Диссертация (1150526), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Без ограничения общности, положим коэффициент h равным 1, посколькуего можно включить в параметр de .Начнем рассмотрение транспортной модели с сети, состоящей из двух параллельных маршрутов, задержки на которых имеют линейный BP R вид:)(λ1,t1 1 +d1)(λ2.t2 1 +d2Предположим, что каждый маршрут обслуживается транспортной компанией70(фирмой). Предположим, что t1 < t2 и выполняется следующее условие)(λ< t2 .t1 1 +d1В этом случае весь трафик λ пойдет по первому маршруту. Естественно, в этомслучае первой фирме можно ввести плату за сервис c1 .
Затраты для пассажиров при пользовании первым сервисом, будем вычислять в виде суммы платыза сервис и затрат на задержку, выраженной в деньгах. Соответствующий коэффициент можно включить в параметр t1()λ.c1 + t1 1 +d1До тех пор, пока будет выполняться неравенство()λc1 + t1 1 +≤ t2 ,d1пассажиры будут предпочитать первый сервис. Если увеличение платы за сервис продолжится, поток с интенсивностью λ разобьется на два подпотока λ1 иλ2 , которые можно найти из уравнений баланса.Задачей настоящей главы является исследование теоретико-игровой модели ценообразования в условиях конкуренции m игроков – транспортных компаний, обслуживающих свои маршруты, при различных параметрах BP R- задержки. Поэтому опишем общую постановку задачи для данной модели.4.2.
Постановка задачиРассмотрим конкуренцию m транспортных компаний на m параллельныхмаршрутах. Каждая компания обслуживает пассажиров на своем маршруте,назначая цену на обслуживание ci , i = 1, ..., m соответственно. Для удобстваперенумеруем маршруты таким образом, чтобы задержки на них образовывали неубывающую последовательность, т. е.
t1 ≤ t2 ≤ ... ≤ tm . Поток пассажиров71λ разбивается на m потоков λi ,m∑λi = λ, в соответствии с балансовыми урав-i=1(нениями(c1 + t1 1 +(= c2 + t 2 1 +(λ2d2)β )λ1d1)β )=((= ... = cm + tm 1 +λmdm)β ).(4.1)Считая, что все игроки участвуют в конкуренции, можно записать выигрышиигроков, которые являются доходами транспортных компаний, а именноHi = ci λi ,i = 1, 2, ..., m.Одним из методов нахождения условного экстремума функции при ограничениях в виде равенств является метод Лагранжа, который был рассмотрен впредыдущей главе.
Будем использовать этот метод и в настоящей главе.4.3. Транспортная игра с линейной функцией задержкиДля того, чтобы сформулировать условия, при которых транспортные компании являются конкурентоспособными, и определить, как параметры BP Rфункции влияют на равновесие в игре ценообразования, начнем рассмотрениепредложенной модели с линейного случая.4.3.1. Транспортная игра на двух параллельных маршрутах слинейной функцией задержкиНачнем рассмотрение игры двух лиц на транспортной сети, состоящей издвух параллельных маршрутов, изображенной на рисунке 4.1. Уравнение баланса (4.1) при m = 2, β = 1 примет вид)()(λ2λ1= c2 + t2 1 +.c1 + t1 1 +d1d2(4.2)72Рис.
4.1. Два параллельных маршрутаУравнение (4.2) перепишем в виде()()λ1λ − λ1c1 + t1 1 += c2 + t2 1 +.d1d2Так как это уравнение является линейным относительно своих параметров,можно выразить λ1 из этого уравнения. Тогда функция выигрыша первого первого игрока – это вогнутая парабола(c2 − c1 + t2 1 +H1 = c 1t2t1d1 + d2λd2)− t1 ,и точкой максимума является точкаc∗1 = λ1(t1t2+d1 d2).Аналогично, для второго игрока имеем)(t2t1∗+.c2 = λ2d1 d2Заметим, что в транспортной игре, где пассажиры выбирают сервис, исходятолько из задержки, поток может пойти только по одному из маршрутов.
Вигре же с платой за сервис, пассажиры распределяются по всем каналам.Таким образом, равновесием в игре ценообразования с линейной функциейзадержки являютсяc∗1( ()())λλ1t1− 1 + t2 1 + 2,=3d1d2(4.3)73( ()())1λλ∗c2 =t2− 1 + t1 1 + 2.3d2d1Численные примеры(4.4)Для того, чтобы понять как именно параметры модели влияют на равновесие и на разбиение потоков пассажиров в данной игре, рассмотрим численныепримеры.
Для начала рассмотрим симметричный случай, когда время передвижения по ребру и пропускная способность для обоих серверов одинаковая, т.е. t1 = t2 = t, d1 = d2 = d. Тогда очевидно, что цены в равновесии будут одинаковыми для двух сервисов, и поток пассажиров разобьется поровну, междудвумя ними. Равновесные цены равныλc∗1 = c∗2 = t .dТаким образом, цены в равновесии пропорциональны времени на передвижение по пустой дороге.
Увеличение пропускной способности приводит к уменьшению цен.Таблица 4.1. Значение (c∗1 , c∗2 ) при λ=1, d1 = d2 = 2, β = 1t1t2цены11(c∗1 ; c∗2 )(0,5;0,5)(λ1 ; λ2 )(0,5;0,5)(c∗1 ; c∗2 )(1,16;0,33)2(λ1 ; λ2 ) (0,78;0,22)34(c∗1 ; c∗2 )23(1;1)(0,5;0,5)(1,83;0,16) (1,67;0,83)(1,5;1,5)(λ1 ; λ2 ) (0,92;0,08) (0,67;0,33)(0,5;0,5)(c∗1 ; c∗2 )(2,5;0)(λ1 ; λ2 )(1;0)4(2,33;0,67) (2,16;1,33)(2;2)(0,78;0,22) (0,62;0,38) (0,5;0,5)Теперь предположим, что t1 ̸= t2 , d1 = d2 = d.
Вычисления представлены втаблице 4.174Получаем, что при увеличении времени на передвижение у второго игрока,равновесная цена первого игрока увеличивается. В то же время, если весь поток λ меньше, чем пропускная способность ребра первого игрока, то увеличениевремени на передвижение по первому ребру ведет к уменьшению равновеснойцены первого игрока. Чтобы равновесие существовало, необходимо, чтобы выполнялось следующее условиеλ≥t2 − t1.2 dt11 + dt22В этом случае значения цен в формулах (4.3)-(4.4) будут неотрицательны.4.3.2. Транспортная игра на трех параллельных маршрутах слинейной функцией задержкиУвеличим количество игроков.
Рассмотрим конкуренцию трех транспортных компаний на трех параллельных маршрутах (рисунок 4.2). Каждая компания обслуживает пассажиров на своем ребре, назначая соответственно цену наобслуживание ci , i = 1, 2, 3. Поток пассажиров λ разбивается на три потока λi ,λ1 + λ2 + λ3 = λ, в соответствии с балансовыми уравнениями)()()(λ1λ2λ3= c2 + t2 1 += c3 + t 3 1 +.c1 + t1 1 +d1d2d3Нас интересует вопрос, как изменится равновесие с увеличением конкуренции.Рис. 4.2. Три параллельных маршрута75Построим функцию Лагранжа для нахождения наилучшего ответа первого игрока на стратегии c2 и c3 .()())λ2λ1L1 = c1 λ1 + k1 c1 + t1 1 +− c 2 − t2 1 ++d1d2(()())λ1λ3k2 c1 + t1 1 +− c3 − t3 1 ++d1d3((4.5)+ γ(λ1 + λ2 + λ3 − λ).Дифференцируем (4.5)∂L1= λ1 + k1 + k2 = 0,∂c1∂L1k1 + k2= c1 + t1+ γ = 0,∂λ1d1k1∂L1= −t2 + γ = 0,∂λ2d2k2∂L1= −t3 + γ = 0,∂λ3d3откуда(c1 = λ1t1+d1d2t21+)d3t3.Проделывая аналогичную процедуру для всех игроков, получим что равновесиев игре с тремя параллельными маршрутами имеет вид()t11+ d2 d3 ,c1 = λ1d1t2 + t3()1t2+ d1 d3 ,c2 = λ2d2t1 + t3()1t3c3 = λ3+ d1 d2 ,d3t1 + t2λ1 =λ−t1 −t2b2(1 + b1λ2 =λ−1b2t2 −t1b11 + b2(−+−1b1t1 −t3b31b3),t2 −t3b3+1b3),76λ−λ3 =t3 −t1b1(1 + b3−1b1t3 −t2b2+1b2),гдеbi =2ti+di13∑j=1,j̸=i,i = 1, 2, 3.djtjЧисленные примерыРассмотрим симметричный случай, когда задержка на пустой дороге ипропускная способность все ребер одинаковая.
Тогда, как и раньше, поток пассажиров разбивается на три равных потока. А ценыc∗1 = c∗2 = c∗3 = tλ,2dчто ровно в два раза меньше, чем в случае конкуренции двух игроков. Такимобразом, увеличение конкуренции приводит к уменьшению равновесных цен.Значения равновесных цен представлены в таблице 4.2, где λ = 10, t1 = 1,d1 = d2 = d3 = 2.Таблица 4.2.
Значение (c∗1 , c∗2 , c∗3 ) при λ=10, t1 = 1, d1 = d2 = d3 = 2, β = 1t2t3цены11(c∗1 ; c∗2 , c∗3 )(2,5;2,5;2,5)(λ1 ; λ2 , λ3 )(3,33;3,33;3,33)(c∗1 ; c∗2 , c∗3 )(3,83;3,83;2,17)(6,86;4,23;4,23)(λ1 ; λ2 , λ3 )(4,38;4,38;1,24)(5,5;2,25;2,25)(c∗1 ; c∗2 , c∗3 )(4,14;4,14;1,8)(7,76;4,82;4,14)(8,93;4,86;4,86)(λ1 ; λ2 , λ3 )(4,6;4,6;0,8)(5,72;2,54;1,74)(5,96;2,02;2,02)(c∗1 ; c∗2 , c∗3 )(4,71;4,71;0,1)(9,78;6,13;3,06)(11,7;6,54;4,14)(17,04;7,08;7,08)(λ1 ; λ2 , λ3 )(4,99;4,99;0,02)(6,15;3,15;0,7)(6,38;2,68;0,94)(6,8;1,6;1,6)348348774.3.3.
Транспортная игра на m параллельных маршрутах слинейной функцией задержкиПерейдем к рассмотрению конкуренции m транспортных компаний на mпараллельных маршрутах (рисунок 4.3). После объявления цен транспортными компаниями, входящий поток пассажиров, выбирает сервис, которым онвоспользуется в соответствии с балансовыми уравнениями()()()λ1λ2λmc1 + t1 1 += c2 + t2 1 += ... = cm + tm 1 +.d1d2dmФункция Лагранжа для нахождения наилучшего ответа первого игрока на стратегии конкурентов ci , i = 2, 3, ..., m равна)())((m∑λiλ1− ci − ti 1 ++L1 = c1 λ1 +ki c1 + t1 1 +dd1ii=2+ γ(m∑λi − λ).i=1Рис. 4.3.
m параллельных маршрутовДифференцируем∑∂L1= λ1 +ki = 0,∂c1i=2mm∑ki∂L1i=2= c1 + t1+ γ = 0,∂λ1d178∂L1ki= −ti + γ = 0.∂λidiНаходя наилучшие ответы всех игроков на стратегии конкурентов, приходим кравновесному решению игры m лицt ici = λi + di,dj 1m∑j=1,j̸=im∑λ−j=1,j̸=i(λi =1 + bij=1,j̸=i(4.6)tjti −tjbjm∑i = 1, ..., m,),i = 1, ..., m,(4.7)1bjгдеbi =2ti+di1m∑j=1,j̸=i,i = 1, ..., m.djtjДля того, чтобы существовало равновесие, необходимо, чтобыλ≥m−1∑j=1tm − tj.bj(4.8)При выполнении этого условия значения равновесных цен будут неотрицательны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
