Диссертация (1150526), страница 6
Текст из файла (страница 6)
В игре Γ =< I, II, c1 , c2 , H1 (c1 , c2 ), H2 (c1 , c2 ) > существует ситуация равновесия по Нэшу (c∗1 , c∗2 ), которая равнаc∗1 = c∗2 =λ.(µ − λ2 )2Доказательство. Для нахождения равновесия по Нэшу, найдем наилучшийответ первого игрока на стратегию c2 второго игрока.
Определим максимум35H1 (c1 , c2 ) по c1 для фиксированного c2 . Условие первого порядка для максимумаdH1 (c1 , c2 )dλ1= λ 1 + c1= 0,dc1dc1отсюдаλ1.dλ1 /dc1Уравнение (2.1) для интенсивности λ1 примет видc∗1 =c1 +11= c2 +.µ − λ1µ − λ + λ1(2.2)Дифференцируя (2.2) по c1 , находим1+1dλ11dλ1=−,(µ − λ1 )2 dc1(µ − λ + λ1 )2 dc1откуда()−11dλ11=−.(2.3)+dc1(µ − λ1 )2 (µ − λ + λ1 )2Из симметрии задачи очевидно, что в равновесии должно быть c1 = c2 иλ1 = λ2 = λ2 . Тогда из (2.3) вытекает, что(µ − λ2 )2dλ1=−.dc12Следовательно,λ.(2.4)(µ − λ2 )2Несложно проверить, что условия второго порядка для существования максиc∗1 = c∗2 =мума также выполняются.
Действительно,d2 H1dλ1d2 λ1=2+c.1dc21dc1dc21Дифференцируя (2.3) по c1 , находим()[]dλ122d2 λ1=−.dc21dc1(µ − λ1 )3 (µ − λ + λ1 )3В равновесии λ1 = λ/2, откуда вытекает, чтоd2 λ1dc21= 0. Следовательно,()2d2 H1 (c∗1 , c∗2 )dλ1λ=2=− µ−< 0.dc21dc1236Таким образом, если один из игроков использует стратегию (2.4), максимум выигрыша другого игрока достигается при той же самой стратегии.
Это означаетравновесие данного набора стратегий.Несимметричная модельТеорема 2.2. В игре Γ =< I, II, c1 , c2 , H1 (c1 , c2 ), H2 (c1 , c2 ) > существует ситуация равновесия по Нэшу (c∗1 , c∗2 ) в несимметричном случае µ1 ̸= µ2 , которая находится из системы(c∗1 + c∗2 = λ1(µ1 −c∗1 − c∗2 =c∗12∗c1 +c∗2 λ)1µ2 −c∗2∗c1 +c∗2λ+−)1(µ2 −c∗2∗c1 +c∗21µ1 −c∗1∗c1 +c∗2 λλ)2..Доказательство.
Предположим, что сервисы неодинаковы, т. е. µ1 ̸= µ2 , пустьдля определенности µ1 > µ2 . Кроме того, предположим что выполняются условияλ − µ 2 < µ 1 ≤ λ + µ2 .(2.5)Определим равновесие в задаче ценообразования в этом случае. Зафиксируем c2 и найдем наилучший ответ первого игрока. Также как и в симметричномслучаеdH1 (c1 , c2 )dλ1= λ 1 + c1= 0,dc1dc1откудаc∗1 =λ1.dλ1 /dc1Продифференцировав равенство (2.1), с одной стороны, находим)(11+c∗1 = λ1.(µ1 − λ1 )2 (µ2 − λ + λ1 )2Аналогично для второго игрока имеем()11c∗2 = λ2+.(µ1 − λ1 )2 (µ2 − λ + λ1 )2(2.6)(2.7)37Из (2.6), (2.7) следует, чтоc∗1c∗2= ,λ1λ2т. е. в равновесии интенсивности пропорциональны установленным ценам.
Отсюдаc∗1c∗2λ1 = λ ∗, λ2 = λ ∗.c1 + c∗2c1 + c∗2Подставив эти выражения в (2.6), (2.7), приходим к уравнению()11c∗1 + c∗2 = λ+.∗∗1222(µ1 − c∗c+c(µ2 − c∗c+c∗ λ)∗ λ)121(2.8)2С другой стороны, из (2.1) получаемc∗1 − c∗2 =1µ2 −c∗2∗c1 +c∗2λ−1µ1 −c∗1∗c1 +c∗2λ.(2.9)Из системы уравнений (2.8), (2.9) можно определить равновесные цены c∗1и c∗2 . Покажем, что решение этой системы, такое что c∗1 ≥ 0 и c∗2 ≥ 0, существует.Для упрощения выкладок предположим, что λ = 1, и сделаем замену x =c∗2∗c1 +c∗2.Поскольку для µ1 > µ2 c∗1 > c∗2 , то x ∈ [0; 0, 5]. Систему (2.8), (2.9) можнопереписать в виде()c∗1 (1 − 2x)11= (1 − 2x)+,(2.10)1−x(µ1 − 1 + x)2 (µ2 − x)2c∗1 (1 − 2x)11=−.(2.11)1−xµ 2 − x µ1 − 1 + xСуществование решения системы (2.10), (2.11) на интервале [0, 1/2] следует изтого, что значение правой части в (2.10) при x = 0 строго положительно, азначение правой части (2.11), в силу условия (2.5), неположительно. Крометого, при x = 1/2 значение правой части (2.10) равно нулю, а значение правойчасти (2.11) положительно.
Таким образом, найдется такое значение x, прикотором значения правых частей (2.10) и (2.11) совпадут.Находя производную по x правой части уравнения (2.10), получаем()()1111−2+−+ 2(1 − 2x)≤ 0,(µ2 − x)2 (µ1 − 1 + x)2(µ2 − x)3 (µ1 − 1 + x)338x ∈ [0, 1/2 − (µ1 − µ2 )/2],а из (2.11)(112+(µ2 − x)2 (µ1 − 1 + x)2)> 0,x ∈ [0, 1/2].Отсюда следует, что x, при котором правые части (2.10) и (2.11) совпадают,лежит в интервале x ∈ [1/2 − (µ1 − µ2 )/2, 1/2].
Значения равновесных цен для параметров λ = 10 и различных µ1 и µ2представлены в таблице 2.1.Таблица 2.1. Значение (c∗1 , c∗2 ) при λ=10µ2µ167896(10;10)7(5.38;5.05)8(3.94;3.53) (1.75;1.64) (1.11;1.11)9(3.26;2.81) (1.38;1.22) (0.87;0.81) (0.625;0.625)10(2.5;2.5)10 (2.86;2.39) (1.18;0.98) (0.73;0.64)(0.52;0.49)(0.4;0.4)2.3. Конкурентные потоки и общественный транспортРассмотрим случай трех игроков.
Игроки I и II обслуживают заявки с экспоненциальным распределением времени с параметрами µ1 и µ2 соответственно, игрок O (общественный транспорт) обслуживает заявки с параметром µ0 .Игроки назначают цену на обслуживание c1 и c2 соответственно, а c0 – этофиксированная цена общественного транспорта. Посетители выбирают услугуигрока с меньшими затратами.
Таким образом, входящий поток разбивается натри пуассоновских потока с интенсивностями λ0 , λ1 и λ2 , где λ0 + λ1 + λ2 = λ.Определим равновесные цены.39Симметричный случайПусть два сервиса одинаковые, т. е. µ1 = µ2 = µ. Тогда интенсивностипотоков λ0 , λ1 и λ2 для соответствующих сервисов можно получить из системыc0 +111= c1 += c2 +,µ0 − λ 0µ − λ1µ − λ2(2.12)λ0 + λ1 + λ2 = λ.С одной стороны, дифференцируя (2.12) по c1 и решая относительнонаходимdλ1dc1иdλ2dc1 ,dλ1(µ − λ1 )2 ((µ − λ2 )2 + (µ0 − λ + λ1 + λ2 )2 )=−.dc1(µ − λ2 )2 + (µ − λ1 )2 + (µ − λ + λ1 + λ2 )2Аналогичным образом получаемc∗1 = λ1c∗2((= λ2dλ2dc2 ,откуда c∗1 и c∗2 :11+(µ − λ2 )2 + (µ0 − λ + λ1 + λ2 )2 (µ − λ1 )211+(µ − λ1 )2 + (µ0 − λ + λ1 + λ2 )2 (µ − λ2 )2),(2.13).(2.14))Из симметрии задачи очевидно , что в равновесии должно быть c1 = c2 и λ1 =λ2 =λ−λ02 .Тогда из (2.13), (2.14) следует(1λ − λ0c∗1 = c∗2 =2(µ0 − λ0 )2 + (µ −λ−λ0 22 )+10µ − λ−λ2).(2.15)С другой стороны, из (2.12)c0 +11= c∗1 +.0µ0 − λ0µ − λ−λ2(2.16)Системой уравнений (2.15), (2.16) определяются равновесные цены c∗1 и c∗2 .Несимметричный случайПусть сервисы неодинаковы и для определенности µ1 > µ2 .
Тогдаdλ1dH1 (c1 , c2 )= λ 1 + c1= 0,dc1dc1dλ2dH2 (c1 , c2 )= λ 2 + c2= 0,dc2dc240откудаc∗i =λi,dλi /dcii = 1, 2.Уравнения для интенсивностей λ1 и λ2c0 +11= c1 +,µ0 − λ0µ1 − λ 1c1 +11= c2 +,µ1 − λ1µ2 − λ 2(2.17)λ0 + λ1 + λ2 = λ.Дифференцируя (2.17) по c1 и решая относительноdλ1dc1иdλ2dc1 ,получим(µ1 − λ1 )2 ((µ2 − λ2 )2 + (µ0 − λ + λ1 + λ2 )2 )dλ1=−.dc1(µ2 − λ2 )2 + (µ1 − λ1 )2 + (µ0 − λ + λ1 + λ2 )2Аналогичным образом определяемc∗1(= λ1c∗2 = λ2(dλ2dc2 .Затем находим c∗1 и c∗211+(µ2 − λ2 )2 + (µ0 − λ + λ1 + λ2 )2 (µ1 − λ1 )211+(µ1 − λ1 )2 + (µ0 − λ + λ1 + λ2 )2 (µ2 − λ2 )2Приходим к системе уравнений()11c∗1 = λ1+,(µ2 − λ2 )2 + (µ0 − λ0 )2 (µ1 − λ1 )2()11c∗2 = λ2+,(µ1 − λ1 )2 + (µ0 − λ0 )2 (µ2 − λ2 )21212c∗1 − c∗2 = c0 ++−,µ0 − λ0 µ2 − λ2 µ1 − λ1),).(2.18)λ0 + λ1 + λ2 = λ.Системой уравнений (2.18) определяются равновесные цены c∗1 и c∗2 .
Их значения для параметров λ = 10, c0 = 1, µ0 = 3 представлены в таблице 2.2. Из неевидно, что с ростом интенсивностей обслуживания µ1 и µ2 каждой из конкурирующих фирм интенсивность потока пассажиров, использующих общественныйтранспорт, убывает.41Таблица 2.2. Значение (c∗1 , c∗2 ) при λ=10, c0 =1, µ0 =3µ26µ1678910789(c∗1 ;c∗2 )(0.3;0.3)(λ0 ; λ1 ; λ2 )(5.33;2.34;2.34)(c∗1 ;c∗2 )(0.29;0.25)(0.24;0.24)(λ0 ; λ1 ; λ2 )(5.08;2.68;2.23)(4.87;2.56;2.56)(c∗1 ;c∗2 )(0.28;0.22)(0.23;0.2)(0.19;0.19)(λ0 ; λ1 ; λ2 )(4.9;2.96;2.13)(4.72;2.84;2.44)(4.6;2.7;2.7)(c∗1 ;c∗2 )(0.26;0.18)(0.21;0.17)(0.17;0.15)(0.14;0.14)(λ0 ; λ1 ; λ2 )(4.8;3.19;2.03)(4.61;3.07;2.32)(4.5;2.93;2.56)(4.43;2.78;2.78)(c∗1 ;c∗2 )(0.25;0.16)(0.2;0.14)(0.16;0.13)(0.13;0.12)(λ0 ; λ1 ; λ2 )(4.68;3.39;1.93)(4.54;3.27;2.2)(4.44;3.13;2.42)(4.38;2.99;2.64)2.4.
Кооперативное поведениеРассмотрим модель конкурентных потоков и общественного транспорта,которая описывалась в предыдущем разделе. Предположим, что игроки I и IIмогут организовать коалицию, которая обслуживает заявки с экспоненциальным распределением времени с параметром µ12 = µ1 + µ2 . Игрок O (общественный транспорт), как и раньше, обслуживает заявки с параметром µ0 .Коалиция назначает цену на обслуживание c12 , а общественный транспорт– c0 . Как и раньше, посетители выбирают услугу игрока с меньшими затратами.Таким образом, входящий поток разбивается на два пуассоновских потока синтенсивностями λ0 , λ12 , где λ0 + λ12 = λ. Эти интенсивности можно найти изусловияc0 +11= c12 +.µ0 − λ0µ12 − λ12С одной стороны, дифференцируя (2.19) по c12 и решая относительно(2.19)dλ12dc12 ,по-42лучимdλ12(µ12 − λ12 )2 (µ0 − λ + λ12 )2=−,dc12(µ12 − λ12 )2 + (µ0 − λ + λ12 )2откуда(11= λ12+(µ0 − λ0 )2 (µ12 − λ12 )2С другой стороны, из (2.19) имеемc∗12c0 +).11= c∗12 +.0µ0 − λ0µ12 − λ−λ2(2.21)Таблица 2.3.
Значение v(0), v(1), v(2), v(12) при λ=10, c0 =1, µ0 =3µ2µ1678910789(2.20)v610v(0)5.33v(1)0.7v(2)0.7v(12)2.15v(0)5.084.87v(1)0.780.61v(2)0.560.61v(12)2.222.28v(0)4.94.724.6v(1)0.280.650.51v(2)0.470.490.51v(12)2.282.312.34v(0)4.84.614.54.43v(1)0.8290.6450.4980.3892v(2)0.370.390.380.3892v(12)2.312.342.372.4v(0)4.684.544.444.384.33v(1)0.850.6540.50.38870.31v(2)0.310.310.310.310.31v(12)2.342.372.42.422.4343Системой уравнений (2.20), (2.21) определяется оптимальная цена c∗12 . В кооперативной игре игроки должны разделить общий доход. В качестве правиладележа можно использовать вектор Шепли.
Для игры двух лиц этот дележимеет вид11ϕ1 (v) = v(1) + (v(12) − v(2)),2211ϕ2 (v) = v(2) + (v(12) − v(1)),22где v – характеристическая функция в кооперативной игре.Рассмотрим случай, когда стоимость проезда на общественном транспортефиксирована и равна c0 = 1, а интенсивность обслуживания µ0 = 3. Посчитаемвыигрыши игроков в двух случаях: в условиях конкуренции и кооперации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
