Диссертация (1150536), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Поделив выражение (2.13) на энергию фотона ℎ , можно получитьизменение потока частиц в объёме dr за счет излучения и перепоглощения:4ℎ∫︁∞⎛d (r)d = ⎝ (r) −dr0⎞∫︁ (r′ )(r, r′ )dr′ ⎠.(2.15)Уравнение баланса возбужденных атомов в объёме dr при наличии источниковвозбуждения и столкновительного разрушения () запишется∫︁ (r) − (r′ )(r, r′ )dr′ = (r),(2.16)где (r) =∑︀ (r) - источники возбуждения уровня . Частоты реакций имеют размерность [с−1 ] и соответствуют столкновительно-радиационнымпроцессам заселения уровня .Данное выражение является стационарным уравнением Холстейна-Бибермана,описывающим баланс резонансных атомов с учетом пленения излучения. Первый32член в левой части описывает гибель частиц за счет спонтанного перехода, второйчлен - заселение состояния в точке r за счет фотонов, приходящих из всего объёмаплазмы. Член в правой части отвечает за реакции, приводящие к возбуждению∑︀состояния. Добавив в левую часть слагаемое (r) = (r) можно учесть девозбуждение уровня за счет столкновительных процессов с частотами реакций .2.2МетодырешенияуравненияХолстейна-Бибермана2.2.1Ядро оператора переноса излученияПрежде, чем приступить к обсуждению методов решения уравнения (2.16),имеет смысл привести некоторые функции и параметры, определяющие вид ядраинтегрального оператора (r, r′ ).
В общем виде оно записывается следующимобразом:1(r, r ) =4′∫︁∞−∞ (r′ ) · (r) exp [− (r, r′ )]d,|r − r′ |2= − .Δ(2.17)Здесь Δ - полуширина спектральной линии, зависящая от формы контура (см.Приложение A).Можно представить ядро в виде∫︁∞ () = exp(− ())d,−∞(2.18)1 d ⃒⃒() = −.⃒42 d =|r−r′ |Здесь () - вероятность пролета фотона расстояния , испущенного в спектральной линии или фактор переноса по Биберману.33При лоренцевском контуре линии профили испускания и поглощения будутиметь следующий вид: =11, (1 + 2 ) = 01.1 + 2(2.19)В этом случае ядро определяется модифицированными функциями Бесселя первого рода =0,1,2...
:(︁ )︁ (︁ )︁000, () = exp −22(︁ )︁ [︁ (︁ )︁(︁ )︁]︁10000() = −·exp −0− 1.24 2222(2.20)Для больших коэффициентов поглощения центральная часть контура спектральной линии полностью поглощена, и излучение распространяется в далеких крыльях линии. В этом случае можно пренебречь единицей в формулах (2.19) и выражения для фактора переноса () и ядра () значительно упрощаются1,0 11.() = −√82 0 () = √(2.21)Данная асимптотика часто используется при описании пленения излучения в резонансных переходах, поскольку коэффициент поглощения в этих линиях крайневелик (0 ≫ 1). Можно графически сравнить значения функций () и () сиспользованием асимптотики и точного лоренцевского контура (Рис.
2.4). Видно,что при значениях 0 > 10 различия между асимптотической формой функции иточным решением для лоренцевского контура пренебрежимо малы.В настоящей работе будут описаны численные методы решения уравненияХолстейна-Бибермана, которыые легко вписываются в полномасштабное моделирование неравновесной плазмы различных конфигураций.2.2.2Приближение эффективной вероятности переходаНаиболее часто в самосогласованном моделировании плазмы используетсяприближение эффективной вероятности перехода по Биберману (или эффектив-341 .0 0 00 .0 2 5L o r e n t z T ( κ0 ρ)L o r e n t z T ( κ0 ρ)a s y m p t o t i c T ( κ0 ρ> > 1 )0 .8 0 0a s y m p t o t i c T ( κ0 ρ> > 1 )0 .0 2 00 .0 1 5T ( ρ)K ( ρ)0 .6 0 00 .4 0 00 .0 1 00 .2 0 00 .0 0 5(a )(b )0 .0 0 00 .0 0 00 .111 01 0 01 0 0 00 .1κ0 ρ11 01 0 01 0 0 0κ0 ρРисунок 2.4: () Фактор трансмиссии (0 ) и () ядро (0 ) как функции оптической плотности в предположении лоренцевского контура линии: точная формаи асимптотика для оптически плотной плазмы.ного времени жизни по Холстейну для нестационарных задач).
Оно получается впредположении, что ядро (r,r′ ) спадает по r′ относительно r гораздо быстрее,чем заселенность (r′ ), и коэффициент поглощения пространственно однороден.В этом случае можно вынести (r′ ) в точке r из-под знака интеграла:⎛⎞∫︁ (r) · ⎝1 −(r, r′ )dr′ ⎠ = eff (r) · (r) = · (r) · (r).(2.22)Здесь (r) - эскейп-фактор [15], определяющий уменьшение вероятности пролетафотона за счет поглощения излучения в точке r, а eff - эффективная вероятностьперехода. Величина эскейп-фактора нарастает по мере приближения к границамплазмы, поскольку фотонам становится легче покинуть объём. Расчет данных величин зависит от рассматриваемой геометрии, и, следовательно, от вида интеграловпо объёму .
Подробности вычислений факторов (r) приведены в ПриложенииB.1.В частности, можно привести выражение для цилиндра бесконечной длины,который используется в моделях, описанных в Главах 3 и 5. Эффективная вероятность перехода в центре цилиндра радиуса при асимптотике лоренцевскогоконтура имеет вид0.874eff (0) = √.0 (2.23)352.2.3Матричный методЕсли плотность атомов (r) меняется достаточно быстро в сравнении с ядромпереноса (r,r′ ), то приближение эффективной вероятности становится слишком грубым.
Это справедливо при наличии резко спадающих пространственныхраспределений плотности возбужденных атомов - например, в контрагированномшнуре тлеющего разряда и в дуговом разряде. В подобных случаях необходимоточно решать уравнение (2.16). Численно подобная задача решается с помощьюметода дискретизации на элементарных объёмах. Можно разбить весь объём задачи на подобъёмы Δ , полагая плотность неизменной в пределах Δ . В этомслучае её можно вынести за знак интеграла∫︁ (r′ )(r, r′ )dr′ ≈∑︁∫︁(r, r′ )dr′ , (r )(2.24)Δи представить интегральное соотношение (2.16) в виде системы линейных алгебраических уравнений⎛⎞ ( ) = ⎝ (r ) −∑︁∫︁ (r )(r , r′ )dr′ ⎠,(2.25)Δили∑︁ ( ) =(2.26) (r ),где - элементы матрицы оператора переноса излучения:⎛⎞∫︁ = ⎝ −(r , r′ )dr′ ⎠.(2.27)ΔПодобъёмы Δ могут быть выбраны в соответствии со схемой дискретизациизадачи. При наличии симметрии разбиение может соответствовать по форме исходному объёму (например, кольца толщины Δ в случае бесконечного цилиндрарадиуса ).36qi+1(ψ)qi(ψ)r’ρθqM(ψ)ψrРисунок 2.5: Дискретизация бесконечного цилиндра при однородном поглощении.Применение дискретизации на элементарных объёмах, не соответствующихсимметрии источника, будет рассмотрено далее.
На данный момент ограничимсяслучаем симметричных подобъёмов для геометрии бесконечного цилиндра (далеев тексте этот метод будет именоваться матричным методом [19]).Случай однородного поглощенияВ случае однородного коэффициента поглощения ядро интегрального оператора будет иметь вид1() =4∫︁∞ (r)exp [−0 (r)]d,2 = |r − r′ |.(2.28)−∞Ниже приведены коэффициенты матрицы для цилиндра радиуса и асимптотики лоренцевского контура. Подробности вычислений можно найти в Приложении B.2.Цилиндр радиуса (Рис. 2.5) разбивается на колец, определяемых радиусами и +1 , ∈ {0..
− 1}, где = . Интегрирование по кольцам выполняется37в точках ˜ = +1/2 . Введем обозначения± ()√︁= ˜ cos ± 2 − ˜2 sin2 ,± (,) = ± ()/ sin ,(︂ )︂, = arcsin˜(2.29) = ( − ).Выражения для коэффициентов имеют вид0.874 1(2.30) = eff · = √· ×0 ⎧∫︁ [︃]︃⎪11⎪⎪d (︀ < ,⎪)︀1/2 − (︀ + )︀1/2 ,⎪+⎪⎪()()⎪+10⎪⎪[︃]︃⎪⎪∫︁⎨∫︁d11 = ,(︀ +(︀ − )︀1/2 − (︀ + )︀1/2 d,)︀1/2 +⎪+1 () () ()⎪⎪00⎪⎪]︃]︃+1[︃⎪∫︁ [︃∫︁⎪⎪⎪1111⎪⎪−d+−(︀(︀(︀(︀)︀)︀)︀)︀1/2 d, > .⎪1/21/21/2⎩+−−++1 ()+1 () () ()00Сравнение решения уравнения Холстейна-Бибермана матричным методом сприближением эффективной вероятности переходаПредставляет интерес сравнить решение простейшей задачи о переносе резонансных атомов матричным методом с расчетами в приближении эффективной вероятности перехода как функции координаты eff () и в предположении,что эффективная вероятность неизменна: eff () = eff (0).
Последнее предположение часто используется для описания резонансного излучения в различныхстолкновительно-радиационных моделях. В качестве примера приведем решениезадачи для источникавозбуждения,сосредоточенного в узкой приосевой области[︁]︁ () = 0 ·exp −200(/)2 . Для цилиндра, система линейных уравнений будетвыглядеть следующим образом:eff∑︁ · ( ) = ( ),(2.31)381 .0 x 1 03eAaA1 .5 x 1 031 .0 x 1 035 .0 x 1 020 .00(0 )ffAe ffe ff(r)Ae ff(r)ikm a tr ixaikm a tr ixN (r)/N (0 )N ( r ) , r e l.
u n its2 .0 x 1 01 .0 x 1 0-11 .0 x 1 0-21 .0 x 1 0-3(a )0 .00 .20 .40 .60 .81 .0(0 )(b )0 .00 .20 .4r/R0 .60 .81 .0r/RРисунок 2.6: Сравнение решения задачи матричным методом для бесконечного цилиндра с приближением eff при коэффициенте поглощения 0 = 106 . () Расчетыв абсолютной шкале, () нормированные радиальные распределения.где поглощение в центре линии 0 = 106 [см−1 ], что соответствует характернойвеличине коэффициента поглощения в резонансной линии, и позволяет использовать выражения для асимптотики лоренцевского контура.Из Рис.2.6 можно видеть, что точный учет эффекта пленения излучения перераспределяет атомы, вынося их из центра на периферию. Вследствие этого, абсолютные значения концентраций на оси понижаются для выбранного примера∼ 4 раза, а радиальные распределения заметно расплываются.
В свою очередь,приближение эффективной вероятности перехода учитывает только локальнуювероятность реабсорбции фотона, и не дает информации о переносе. Более того,при наличии сильной радиальной неоднородности источника возбуждения (),как в приведенном случае, решения для eff () и eff (0) совпадают.Случай неоднородного поглощенияВ случае неоднородного коэффициента поглощения ядро интегрального оператора будет иметь вид() =142∫︁∞⎛∫︁ (r) exp ⎝−−∞⎞ ()d ⎠d, = |r − r′ |.(2.32)0Дополнительным шагом при таком виде ядра является замена интеграла в экспоненте на сумму по элементарным объёмам, внутри каждого из которых коэффи-39циент поглощения не меняется:∫︁ ()d =∑︁ ( )Δ ,Δ = |+1 − |.(2.33)0Ниже приведены рассчитанные выражения для коэффициентов матрицы дляцилиндра радиуса и асимптотики лоренцевского контура.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
