Диссертация (1150526), страница 9
Текст из файла (страница 9)
0 ... ... ... 0 ... 0 1 ... 0∆n = ... ... ... 0 ... 1a1 ... a1a1 ... a2 ... ... ...a1 ... an...a1a 1 + a2a1 + a2 + a3 ....a1 + ... + an−1..........такого вида1 ... 0 a1 a1 ...0 ... 0 a1 a2 ...... ... ... ... ... ...0 ... 1 a1 a2 ...0 ... 010...... ... ... ... ... ...0 ... 000...1 ... 000...0 ... 000...... ... ... ... ... ...0 ... 100...a1 a2 ... an 0 ... .1 00... 0Вычтем из первой строки (n + 1)-ю строку, домноженную на a1 , затем вычтем(n+2)-ю строку, домноженную на a1 , и т.д., вычтем (2n+1)-ю строку, домноженную на a1 .
Далее вычитаем из второй строки (n + 1)-ю строку, домноженную наa1 , затем вычтем (n+2)-ю строку, домноженную на a2 , и т.д., вычтем (2n+1)-юстроку, домноженную на a1 . Продолжая далее аналогичным образом получаем61определитель−a1−a1 ...−a1 1 ... 0 a1 a1 ... a1... −a11 ... 000 ...... −a20 ... 000 ......... ... ... ... ... ......... −an0 ... 100 ......00 ... 010 ............
... ... ... ... ......10 ... 000 ......a11 ... 000 ......a20 ... 000 ............ ... ... ... ... ......an0 ... 1Раскладываем определитель по−a1−a1 ...−a1 a1 a1 ... a100 ...00...00 ....1 00...0(2n + 1)-му,..., (3n)-му столбцам и получаем... −a1 1 ... 0 ... −a2 0 ... 0 ... ... ... ... ...... −an 0 ... 1 .... a1 1 ...
0 ... a2 0 ... 0 ... ... ... ... ...... an 0 ... 1 Прибавляя к первой строке (n + 1)-ю строку, ко второй строке (n + 2)-ю, и т.д.,получаем0 ...0a1a1 ...a1... 02 ...... ... ... ...... 00 ...... a1 1 ...... a2 0 ...... ... ... ...... an 0 ...0 ...a120nn(n+2) 0 = 2 (−1) ...00...1............a1a 2 − a1 =...an − an−1 62= 2n (−1)n(n+2) a1 Πn−1j=1 (aj+1 − aj ).Несложно показать, что минор размерности 2n−1+i, где i = 1, .., n−1 матрицыГессе для транспортной игры на линейном маршруте можно свести к виду 0i+1 Ei+1 Ai+1 i+1(n+5i+8)(n−2−i) ∆i = 2 (−1)Ei+1 0i+1 Ei+1 =Ai+1 Ei+1 0i+1 = 2i+1 (−1)(n+5i+8)(n−2−i)+(i+1)(i+3) Πi+1j=1 (aj ),причем степень (n + 5i + 8)(n − 2 − i) определяется четностью n + i. Тогда∆i = 2i+1 (−1)n+i (−1)(i+1)(i+3) Πi+1j=1 (aj ),а минор размерности 2n − 1 равен∆0 = 2(−1)n a1 ,что означает, что последовательность миноров, начиная с (2n−1)-ого, окаймленной матрицы Гессе образуют знакопеременный числовой ряд, в котором знакпервого члена, который соответствует i = 0, определяется множителем (−1)n .Утверждение доказано.Несимметричный случайВ несимметричном случае равновесием будет решение следующей системы(i)c1s=s−2 ∑n∑(i) λ1j (ail+1 )2l=0 j=2+l,m∑(i) −2 (al+1 )1+s = 2, ..., n,(3.11)j = 2, ..., n,(3.12)k=2,k̸=i(1)c1j+j−1∑k=1(1)ak−(i)c1j−j−1∑(i)ak = 0,i = 2, ..., m,k=1λ1s =m∑i=1(i)λ1s ,s = 2, 3, ..., n.(3.13)63Вычисления для случая m = 2, n = 4 системы (3.11)-(3.13) представлены втаблицах 3.1, 3.2, 3.4, в которых вычислены равновесные цены и представленоразбиение потоков при λ12 = 2, λ13 = 3, λ14 = 4.(1)(2)Таблица 3.1.
Значение (c12 , c12 ) при λ12 = 2, λ13 = 3, λ14 = 4µ25µ167896789(1)(2)(13,87;13,03)(4;4)(1)(2)(0,988;1,02)(1;1)(1)(2)(9,92;8,98)(2,54;2,37)(1,44;1,44)(1)(2)(0,92;1,08)(0,996;1,004)(1;1)(1)(2)(8,34;7,36)(1,95;1,71)(1,08;1)(0,735;0,735)(1)(2)(0,86;1,14)(0,98;1,02)(0.999;1,001)(1;1)(1)(2)(7,499;6,51)(1,63;1,37)(0,88;0,77)(0,596;0,55)(0,44;0,44)(1)(2)(0,8;1,2)(0,96;1,04)(0.99;1,01)(0,999;1,001)(1;1)(c12 ;c12 )(λ12 ;λ12 )(c12 ;c12 )(λ12 ;λ12 )(c12 ;c12 )(λ12 ;λ12 )(c12 ;c12 )(λ12 ;λ12 )(1)(2)Таблица 3.2. Значение (c13 , c13 ) при λ12 = 2, λ13 = 3, λ14 = 4µ25µ167896789(1)(2)(15,87;14,86)(5,12;5,12)(1)(2)(1,496;1,504)(1,5;1,5)(1)(2)(11,46;10,28)(3,39;3,14)(2,01;2,01)(1)(2)(1,48;1,52)(1,498;1,504)(1,5;1,5)(1)(2)(9,64;8,39)(2,65;2,29)(1,54;1,43)(1,08;1,08)(1)(2)(1,45;1,55)(1,49;1,51)(1.499;1,501)(1,5;1,5)(1)(2)(8,65;7,37)(2,24;1,82)(1,29;1,1)(0,89;0,82)(0,676;0,676)(1)(2)(1,42;1,58)(1,48;1,52)(1.496;1,504)(1,499;1,501)(1,5;1,5)(c13 ;c13 )(λ13 ;λ13 )(c13 ;c13 )(λ13 ;λ13 )(c13 ;c13 )(λ13 ;λ13 )(c13 ;c13 )(λ13 ;λ13 )Из результатов моделирования, представленных в таблицах, мы видим, чтос увеличением расстояния цены на билеты увеличиваются, но не линейным об-64разом.
Кроме того, увеличение интенсивности обслуживания ведет к удешевлению стоимости проезда. Также заметим, что если интенсивность обслуживанияодной из компаний больше, чем у другой, то на коротких дистанциях посетители предпочтут пользоваться услугами той компании, где цена на обслуживаниедешевле, а на более длинных дистанциях той компанией, у которой большеинтенсивность обслуживания.(1)(2)Таблица 3.3. Значение (c14 , c14 ) при λ12 = 2, λ13 = 3, λ14 = 4µ25µ1(1)698(16,23;15,17)(5,37;5,37)(1) (2)(λ14 ;λ14 )(2,16;1,84)(2;2)(c14 ;c14 )(11,78;10,51)(3,6;3,32)(2,17;2,17)(1) (2)(λ14 ;λ14 )(2,32;1,68)(2,17;1,83)(2;2)(c14 ;c14 )(9,92;8,57)(2,85;2,43)(1,69;1,55)(1,19;1,19)(1) (2)(λ14 ;λ14 )(2,47;1,53)(2,33;1,67)(2.17;1,83)(2;2)(1)87(c14 ;c14 )(1)7(2)6(2)(2)9(1)(2)(8,91;7,51)(2,42;1,94)(1,42;1,2)(0,996;0,911)(0,76;0,76)(1)(2)(2,599;1,401)(2,48;1,52)(2.33;1,67)(2,17;1,83)(2;2)(c14 ;c14 )(λ14 ;λ14 )3.6.
Конкуренция игроков на графе G3Рассмотрим конкуренцию m игроков на графе G3 , изображенном на рисунке 3.3. Пусть Γ =< N, G3 , Zi∈M , Hi∈M > – транспортная игра, где M –это множество конкурирующих транспортных компаний, которые обслуживаютпассажиров, как и раньше, с экспоненциальным распределением времени обслуживания с параметрами µi , i = 1, ..., m на графе G3 =< V, E >. V = {1, ..., n}– это множество вершин, E = {e12 , ..., e1n } - множество ребер.
Обозначим множество маршрутов игрока i как Zi = {R1i , R2i }, где каждый игрок имеет двамаршрута R1i = {1, ..k, .., n1 } и R2i = {1, .., k, n1 + 1, .., n}, i = 1, ..., m. Потокпассажиров образует пуассоновский процесс с матрицей интенсивностей Λ, где650 λ12 λ130 00Λ=0 000 00... λ1n.........0 .0 0Транспортные компании назначают цену на обслуживание ci1j , i = 1, ..., m,j = 2, ...n, и пассажиры выбирают услугу игрока с наименьшими затратами.Тогда входящий поток Λ разбивается на m пуассоновских потока с интенсивноm∑стями λ1j =λi1j , j = 2, ..., m.i=1Рис.
3.3. Конкуренция игроков на графе G3Балансовые уравнения примут вид(1)c1j+j−1∑(1)ak−(i)c1jk=1(1)c1j +k−1∑s=1a(1)s +j−1∑−j−1∑(i)ak = 0,i = 2, ..., m,j = 2, ..., n1 ,(3.14)k=1(i)a(1)s −c1j −s=n1k−1∑a(i)s −j−1∑a(i)s = 0, i = 2, ..., m, j = n1 +1, ..., n,s=n1s=1гдеa(i)s =µ(i) −1n∑,t=s+1as(i) =a(i)s =µ(i)2µ(i)2−1n1∑t=s+1−1n∑t=s+1i = 1, ..., m,(i)λ1t,i = 1, ..., m,s = k, ..., n1 − 1,,i = 1, ..., m,s = n1 , ..., n − 1,(i)λ1t(i)λ1ts = 1, ..., k − 1,(3.15)66это задержки на ребре ekk+1 . Таким образом, разделение начального маршрутана две части характеризуется разделением интенсивности обслуживания.Выигрыш i-ого игрока равен(1)(m)Hi (cZ , ..., cZ )=n∑(i) (i)c1j λ1j .j=2Построим функцию Лагранжа для игрока 1 при ограничениях (3.14).( m)nn∑∑∑(1) (1)(i)L1 =c1j λ1j +γjλ1j − λ1j +j=2+n1m ∑∑j=2((1)kjic1j +i=2 j=2+kji(1)c1j +k−1∑a(1)s +(i)j−1∑)(i)ak+k=1j−1∑(i)a(1)s − c1j −k−1∑s=n1s=1i=2 j=n1 +1(1)ak − c1j −k=1(mn∑∑j−1∑i=1a(i)s −j−1∑)a(i).ss=n1s=1Аналогичным образом можно построить функции Лагранжа для всех игроков.Необходимые условия существования экстремальной точки приводят к равенствам(i)c1s=s−2 ∑n∑l=0 j=2+l(i) λ1j (ail+1 )2+1m∑k=2,k̸=i(i)(al+1 ),−2 (i)c1s=k−2 ∑n∑(i) λ1j (ail+1 )2l=0 j=2+l++(i) λ1j (aik+l−1 )2l=1 j=k+l+m∑(i) −2 (al+1 )1k=2,k̸=in1s−k ∑∑,m∑(i)−2(ak+l−1 )1+k=2,k̸=i=k−2 ∑n∑l=0 j=2+l(i) λ1j (ail+1 )2s = k + 1, ..., n1 ,(i)c1ss = 2, ..., k,++m∑(i) −2 (al+1 )1k=2,k̸=i(3.16)67+s−n∑1n∑(i) λ1j (ain1 +l−1 )2l=1 j=n1 +l,m∑(i)(an1 +l−1 )−21+s = n1 , ..., n,k=2,k̸=i(i)для i = 1, 2, ..., m, где as определяется из (3.15).
Системой из (3.14)-(3.16)определяются равновесные цены и интенсивности потоков в транспортной игрена G3 .Таблица 3.4. Значение равновесных цен при λ12 = 2, λ13 = 3, λ14 = 3, λ15 = 4, µ2 = 9µцены789(1)(2)(1)(2)14,08;12,83 6,25;5,92(1)(2)14,64;13,28 6,67;6,29 4,33;4,33(1)(1)c12 , c12c13 , c13c14 , c14c15 , c154,69;4,282,08;1,97 1,33;1,334;45,87;5,282,9;2,741,97;1,97потоки(1)(2)0,98;1,020,99;1,011;1(1)(2)1,48;1,521,49;1,511,5;1,5(1)(2)1,66;1,341,58;1,421,5;1,5(1)(1)2,16;1,842,08;1,922;2λ12 , λ12λ13 , λ13λ14 , λ14λ15 , λ15В таблице 3.4 представлены значения равновесных цен и интенсивностейпотоков для случая конкуренции двух игроков на G3 при λ12 = 2, λ13 = 3,λ14 = 3, λ15 = 4, µ1 = 9.Из таблицы видно, что чем больше интенсивность обслуживания компании, тем меньше цену на обслуживание компания назначает.683.7.
Выводы к третьей главеИтак, сформулирована общая постановки транспортной игры, когда потокпассажиров образует пуассоновский процесс. Каждый игрок – транспортнаякомпания имеет ряд маршрутов, которые она обслуживает. На каждом маршруте компания задает цену на проезд, и пассажиры выбирают услугу игрока снаименьшими затратами, которые складываются из цены на билет плюс ожидаемое время пребывания пользователя в системе обслуживания. Рассмотренамодель пассажироперевозок, в которой исследуется конкуренции m игроков награфах.
Для линейного маршрута доказано, что найденное равновесие является не только необходимым, но и достаточным условием для определения экстремальной точки. Исследован граф, в котором происходит разделение потокапассажиров. Из результатов моделирования следует, что чем больше интенсивность обслуживания компании, тем меньше цену на обслуживание компанияназначает. Если интенсивность обслуживания одной из компаний больше, чему другой, то на коротких дистанциях посетители предпочтут пользоваться услугами той транспортной компании, у которой меньше цена на обслуживание, ана длинных дистанциях той, у которой больше интенсивность обслуживания.69Глава 4Равновесие в транспортной игре сBP R-задержками4.1. ВведениеВ предыдущей главе рассматривались транспортные игры на графах, ко∑гда задержки на ребрах графа имели вид 1/(µiR − λiR ), т.
е. ожидаемое времяRпребывания пользователя в системе обслуживания. В настоящей главе рассмотрим другой вид задержек, а именно BP R-задержки [37].Определение 4.1 BP R-функцией (Bureau of Public Road) называется функция следующего вида(Se (λe ) = te)( λe )β1+h,deв которой затраты на передвижение по ребру e зависят от потока по этом ребреλe , удельных затрат на передвижение по пустому ребру te , пропускной способности ребра de , h и β – некоторые положительные константы. Параметр β вформуле BP R-задержки показывает, что если на дороге образовалась пробка,то время, проведенной в этой пробке растет в соответствии с этим параметром.te – это время передвижения по свободному пути, когда поток по ребру равен0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
