2 d.0(B.35)0Смещая центр координат в точку ˜ и выполняя замену переменных по аналогии спредыдущими случаями, получаем два возможных случая (Рис. B.6):∫︁2, =∫︁∫︁d0sin d0∫︁=2sin d0()2 d⎧ 0+∫︁(,)⎪∫︁⎪⎪⎪⎪⎪d()2 d,⎪⎪⎨0⎪∫︁⎪⎪⎪⎪d⎪⎪⎪⎩0˜ < ,0+∫︁(,)− (,)()2 d,(B.36)˜ > .187qi+1(ψ)qi(ψ)r’ρθqM(ψ)ψrРис.
B.5: Дискретизация бесконечного цилиндра при однородном поглощении.q+iq+iρrk+1rkψ0rkrk+1řkq-iri0ρψ řkРис. B.6: Определение + и − для бесконечного цилиндра.Здесь для удобства опущен второй индекс у элементов, а расстояния до границцилиндров + () и − () выражаются следующим образом√︁= ˜ cos + 2 − ˜2 sin2 ,√︁− () = ˜ cos − 2 − ˜2 sin2 ,+ ()signsign (,) = ()/ sin ,(︂ )︂ = arcsin.˜Рассмотрим случаи различного относительного положения точек ˜ и .Случай < . В соответствии с Рис. B.7,(B.37)188q+i+1r’q+irk+1 rk0ψřkРис. B.7: Вычисление коэффициентов матрицы для бесконечного цилиндра приоднородном поглощении. Случай < .+< = +1− + ,+ =44∫︁+∫︁(,)∫︁/2∫︁∞exp(− ) 2 dd sin d d21=∫︁−∞000∫︁/2∫︁∞ [︁]︁− + (,)dd sin d 1 − e0−∞0∫︁=1−∫︁/2(︀)︀d sin d · + (,) .(B.38)00Для произвольного контура получаем< = −∫︁∫︁/2[︀ (︀)︀(︀ +)︀]︀(,)d sin d + (,) − +10(B.39)0Соответственно, если контур лоренцевский,(︀+ (,))︀(︂ +)︂ (︂ +)︂0 (,)0 (,)0.= exp22(B.40)189q+i+1r’q +iq-iψrk+1 rk0řkРис.
B.8: Вычисление коэффициентов матрицы для бесконечного цилиндра приоднородном поглощении. Случай = .В случае лоренцевской асимптотики аналитически берется интеграл по :<0.874 1=− √·0 ∫︁0[︂11d +− + () +1 ()]︂(B.41)Случай = .Здесь ˜ ∈ [ ,+1 ] (Рис. B.8). Для интеграла при произвольном контуре линииполучаем+= = +1− + + − ,++11=∫︁∫︁/2(︀ +)︀d sin d · +1(,) ,0sign=10∫︁/2∫︁d0(B.42))︁signsin d · (,) .(︁0Случай > .Как можно видеть из Рис.B.9, выражение можно представить в виде комбинации190q+i+1r’q+iq-irk+1 rk0q-i+1ψ řkРис.
B.9: Вычисление коэффициентов матрицы для бесконечного цилиндра приоднородном поглощении. Случай > .следующих интегралов+−> = +1− + + − − +1,sign+1sign+1∫︁∫︁/2(︁)︁1sign=1−d sin d · +1 (,) ,1=1−0∫︁(︁)︁signsin d · (,) .d0(B.43)0∫︁/20В последних двух случаях выражения для лоренцевского контура и асимптотикиполучаются аналогично предыдущему.Переход к равномерной сетке можно осуществить, вынося√︀/ за знакинтеграла и переобозначая ± :± ()(︂=)︂1cos ±+2√︃(︂)︂212 − +sin2 .2(B.44)191B.3Вычисление коэффициентов матрицы в случаенеоднородного поглощенияПри наличии неоднородности коэффициента поглощения имеем∫︁∞⎛∫︁ exp ⎝− () =−∞() =142⎞ ()d ⎠d, = |r − r′ |,(B.45)0∫︁∞⎛∫︁ (r) exp ⎝−−∞⎞ ()d ⎠d.(B.46)0Рассматривается интеграл по пути, который пролетает фотон из точки r′ в точку r.Основная идея заключается в замене интеграла в экспоненте на сумму оптическихтолщин элементарных объёмов∫︁ ()d =0∑︁ ( )Δ ,Δ = |+1 − |,(B.47)и вынесении неизменной части данной суммы за знак пространственного интеграла.Бесконечный плоский слойСлучай < .Коэффициенты при > рассчитываются аналогичным образом, но с изменениемположительного направления оси .
Интеграл в экспоненте равен (Рис. B.10):∫︁−1∑︁1 ()d = 1 + 2 + 3 = (˜ )Δ + ( )Δ + ( )Δ ′ ,2=+10Δ ′ =′ − .cos (B.48)192zkzk+1τ1cos θzjzj+1zizi+1zMτ2cos θτ3cos θrθρr’Рис. B.10: Вычисление коэффициентов матрицы для плоского слоя принеоднородном поглощении. ′ − ˜Имея в виду, что =, можно переписатьcos ⎡⎤∫︁−1∑︁1 ⎣1 ()d = + ( )Δ + (˜ )Δ + ( )(˜ − )⎦cos 2=+10=,+ .cos (B.49)Данная форма записи позволяет взять интеграл по радиальной координате послою [ ,+1 ]. Также выполним замену = cos , аналогично предыдущим выкладкам для плоского слоя:(+1∫︁−˜ )/(︂)︂ (+1∫︁−˜ )/,exp⎝− ()d ⎠d = exp −e− ( ) d0( −˜ )/( −˜ )/[︂ (︂)︂(︂ )︂]︂exp(−, )+1 − ˜ − ˜=exp − ( ) ·− exp − ( ) ·.
( )⎛∫︁⎞(B.50)193Можно переписать⎡, (,) = , + ( ) · − ˜1= ⎣−1∑︁⎤1 ( )Δ + (˜ )Δ ⎦,2=+1⎤(B.51)⎡−111 ⎣ ∑︁ ( )Δ + (˜ )Δ + ( )Δ ⎦.,+1 (,) =2=+1Соответственно, матричные коэффициенты для произвольного контура линиибудут иметь вид =2∫︁∞∫︁1d−∞0]︁ (˜ ) [︁ −,+1 (,)−, (,)e−ed. ( ) ( )(B.52)Случай = .Расчет диагональных элементов матрицы аналогичен однородному случаю, поскольку (˜ ) = ( ). Рассмотрим половину элемента:∫︁ ′ − ˜= (˜ ). ()d = (˜ )Δ = (˜ ) ·′(B.53)0Коэффициенты будут иметь вид, аналогичный (B.31):∫︁∞∫︁1 = d0)︂(︂+1 − d (˜ ) exp − (˜ ) ·−∞)︂∫︁1 (︂+1 − = d.(B.54)0Соответствующим образом можно получить коэффициенты для частных случаевлоренцевского контура и его асимптотики. Также, при рассмотрении однородногопоглощения 0 = const, приведенные выражения сводятся к соответствующимформулам из Приложения B.2.Переход к универсальной форме записи, не зависящей от абсолютной величиныкоэффициента поглощения, возможен путем ввода относительного коэффициен-194та ˜ 0 ( ) = 0 ( )/0 (/2), где 0 (/2) - коэффициент поглощения в максимумелинии в центральной точке объёма.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
