Диссертация (1150536), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Подробности вычислений можно найти в Приложении B.3. Для краткости записи, будем использоватьследующие обозначения+Δ+ (,) = +1(,) − + (,),−Δ− (,) = − (,) − +1(,),± (,) → ± , ( ) → ,(2.34) = () → = (0).Выражения для коэффициентов имеют вид⎧(︁)︁(1)(2)⎪⎪, = , + , ,⎪⎪⎪⎪⎡⎤⎪⎪⎪∫︁⎪⎪1 11⎪⎢⎥(1)⎪⎪, = 3/2 · ⎣ √︁− √︁⎦d,⎪⎪(1)(1)++⎪, + +1, + ⎪⎪⎪⎪⎪−1⎪∑︁⎨ (1)++ Δ− + , < : , = +1 +⎪=+1 ⎡⎤⎪⎪⎪+1⎪−1 ∫︁⎪∑︁⎪111⎢⎥(2)⎪⎪√︁√︁=·−⎣⎦d,⎪,3/2 ⎪(2)(2)⎪++⎪=0 ,, + +1,, + ⎪⎪⎪⎪−1−1⎪∑︁∑︁⎪(︀ +)︀⎪(2)+−−−+⎪=Δ+Δ+−⎪+1+1 + − ,,,⎪⎩=+1=+1(2.35)40⎧(︁)︁(3)(4)(5)⎪⎪, = , + , + , ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪∫︁⎪⎪11(3)⎪⎪√︁=·d,⎪,3/2⎪+⎪⎪ +1⎪⎪⎪⎪⎪∫︁⎪⎪11⎨ (4), = 3/2 · √︀ − d,=: ⎪0⎪⎤⎡⎪⎪+1⎪−1 ∫︁⎪∑︁⎪111⎥⎢⎪(5)⎪√︁√︁=·−⎪⎦d,⎣,⎪3/2(5)(5)⎪++⎪=0 ,, + +1,, + ⎪⎪⎪⎪−1−1⎪∑︁∑︁⎪(︀ +)︀⎪(5)+−−⎪⎪=Δ+Δ+−+ − − + ,+1+1⎪,,⎩=+1=+1(2.36)⎧)︁(︁(8)(7)(6)⎪⎪, = , + , + , ,⎪⎪⎪⎪⎡⎤⎪⎪+1⎪∫︁⎪⎪1 11⎢⎥⎪(6)⎪− √︁, = 3/2 ·⎪⎣ √︁⎦d,⎪(6)(6)⎪+−⎪, + +1, + +1⎪⎪⎪⎪−1⎪∑︁⎪⎪(6)−−⎪⎪, = Δ+ − − +1,⎪⎪⎪=+1⎪⎡⎤⎪⎪⎪+1⎪−1 ∫︁⎪⎨ (7)111 ∑︁⎢⎥√︁√︁=·−⎣⎦d,,3/2>:(7)(7) =0−−⎪,, + ,, + +1⎪⎪⎪⎪−1⎪∑︁⎪(7)⎪−−⎪,, = Δ+ − − +1,⎪⎪⎪⎪=+1⎪⎡⎤⎪⎪+1⎪∫︁−1⎪⎪1 ∑︁11⎪⎢⎥(8)⎪·=− √︁⎪⎣ √︁⎦d,,⎪3/2⎪(8)(8) =0++⎪,, + +1,, + ⎪⎪⎪⎪−1−1⎪∑︁∑︁⎪(︀ +)︀⎪(8)+−−−+⎪⎪=Δ+Δ+− +1⎪+1 + − .⎩ ,,=+1=+1(2.37)41Переход к равномерной сетке можно осуществить, вынося√︀/ за знак инте-грала и переобозначая ± :± () =(︂)︂1+cos ±2√︃(︂)︂212 − +sin2 .2(2.38)Представляя коэффициент поглощения в виде 0 ( ) = ˜ 0 ( )·0 (0), где 0 (0) - значение коэффициента в центре объёма, можно вынести эффективную вероятностьперехода:eff =.0 (0)Приведенные формулы для неоднородного коэффициента поглощения в бесконечном цилиндре будут использованы далее в Главе 5 при моделировании контрагированного положительного столба и в Главе 3 при моделировании дуговогоразряда.Влияние неоднородности коэффициента поглощения на решение уравненияХолстейна-БиберманаПусть ищется решение системы уравнений в следующем видеeff∑︁ · ( ) = ( ), () = 0 · ( = 0),(2.39)где 0 = 106 [см−1 ].Для того, чтобы наглядно проиллюстрировать влияние неоднородности поглощающих атомов (здесь - нейтральных) на распределение излучающих (в данномслучае - резонансных), можно провести анализ функций Грина.∫︁ Функции Гринапозволяют найти решение уравнения (2.39) в виде () =(,′ ) (′ )d3 ′ .Таким образом, функция Грина соответствует обратной матрице −1 , подразумеваяпереход от дискретных переменных к непрерывным.Рассмотрим несколько случаев неоднородности коэффициента поглощения,вводя для наглядности функции (), нормированные на усредненное по радиусу420 .2 50 .1 5(b )(a )0 .2 00 .1 00 .1 0G ( r , r ')G ( r , r ')0 .0 50 .1 50 .0 51100.
6. 8. 61100. 88r'0.60.60.0 .20 .2r0 . 20 .440 . 20.r0 . 40.8r'0 . 40 .2 5(c )0 .1 50 .1 0G ( r , r ')0 .2 00 .0 510810. 6r'0.60.0 . 4. 840 .20.r0 . 2Рисунок 2.7: Функции Грина оператора переноса излучения для однородного() и неоднородного поглощения при ˜ 0 () = 102 (/)2 /33.34 (), и ˜ 0 () =2410 (/) /3334.33 ().значение avg :˜ 0 () = ()/avg = 1,[︂(︁ )︁2 ]︂12 ˜ 0 () = 1 + 10·,34.33[︂(︁ )︁2 ]︂1˜ 0 () = 1 + 104·.3334.33(2.40)(2.41)(2.42)На Рис.2.7 приведены рассчитанные функции Грина.
В однородном случае функция Грина практически постоянна вдоль линии = ′ , и наблюдается тольконебольшой спад вблизи центра цилиндра и границы . С увеличением неоднородности возникает заметный спад по диагонали, и усиливается асимметрия. Более43-1-21 0-31 0-41 0-52~κ ~ 1 + 1 0 4 ( r / R )02~κ = 10~κ ~ 1 + 1 0 2 ( r / R )0N (r)/N01 001 0~κ = 10N (r)/N (0 )1 01 0-11 0-21 0-31 0-42~κ ~ 1 + 1 0 ( r / R )024(a )0 .0~κ ~ 1 + 1 0 2 ( r / R )0(b )0 .20 .40 .60 .81 .00 .0r/R0 .20 .40 .60 .81 .0r/RРисунок 2.8: Радиальные распределения относительной концентрации резонансных атомов в случае -образного источника возбуждения при наличии неоднородности поглощения.того, наличие неоднородности ведет к большему спаду заселенности излучающегорезонансного уровня на оси разряда (Рис. 2.8a), но выносит больше атомов напериферию разряда (Рис.
2.8b). Здесь 0 = (0)/eff , а (0) - заселенность вточке = 0. Дальнейший анализ влияния неоднородности поглощающих атомовна решение задачи необходимо проводить в рамках конкретных моделей (см. Главу3).2.3Метод трассировки лучейВ предыдущем параграфе был рассмотрен метод дискретизации интегральногоуравнения Холстейна-Бибермана (2.16) на элементарных объёмах, обладающихсимметрией источника. Данный подход весьма удобен для 1D-симметричных моделей, бесконечных по одной из координат и симметричных по другой. Такжеимеются работы, в которых рассчитывались матричные коэффициенты для 2Dсимметричной модели конечного цилиндра с однородным поглощением [172].
Вэтом случае аналитический вывод выражений для коэффициентов являлся довольно громоздким. Представляет интерес метод, который позволит рассматриватьперенос излучения методом конечных объёмов в 3D-источниках произвольнойформы, в том числе, асимметричных.44(x,y,z)ziryρi,k(x’,y’,z’)kxr’Рисунок 2.9: Схема дискретизации на воксельной сетке.2.3.1Схема дискретизации и алгоритм трассировкиПусть произвольная область объёма разбивается на подобъёмов Δ = / , где Δ - элементы равномерной декартовой 3D-сетки (кубические элементы,или воксели). Соответственно, расстояние между точками r и r′ будет определятьсякак√︁|r − r | = = ( − ′ )2 + ( − ′ )2 + ( − ′ )2 · Δ.(2.43)′Здесь ,, имеют смысл целочисленных координат вокселей, а Δ =√3Δ - длинаребра воксела. Можно сопоставить векторам координат (,,), (′ , ′ , ′ ) индексы и для каждой пары элементов:(,,) → ; (′ , ′ , ′ ) → ;√︀, = Δ ( − )2 + ( − )2 + ( − )2, = 1,...,.Данная схема дискретизации проиллюстрирована Рис.
2.9.(2.44)45Для учета всех пересеченных вокселей на пути между элементами и былиспользован быстрый алгоритм трассировки лучей Аманатидеса и Ву [173]. Сутьалгоритма заключается в следующем:1. Задаются начальная и конечная координаты, соответствующие элементам синдексами и .2. Определяются углы наклона луча ∠ = / max ( , , ), ∠ и ∠.3.
Рассчитываются расстояния ( , , ) из исходной точки до граней пересечения с соседними элементами. Минимальная из этих величин определяетрасстояние, которое можно пройти вдоль луча → , при этом оставаясь впределах текущего элемента.4. Затем рассчитываются инкременты для каждой из компонент Δ = Δ/∠,Δ и Δ . К минимальному на данный момент расстоянию min ( , , )прибавляется инкремент, а соответствующая координата увеличивается нафиксированный шаг .5. Производится переход в другой воксел, затем пункты 2 − 5 повторяются,пока не будет достигнута конечная точка в элементе .В результате, на пути движения луча образуется массив пересеченных вокселей(Рис.
2.10). Если рассматривать задачу с однородным поглощением, то достаточнознать и . Для учета неоднородности необходимо сохранять координаты всехпересеченных лучом элементов. Индексы данных элементов записываются в мас,сив , = [, ..., ] и могут быть получены через = 1, , ..., , где - числовокселей в массиве.2.3.2Вычисление матричных коэффициентовПоскольку сетка является декартовой и равномерной, то интеграл по объёму вуравнении (2.16) можно заменить на Δ . Таким образом, основная сложность подхода с симметричными элементарными объёмами, связанная с расчетом пространственных интегралов, устраняется. Для дискретизации ядра () необходиморассмотреть два случая.46J1i,k= iJ2i,kJ3i,kJ4i,kJ5i,kJ6i,kJmi,k= kРисунок 2.10: Алгоритм трассировки лучей на воксельной сетке.
̸= : Здесь ̸= 0, и получаемΔ = ·4∫︁∞0 exp [− ( )]d.2(2.45) = : В этом случае = 0, и в интеграле появляется сингулярность. Онаможет быть устранена путем перехода к сферическим координатам в пределахрассматриваемого элемента, где , → Δ:⎛ ,⎞ ⎤∫︁4 ⎝ − (′ ) ′ 2 ′ ⎠ ⎦= · ⎣1 +e d d4′ 200⎡⎛ Δ⎞ ⎤∞∫︁ ∫︁= · ⎣1 + ⎝ e− () d⎠ d ⎦ .∫︁∞⎡,0Здесь Δ = (3Δ /4)1/3 .0(2.46)47В случае однородного поглощения, итоговые выражения для матричных коэффициентов записываются как,⎧∫︁∞⎪⎪Δ ⎪⎪exp (− Δ)d, ̸= ;⎪⎪2,⎨ 40 ⎡⎤=·∞ ∫︁Δ∫︁⎪⎪⎪⎪1 + ⎣ exp (− )d⎦d, = .⎪⎪⎩0(2.47)0При учете неоднородности интеграл в экспоненте необходимо заменить на суммупо массиву , :,⎛⎞⎧,∫︁∞⎪∑︁⎪Δ () ()⎪⎝⎪exp− ()Δ⎠d, ≠ ;⎪2⎪,⎨ 4=1,0 ⎡⎤=·∫︁∞ ∫︁Δ⎪⎪⎪⎪⎪1 + ⎣ () () exp (− ())d⎦d, = .⎪⎩0(2.48)0Указанные выражения коэффициентов справедливы для произвольного контураспектральной линии.
Используя функции () и (), можно легко показать,что формулы сводятся к более простым в случае лоренцевского контура и егоасимптотики.Для лоренцевского контура(︁ )︁ (︁ )︁00 () = exp −0,22(︁ )︁ [︁ (︁ )︁(︁ )︁]︁01000·exp−−,() =0142 2222(2.49)(2.50)и коэффициенты, соответственно,,⎧(︁ )︁ [︁ (︁ )︁(︁ )︁]︁0 Δ0 ,0 ,0 ,⎪⎪exp−−, ≠ ;01⎨−28222)︂ (︂)︂(︂ ,=·ΔΔ⎪00⎪0, = .⎩exp −22(2.51)48Когда оптическая плотность плазмы в отдельной ячейке достаточно высока(0 Δ ≫ 1), можно получить переход к асимптотической форме: (0 Δ) = √1,0 Δ1(0 Δ) = √ 3.8 0 Δ7(2.52)Используя безразмерный параметр ˜, = , /Δ, коэффициенты можно записать,⎧⎨−0.0313 · (˜, )−7/2 , ≠ ;=√0 Δ ⎩1, = .(2.53)Таким образом, в простейшем случае, полученные выражения сводятся к независимому от величины коэффициента поглощения произведению эффективнойвероятности eff на матрицу переноса, что подтверждает корректность метода.Представленный метод достаточно тривиален с точки зрения математики.
Однако, задача требует выполнения большого числа простых операций - возникаетнеобходимость в применении техник высокопроизводительных вычислений (HighPerformance Computing).49⇒Рисунок 2.11: Дискретизация области расчета путем вокселизации.2.3.3Алгоритм численного решения задачи1. Подготовка трехмерной области источника плазмы, в которой будет решаться задача.
Вычисляется объём исходной непрерывной области , затем осуществляется дискретизация (Рис. 2.11). Для дискретизации на однороднойдекартовой сетке был использована программа для вокселизации, разработанная Моррисом и Солсбери [174]. Пространственное разрешение сеткихарактеризуется максимальным числом вокселей вдоль оси - dim .2. Составляется вектор всех возможных пар элементов и . Каждая пара элементов содержит информацию о координатах (,,) и (′ , ′ , ′ ). Задаютсявходные параметры, такие, как , , , а также 0 - единое значение в случаеоднородного поглощения, или вектор значений при наличии неоднородности.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
