Диссертация (1150526), страница 4
Текст из файла (страница 4)
е. фирму II:c1 + 1 − l = c2 + 1 + l,откудаl=c1 − c2.218Рис. 1.1. Дуополия в метрике Манхеттена, дискретный случайФункции выигрыша для игроков I и II имеют вид11H1 (c1 , c2 ) = c1 (4 + 6l) = c1 (4 + 3c2 − 3c1 ),8811H2 (c1 , c2 ) = c2 (8 − 4 − 6l) = c2 (4 − 3c2 + 3c1 ),88Очевидно, что это вогнутые функции. Теперь можно найти равновесие по Нэшуиз условий∂H11= (4 − 6c1 + 3c2 ) = 0,∂c281∂H2= (4 + 3c1 − 6c2 ) = 0.∂c18Отсюда следует, что c∗1 = c∗2 = 43 .1.3.
Модель Хотеллинга с расстоянием по Манхеттену.Непрерывный случайТеперь перейдем к анализу общего случая. Предположим, что единичныйквадрат разбит равномерной сеткой улиц на n2 частей. Фирмы располагаются19в точках (x1 , y1 ) = (i1 /n, j1 /n) и (x2 , y2 ) = (i2 /n, j2 /n) соответственно, где 0 ≤ik , jk ≤ n, k = 1, 2. Без ограничения общности будем считать, что i1 ≤ i2 иj1 ≤ j2 .Для заданных цен c1 , c2 покупатели разобьются на два множества. Множество покупателей S1 , предпочитающих фирму I, на рисунке 1.2 и 1.3 затемнено.Теорема 1.1. В игре Γ1 =< I, II, c1 , c2 , H1 , H2 > существует ситуация равновесия по Нэшу (c∗1 , c∗2 ), которая принимает следующие значения:1.
если y2 − y1 > x2 − x1 , то равновесие имеет вид1c∗1 = (2 + y1 + y2 + x1 − x2 + x22 − x21 ),3)1(c∗2 =4 − (y1 + y2 + x1 − x2 + x22 − x21 ) ,32. если y2 − y1 < x2 − x1 , то цены в равновесии составят величину1c∗1 = (2 + x1 + x2 + y1 − y2 + y22 − y12 ),3c∗2 =)1(4 − (x1 + x2 + y1 − y2 + y22 − y12 ) ,33. если y2 − y1 = x2 − x1 , то цены в равновесии равны1c∗1 = (2 − 2y12 + (x1 + y2 )2 ),31c∗2 = (4 − y12 − (x1 + y2 )2 ),3Доказательство. Чтобы найти функцию выигрыша игрока I, нужно вычислить число покупателей, из множества S1 , или в контексте задачи, длину улиц,принадлежащих множеству S1 .Для удобства предположим, что (i2 − i1 ) + (j2 − j1 ) - нечетное число, иначе:сдвинем одну из фирм в соседнюю клетку.
Вначале рассмотрим случайy 2 − y 1 > x 2 − x1 .20Симметричный случайПредположим, что c1 = c2 . Тогда единичный квадрат разобьется на двамножества S10 и S20 с границей δ, на которой расстояния до фирм I и II одинаковы (см. рисунок 1.2). Вычислим число покупателей из множества S10 , находящихся на улицах, которые не пересекаются с границей δ. На рисунке 1.2 этозатемненная область под границей δ. Она состоит из двух множеств - прямоугольника S11 и трапеции S12 . Число покупателей в множестве S11 равноs11 = (n + 1)j1 +(j2 −j1 )−(i2 −i1 )−12n()(j2 − j1 ) − (i2 − i1 ) + 1+ j1 +,2где первое слагаемое представляет общую длину вертикальных улиц в множестве S11 , а второе - длину горизонтальных улиц.
Число покупателей в множествеS12 равно(s12 =i2 − i1i1(i1 + 1)+ (i2 − i1 )nn)1+ (i2 − i1 )(i2 − i1 − 1).nРис. 1.2. Дуополия в метрике Манхеттена, симметричный случай21Несимметричный случайТеперь рассмотрим общий случай c1 ̸= c2 . Для определенности пусть c2 >c1 . Тогда граница δ между соответствующими множествами S1 и S2 сдвинется ближе к фирме II (см. рисунок 1.3) на величину l, которая находится изравенства затрат:c2 − c1 + n1l=.2Теперь, чтобы вычислить число покупателей в множестве S1 нужно сложить число покупателей в множестве S10 с числом покупателей в полосе междуграницей множества S10 и границей δ:s13 = (n + 1)l + (i2 − i1 )l + [nl]n − i2 + i1,nгде первое слагаемое представляет общую длину всех вертикальных улиц, авторое - длину горизонтальных улиц, [nl] - целая часть числа nl.Рис.
1.3. Дуополия в метрике Манхеттена, несимметричный случай22Общая длина всех улиц на данной сетке равна 2(n + 1). Таким образом,доля покупателей из множества S1 равнаs1 =s11 + s12 + s13.2(n + 1)После упрощений находим(111i22 − i21s1 (n) =(j2 + j1 + i1 − i2 )(1 + ) −++2(n + 1)2n2nn)n − i2 + i1+(n + i2 − i1 + 1)l + [nl].n(1.1)Перейдем к пределу в выражении (1.1):s1 = lim s1 (n) =n→∞)1(y2 + y1 + x1 − x2 + x22 − x21 + 2l ,2(1.2)где l = (c2 − c1 )/2.Тогда функция выигрыша для игрока I с учетом (1.2) равна)1 (H1 (c1 , c2 ) = c1 s1 = c1 y2 + y1 + x1 − x2 + x22 − x21 + c2 − c1 .2Соответственно функция выигрыша для игрока II имеет вид)1 (H2 (c1 , c2 ) = c2 (1 − s1 ) = c2 2 − y2 − y1 − x1 + x2 − x22 + x21 − c2 + c1 .2Такой вид функции выигрыша имеют в случае y2 − y1 > x2 − x1 .Если же y2 − y1 < x2 − x1 , то поменяем аргументы местами.
Аналогичныерассуждения приводят к выводу, что тогда функции выигрыша фирм можнозаписать следующим образом:)1 (H1 (c1 , c2 ) = c1 s1 = c1 x2 + x1 + y1 − y2 + y22 − y12 + c2 − c1 ,2)1 (H2 (c1 , c2 ) = c2 (1 − s1 ) = c2 2 − x2 − x1 − y1 + y2 − y22 + y12 − c2 + c1 .2Наконец, самый простой случай, когда y2 − y1 = x2 − x1 . Тогда множестваS1 и S2 разбиваются прямой параллельной прямой y = −x и проходящей через23середину отрезка, соединяющего точки (x1 , y1 ) и (x2 , y2 ). Несложно видеть, чтофункции выигрыша игроков принимают вид)1 (H1 (c1 , c2 ) = c1 s1 = c1 (x1 + y2 )2 − y12 + c2 − c1 ,2)1 (H2 (c1 , c2 ) = c2 (1 − s1 ) = c2 2 − (x1 + y2 )2 − c2 + c1 .2Равновесие по Нэшу найдем из условий∂H1= 0,∂c1∂H2= 0.∂c2Получаем, что для случая y2 −y1 > x2 −x1 цены в равновесии составят величину1c∗1 = (2 + y1 + y2 + x1 − x2 + x22 − x21 ),3)1(4 − (y1 + y2 + x1 − x2 + x22 − x21 ) ,c∗2 =3и оптимальные значения выигрышей примут вид)21 (H1 (c∗1 , c∗2 ) =2 + y1 + y2 + x1 − x2 + x22 − x21 ,(1.3)18)21 (H2 (c∗1 , c∗2 ) =4 − (y1 + y2 + x1 − x2 + x22 − x21 ) .(1.4)18Если же имеет место условие y2 − y1 < x2 − x1 , то равновесные цены равны1c∗1 = (2 + x1 + x2 + y1 − y2 + y22 − y12 ),3)1(c∗2 =4 − (x1 + x2 + y1 − y2 + y22 − y12 ) ,3соответственно выигрыши игроков в равновесии )21 (H1 (c∗1 , c∗2 ) =2 + x1 + x2 + y1 − y2 + y22 − y12 ,18)21 (H2 (c∗1 , c∗2 ) =4 − (x1 + x2 + y1 − y2 + y22 − y12 ) .18(1.5)(1.6)Отметим, что найденные равновесные цены являются необходимыми, ноне достаточными условиями равновесия по Нэшу, поскольку, в частности, какпоказано Хотеллингом [1] и д’Аспремонтом с соавторами [10], в описанной модели нет равновесия в смысле Нэша при слишком близком расположении игроков,кроме единственного тривиального равновесия с нулевыми ценами.241.4.
Оптимальное расположение фирм, асимптотическоеповедениеИз (1.3)-(1.6) видно, что функции выигрыша игроков зависят от положения фирм в городе, поэтому представим их в виде функций Hi (x1 , x2 ; y1 , y2 ),i = 1, 2. Следующей за задачей равновесных цен возникает задача оптимального расположения фирм на единичном квадрате. Выражения (1.3)-(1.6) определяют доходы фирм при равновесных ценах на рынке. Кроме этого, важнымявляется само расположение фирм, например, рядом с железной дорогой или соскладом товаров.
Можно ввести затраты фирм на размещение в данной точкеи включить их в доходы от продажи товара.Предположим что, для одной из фирм важно находиться рядом с началомкоординат, а для другой - недалеко от правой верхней вершины квадрата. Рассмотрим симметричный случай, когда функции выигрыша игроков зависят отнекоторого параметра γ и имеют видĤ1 (x1 , y1 ; x2 , y2 ) = H1 (x1 , y1 ; x2 , y2 ) −γ(x1 + y1 )2 ,18(1.7)γ(2 − x2 − y2 )2 ,(1.8)18т. е. для фирмы I невыгодно отклоняться от точки (0, 0), а для фирмы II Ĥ2 (x1 , y1 ; x2 , y2 ) = H2 (x1 , y1 ; x2 , y2 ) −от точки (1, 1).
Симметрия задачи позволяет предположить, что равновесноерасположение фирм находится на главной диагонали квадрата.Теорема 1.2. В игре размещения Γ2 =< I, II, (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), Ĥ1 (x1 , y1 , x2 , y2 ),Ĥ2 (x1 , y1 , x2 , y2 ) >, в которой x2 = y2 = k ≥ 1/2, x1 = y1 = b ≤ 1/2 и функциивыигрыша имеют вид (1.7)-(1.8) существует ситуация равновесия по Нэшу((x∗1 , y1∗ ), (x∗2 , y2∗ )) = ((1 − k, 1 − k), (k, k)), гдеk=2γ + 3.2γ + 6Доказательство.
Предположим, что фирма II размещается на диагонали квадрата x2 = y2 = k ≥ 1/2. Будем считать, что фирма I также находится на диаго-25нали квадрата x1 = y1 = b ≤ 1/2 и первый игрок отклонился так, что x1 < y1 .Тогда его выигрыш в данной точке имеет видĤ1 (x1 , y1 ; k, k) =)21 (γ2 + y1 + x1 − x21 + k 2 − (x1 + y1 )2 .1818Найдем наилучший ответ первого игрока по x1 . Для этого вычислим)1(∂ Ĥ1=(2 + y1 + x1 − x21 + k 2 )(1 − 2x1 ) − γ(x1 + y1 ) .∂x19(1.9)Предположим, что в силу симметрии задачи производная (1.9) равна нулюв точке x1 = y1 = b = 1 − k. Подставляя в (1.9) и упрощая, для k получимвыражениеk=2γ + 3.2γ + 6(1.10)Несложно показать, что при таком k наилучший ответ первого игрока действительно достигается при x1 = 1 − k, y1 = 1 − k.
Тогда равновесным размещением фирм является расположение x1 = y1 = 1 − k,x2 = y2 = k, где kопределено в (1.10). Заметим, что при изменении γ от 0 до ∞ k меняется от1/2 до 1. Таким образом, при отсутствии предпочтения к определенному местуна квадрате, так же как в классической модели Хотеллинга, фирмы стремятсярасположиться к центру квадрата.1.5. Равновесные цены в дуополии на квадрате севклидовой метрикойВ работе [21] были найдены равновесные цены и решена задача о размещении на плоскости с евклидовой метрикой для случая, когда город был представлен в виде круга.
Рассмотрим эту задачу для рассматриваемого здесь случая,когда город представлен как единичный квадрат с равномерным распределением покупателей по его площади. При этом для удобства повернем квадрат наπ/4 и сдвинем его в начало координат (рисунок 1.4).26Рис. 1.4.
Дуополия в евклидовой метрикеВ этом городе располагаются две фирмы в точках (−k, 0) и (k, 0). Каждая из них задает свою цену на производимый товар, который один и тот жедля обеих фирм. Пусть цены будут c1 и c2 соответственно. Без ограниченияобщности будем считать, что c1 ≤ c2 . Покупатель из точки (x, y) сравниваетзатраты от посещения каждой из фирм. Расстояние до каждой из фирм обо√√значим ρ1 (x, y) = (x + k)2 + y 2 и ρ2 (x, y) = (x − k)2 + y 2 соответственно.Затраты складываются из цены на товар плюс транспортные расходы, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
