Диссертация (1150526), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

е.Li = ci + ρi (x, y), i = 1, 2. Тогда множество всех покупателей разделится надва подмножества S1 и S2 , с границей, определяемой уравнениемc1 +√(x + k)2 + y 2 = c2 +√(x − k)2 + y 2 ,или, после упрощений,где a =c2 −c12 ,b=√x2 y 2−= 1,a2 b2k 2 − a2 .Граница между областями S1 и S2 является гиперболой. Выигрыши игроков имеют вид27H1 (c1 , c2 ) = c1 S1 ,H2 (c1 , c2 ) = c2 S2 .Теорема 1.3. В случае симметричного расположения игроков в точках (−k, 0)и (k, 0) в игре ценообразования Γ1 =< I, II, c1 , c2 , H1 , H2 > существует единственная ситуация равновесия (c∗1 , c∗2 ), где 1−1√∫2k √2 dtc∗1 = c∗2 = 0.5 1+tk .0Доказательство.

Так как S1 + S2 = 1, достаточно найти S2∫y11S2 = − 2 dy20√2a 1+ yb2√22∫√22 −y∫dx − 2dx =dyy10∫0y1=√2y1 − y12 − 2ab∫b √1 + t2 dt,0где y1 есть точка пересечения границы областей S1 и S2 и стороной квадрата,т. е. определяется из системыx2 y 2−= 1,a2 b2√2x+y =.2Решением этой системы, удовлетворяющим условию x > 0, является точка√√ 22b − 2ba b2 + 21 − a2y1 =.(1.11)2(b2 − a2 )Равновесие по Нэшу (c∗1 , c∗2 ) найдем из условий∂H1 (c1 , c2 )∂S2= 1 − S2 − c 1= 0,∂c1∂c1(1.12)∂S2∂H2 (c1 , c2 )= S 2 + c2= 0.∂c2∂c2(1.13)28Для S2 имеем1√b∫2b2 + y12ay∂S2b2 − a2 √1=1 + t2 dt −+∂c1bb30()(√)22√2a b + y11 ∂y1a ∂y1+2 − 2y1 −+.−b2 ∂a2b ∂byТак как∂a∂c1∂a= − ∂cи2∂S1∂c11= − ∂S∂c2 , приходим к соотношениюS2 (1 +c1) = 1,c2которое свидетельствует о том, что если решение системы (1.11)-(1.13) существует, то это может быть лишь при c1 = c2 .Тогда S1 = S2 =√получаем, что y1 =22 .12и a = 0, b = k.

При таких значения a и b из (1.11)И√12k∂S2=k∂c1∫ √1 + t2 dt.0Из системы (1.11)-(1.13) находим, что равновесные цены имеют видc∗1=c∗2= 0.5 k−1√12k∫ √1+t2 dt.0Равновесные цены при k = −0.5 равныc∗1 = c∗2 = 0, 5562.При этом оптимальные выигрыши игроков составят H1∗ = H2∗ = 0.2781.(1.14)291.6.

Задача о размещении на квадратеВ случае рационального поведения покупателей в модели Хотеллинга существуют равновесные цены, которые зависят от расположения фирм в городе.Возникает вопрос, существует ли равновесное расположение фирм. Введем также затраты фирм на размещение, и включим их в доходы от продажи товара.Пусть фирмы располагаются в точках (k1 , 0) и (k2 , 0), где k1 ≤ 0 ≤ k2 .

Предположим также, что c1 ≤ c2 . Очевидно, что в данной задаче стратегии игроковзаключаются только в выборе координат, а не в выборе цены на товар, как в п.3. Тогда множество всех покупателей разделится на два подмножества S1 и S2 ,с границей, определяемой уравнениемc1 +√(x − k1)2+y2= c2 +√(x − k2 )2 + y 2 ,или, после упрощений,(x − k̄)2 y 2− 2 = 1,a2bгде√c2 − c1a=, b = k02 − a2 ,2k2 + k1k2 − k1k̄ =, k0 =.22Таким образом, граница между областями S1 и S2 является гиперболой.Предположим, что затраты игроков имеют такой же вид, как в моделис расстоянием по Манхеттену. Игроки заинтересованы располагаться ближе ккрайним точкам главной диагонали, и затраты зависят от некоторого параметраγ.√γ2H1 (c1 , c2 ) = c1 S1 − (−− k1 )2 ,182√γ2H2 (c1 , c2 ) = c2 S2 − (− k2 )2 .18 2Будем менять положение k1 и k2 этих фирм, каждый раз находя равновесныецены c1 , c2 .

Они будут удовлетворять условиям30∂S1∂H1 (c1 , c2 )= 1 − S2 + c1= 0,∂c1∂c1∂S2∂H2 (c1 , c2 )= S2 − c 2= 0.∂c2∂c2Так как∂a∂c1∂a= − ∂c, то2∂S1∂c11= − ∂S∂c2 и∂S1∂c1=∂S2∂c2 .Тогда систему можно представитьв виде∂S2∂H1 (c1 , c2 )= 1 − S2 + c1= 0,∂c1∂c2∂H2 (c1 , c2 )∂S2= S 2 + c2= 0.∂c2∂c2(1.15)(1.16)Равновесие, определяемое условиями (1.15), (1.16), обусловливается положением фирм ki , i = 1, 2.

Таким образом, функции выигрыша игроков также зависят от расположения фирм. Запишем это в видеHi (k1 , k2 ) = Hi (c1 (k1 , k2 ), c2 (k1 , k2 ), ki ), i = 1, 2.Перейдем к нахождению равновесия, т. е. координат (k1∗ , k2∗ ), для которыхвыполняется условиеH1 (k1 , k2∗ ) ≤ H1 (k1∗ , k2∗ ), H2 (k1∗ , k2 ) ≤ H2 (k1∗ , k2∗ ).Симметрия задачи позволяет упростить построение равновесия.

Зафиксируем положение фирмы I k1 , и будем менять положение фирмы II, каждыйраз находя равновесные цены c1 , c2 , которые будут зависеть от k2 :H2 (k2 ) = H2 (c1 (k2 ), c2 (k2 ), k2 ).Найдем максимальный выигрыш фирмы II. Если он будет достигатьсяв точке k2 , симметричной относительно начала координат от точки k1 , этогобудет достаточно для того, чтобы точка (−k, k) была равновесием по Нэшу взадаче о размещении.

Перейдем к построению равновесия.31γФункция H2 (k2 ) в данном случае имеет вид H2 = c2 S2 − 18(√222 − k2 ) .ЗдесьS2 может быть представлена как√∫y1 ( √22 −y∫y1∫S2 = 2 dy2− y − k̄ − a2dx = 2√2k̄+a 1+ yb20√1+y2)b2dy,0где y1 есть точка пересечения границы областей S1 и S2 и стороной квадрата,т.е. определяется из системы(x − k̄)2 y 2− 2 = 1,a2b√2x+y =.2Решением системы при условии x > 0 является точка√√√2b(2−2k̄)−ab4k̄(k̄−2) + 4(b2 − a2 ) + 21y1 =.2b2 − a 2Максимум выигрыша достигается в точке, для которой выполняется условиеdH2dk2= 0.

Тогда условие максимума примет вид)γ (√2 − 2k2 − c218(∂S2 ∂c1 ∂S2−∂c2 ∂k2 ∂k2Получая выражения для производных∂c1 ∂S2∂k2 , ∂c2и)∂S2∂k2(1.17)= 0.в равновесии, неслож-но показать, что условие (1.17) для оптимальной стратегии k2 = k можно представить следующим образом:√√∫(√)2 2cγy2c2 2 − 2k . 3 − 2k 2 √k 2 + y 2 dy  = 1822(1.18)0Система из условий (1.14) и (1.18) для равновесных цен задает условие дляравновесного расположения фирм.

На графике зависимости k от γ (рисунок1.5) видно, что при изменении γ от 0 до ∞ k меняется от 0.309 до√22 .При32отсутствии предпочтения к определенному месту на квадрате фирмы стремятсярасположиться в точках k2∗ = −k1∗ = 0.309.Рис. 1.5. График зависимости k от γ1.7. Выводы к первой главеИтак, равновесие в задаче о размещении найдено в случае, когда расстояние представлено в евклидовой метрике и метрике Манхеттена, когда выигрыши фирм включают в себя затраты на размещение. Проведем сравнение полученных результатов.Пусть, например, параметр γ = 1. В модели города с расстоянием по Манхеттену, рассмотренной в п. 1.3, установлено, что фирмы должны располагаться в точках (k, k), и (1 − k, 1 − k), где k = 3/8 = 0.375, или на расстоянии√2(1/2 − 3/8) ≈ 0.176 от центра квадрата.

Во второй модели из системы (1.14),(1.18) находим, что k ≈ 0.342, т. е. фирмы должны располагаться на расстоянии 0.342 от центра квадрата, или примерно в 2 раза дальше, чем в модели срасстоянием по Манхеттену.33Глава 2Дуополия в системе обслуживания с очередями2.1. Постановка задачиРассматривается бескоалиционная игра двух лиц с ненулевой суммой, связанная с функционированием системы массового обслуживания c двумя параллельными сервисами M/M/2. Есть два конкурирующих сервера (это игроки),которые обслуживают заявки с экспоненциальным распределением времениобслуживания с параметрами µ1 и µ2 соответственно.

Заявки на обслуживание образуют пуассоновский процесс с интенсивностью λ. Предположим, чтоλ < µ1 + µ2 . Это условие вытекает из того, что если загрузка системы ρ =λµ1 +µ2больше единицы, то число ожидающих требований в системе будет возрастатьбесконечно. Далее игроки назначают цену на обслуживание и посетители выбирают услугу игрока с меньшими затратами. Подобный подход использовалсяв дуополии Хотеллинга при определении равновесных цен на рынке. При этомзатраты каждого покупателя вычислялись как цена на товар плюс транспортные расходы.

В данной модели затраты вычисляются как цена на на обслуживание плюс потери на пребывание в системе обслуживания. Таким образом,входящий поток разбивается на два пуассоновских потока с интенсивностямиλ1 и λ2 , где λ1 + λ2 = λ. Тогда выигрыши игроков можно записать как доходв единицу времени от обслуживания данного потока, который будет пропорционален назначенной цене на обслуживание. В качестве иллюстрации можнопредставить две транспортные компании в городе, которые развозят пассажиров.

Тогда µi ,i = 1, 2 зависят от количества транспортных единиц, которыеони используют. Возникает проблема, какую плату за проезд и какую интенсивность обслуживания компаниям выгодно назначать.342.2. Теоретико-игровая модель ценообразованияПусть игроки I и II обслуживают входящий поток, при этом их времяобслуживания имеет экспоненциальный вид с интенсивностями µ1 и µ2 . Игрокиназначают соответственно цены на свои услуги c1 и c2 . Тогда посетители будутвыбирать сервис с меньшими затратами, и входящий поток разобьется на двапуассоновских потока с интенсивностями λ1 и λ2 , где λ1 + λ2 = λ. При этомзатраты посетителя, воспользовавшегося i-м сервисом, будут равныci +c,µi − λii = 1, 2,здесь 1/(µi − λi ) – ожидаемое время пребывания пользователя в системе обслуживания [52], и c – его потери за единицу времени ожидания.

Без ограниченияобщности положим c = 1. Тогда интенсивности потоков λ1 и λ2 = λ − λ1 длясоответствующих сервисов можно найти из условияc1 +11= c2 +.µ1 − λ1µ2 − λ 2(2.1)Теперь можно записать выигрыши игроковH1 (c1 , c2 ) = λ1 c1 ,H2 (c1 , c2 ) = λ2 c2 .Нас будет интересовать равновесие в данной игре.Симметричная модельНачнем рассмотрение задачи с симметричного случая, когда оба сервисаодинаковые, т. е. µ1 = µ2 = µ.Теорема 2.1.

Характеристики

Список файлов диссертации