Диссертация (1150526), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Транспортная игра на трех параллельных маршрутах снелинейной функцией задержкиРассмотрим три параллельных маршрута, которые обслуживают игрокиI, II и III. Балансовые уравнения примут вид(((( )3 )( )2 )( )3 )λ2λ3λ1= c2 + t 2 1 += c3 + t 3 1 +. (4.20)c1 + t 1 1 +d1d2d389Построим функцию Лагранжа для первого игрока при ограничениях (4.20)(((( )3 ))( )3 )λ2λ1− c 2 − t2 1 ++L1 = c1 λ1 + k1 c1 + t1 1 +d1d2(((+ k2 c1 + t1 1 +(( )3 )))3 )λ1λ33 − c3 − t3 1 ++d1d3+ γ(λ1 + λ2 + λ3 − λ).Дифференцируем∂L1= λ1 + k1 + k2 = 0,∂c1∂L132 λ1 t1= c1 +(k1 + k2 ) + γ = 0,∂λ1d31∂L13λ2 t2= − 23 (k1 ) + γ = 0,∂λ2d2∂L13λ23 t3= − 3 (k2 ) + γ = 0.∂λ3d3Составляя аналогичным образом функции Лагранжа для двух оставшихся игроков, приходим к системе, которая определяет равновесие в игре с тремя параллельными маршрутами2t1 λc1 = 3λ1 3 1 +d11d32t2 λ22+d33t3 λ23c2 =t2 λ223λ2d32c3 =(4.21)+1d31t1 λ21t3 λ233λ3d32,++d33t3 λ231d31t1 λ21+d32t2 λ22,(4.22).(4.23)Таким образом, системой уравнений (4.20)-(4.23), при условии, что λ1 +λ2 +λ3 =λ, определяются равновесные цены.90Численные примерыЕсли t1 = t2 = t3 = t, d1 = d2 = d2 = d, то из симметрии задачи следует,что решением системы будутλ,3( )3t λ∗∗∗c 1 = c2 = c2 =.6 dλ1 = λ2 = λ3 =Опять констатируем, что c увеличением конкуренции, цены в равновесии становятся меньше.Для несимметричного случая, вычисления представлены в таблице приd1 = d2 = d3 = 2.
Вычисления представлены в таблице 4.10.Таблица 4.10. Значение (c∗1 , c∗2 , c∗3 ) при λ=10, t1 = 1, d1 = d2 = d3 = 2, β = 3t2t3цены11(c∗1 ; c∗2 , c∗3 )(20,8;20,8;20,8)(λ1 ; λ2 , λ3 )(3,3;3,3;3,3)(c∗1 ; c∗2 , c∗3 )(26,4;26,4;25)(33,9;32,2;32,2)(λ1 ; λ2 , λ3 )(3,55;3,55;2,89)(3,78;3,11;3,11)(c∗1 ; c∗2 , c∗3 )(30;30;27,4)(38,9;36,9;35,6)(44,9;41,1;41,1)(λ1 ; λ2 , λ3 )(3,68;3,68;2,64)(3,91;3,24;2,85)(4,04;2,98;2,98)(c∗1 ; c∗2 , c∗3 )(32,7;32,7;29)(42,7;40,4;38,1)(49,4;45,3;44,2)(54,6;48,9;48,9)(λ1 ; λ2 , λ3 )(3,77;3,77;2,46)(4;3,32;2,68)(4,13;3,07;2,8)(4,22;2,89;2,89)2342344.5.3. Транспортная игра на m параллельных маршрутах снелинейной функцией задержкиКаждая компания назначает соответственно цену на обслуживание на своем ребре ci , i = 1, ..., m.
Поток пассажиров λ разбивается на m потока λi ,91m∑λi = λ, где λi можно найти из условийi=1(c1 + t1 1 +(λ1d1)3 )((λ2d2= c2 + t2 1 +)3 )(= ... = cm + tm 1 +(λmdm)3 ).Найдем наилучший ответ первого игрока на стратегии ci , i = 2, 3, ..., m используя, как и раньше, метод Лагранжа(((( )3 )( )3 ))m∑λ1λiL1 = c1 λ1 +ki c1 + t1 1 +− ci − ti 1 ++dd1ii=2+ γ(m∑λi − λ).i=1Дифференцируя функцию Лагранжа, находим∑∂L1= λ1 +ki = 0,∂c1i=2mm∑ki∂L12 i=2= c1 + 3λ1 t1+ γ = 0,∂λ1(d1 )3ki∂L1= −3λ2i ti+ γ = 0.∂λi(di )3Проделывая аналогичную процедуру для всех игроков, приходим к равновесному решению игры m лиц t λ2 ici = 3λi i3 + (di ),m∑ (dj )3 1j=1,j̸=itj λ2ji = 1, ..., m.(4.24)92Таблица 4.11.
Значение ci i = 1, 2, ..., 10 при λ=100, ti = i, i = 1, 2, ..., 10, β = 3dc1c2c3c4c5c6c7c8c9c1021776,11758,31749,617441739,81736,51733,71731,31729,11727,183528,9522,5519,4517,2515,4513,9512,5511,3510,15094224,5221,6219,9218,5217,4216,3215,5214,3213,4212,55116,38114,525113,26112,2111,22110,3109,42108,56107,71106,9668,5867,1866,1365,264,3263,4762,6461,8261,0160,22744,2743,1142,1741,340,4739,6538,8538,0637,2736,49Численные примерыЗначения равновесных цен и интенсивностей потоков представлены в таблицах 4.11, 4.12.Таблица 4.12. Значение λi i = 1, 2, ..., 10 при λ=1, ti = i, i = 1, 2, ..., 10, β = 3dλ1λ2λ3λ4λ52 15,81 12,69 11,14 10,15 9,443 15,8312,7λ6λ7λ88,98,468,1λ9λ107,79 7,5311,15 10,15 9,44 8,89 8,45 8,09 7,78 7,514 15,87 12,73 11,16 10,16 9,44 8,89 8,44 8,07 7,76 7,495 15,95 12,77 11,18 10,17 9,44 8,87 8,42 8,04 7,72 7,446 16,06 12,83 11,22 10,18 9,43 8,85 8,3987,66 7,377 16,21 12,92 11,27 10,21 9,43 8,83 8,34 7,93 7,56 7,27Замечание.
В случае, когда β ≥ 4 анализ проводится аналогичным образом.Мы представим только численные расчеты для случая β = 4.Транспортная игра на двух параллельных маршрутах с BP R функцией задержки при β = 4Результаты моделирования конкуренции двух транспортных компаний надвух параллельных маршрутах при λ=10, d1 = d2 = 2 представлены в таблице4.13.93Таблица 4.13. Значение (c∗1 , c∗2 ) при λ=10, d1 = d2 = 2, β = 4t1t2цены11(c∗1 ; c∗2 )(312,5;312,5)(λ1 ; λ2 )(5;5)(c∗1 ; c∗2 )(469,58,6;442,99)(625;625)(λ1 ; λ2 )(5,15;4,85)(5;5)(c∗1 ; c∗2 )(612,96;560,1)(787,2;760,5)(937,5;937,5)(λ1 ; λ2 )(5,23;4,77)(5,09;4,91)(5;5)(c∗1 ; c∗2 )(749,76;670,9)(939,2;886)(1101,8;1075,2)(1250;1250)(λ1 ; λ2 )(5,28;4,72)(5,15;4,85)(5,06;4,94)(5;5)234234Опять констатируем, что с увеличением времени, затраченным на дорогу, увеличиваются равновесные цены. Пропускная способность, сокращающаявремя пребывания в пути, уменьшает тем самым равновесные цены.
Например, если положить d = 4, то, когда t1 = t2 = 4 равновесными ценами будутc1 = c2 = 78, 125, что значительно меньше.Транспортная игра на трех параллельных маршрутах с BP R функцией задержки при β = 4Таблица 4.14. Значение (c∗1 , c∗2 , c∗3 ) при λ=10, t1 = 1, d1 = d2 = d3 = 2, β = 4t2t3цены11(c∗1 ; c∗2 , c∗3 )(46,3;46,3;46,3)(λ1 ; λ2 , λ3 )(3,3;3,3;3,3)(c∗1 ; c∗2 , c∗3 )(58,4;58,4;56,63)(74,4;72,2;72,2)(λ1 ; λ2 , λ3 )(3,5;3,5;3)(3,66;3,17;3,17)(c∗1 ; c∗2 , c∗3 )(66,3;66,3;63,1)(85,05;82,5;81)(97,6;93;93)(λ1 ; λ2 , λ3 )(3,6;3,6;2,8)(3,77;3,26;2,97)(3,86;3,07;3,07)(c∗1 ; c∗2 , c∗3 )(72,3;72,3;67,8)(98,2;90,3;38,87,5)(107,3;102,1;100,8)(118,2;111;111)(λ1 ; λ2 , λ3 )(3,66;3,66;2,68)(3,83;3,33;2,84)(3,94;3,13;2,93)(4;3;3)23423494Результат конкуренции трех игроков на трех параллельных маршрутахпредставлен в таблице 4.14, где λ=10, t1 = 1, d1 = d2 = d3 = 2.
Также, как и впредыдущих случаях, время нахождения в пути увеличивает равновесную цену,а увеличение пропускной способности снижает ее. С увеличением конкуренциисильно уменьшаются цены в равновесии.Транспортная игра на m параллельных маршрутах с BP R функциейзадержки при β = 4Рассмотрим модель конкуренции 10 игроков. Пусть λ=100, ti = i, i =1, 2, ..., 10, при d = 3, 7. Вычисления представлены в таблицах 4.15, 4.16.Таблица 4.15. Значение ci i = 1, 2, ..., 10 при λ=100, ti = i, i = 1, 2, ..., 10, β = 4dc1c2c3c4c5c6c7c8c9c1032367,22353,92346,92342,22338,62335,72333,12330,92328,8232778381,780,779,878,97877,276,375,574,6Таблица 4.16. Значение λi i = 1, 2, ..., 10 при λ=100, ti = i, i = 1, 2, ..., 10, β = 4dλ1λ2λ3λ4λ5λ6λ7λ8λ9λ10314,212,0310,910,169,629,28,868,578,338,12714,3712,121110,199,629,188,818,58,248Из результатов моделирования следует, что при увеличении пропускной способности ребра, потоки пассажиров меняются незначительно.
Теперь поменяемусловия. Пусть теперь λ=100, di = i, i = 1, 2, ..., 10, при t = 2, 3, 100. Вычисления представлены в таблицах 4.17, 4.18. Из таблиц видно, что если время tодинаковое на всех маршрутах, то его увеличение не влияет на разбиение потока.95Таблица 4.17. Значение ci i = 1, 2, ..., 10 при λ=100, di = i, i = 1, 2, ..., 10, β = 4tc1c2c3c4c5c6c7c8c9c10298,298,698,999,399,6100100,4100,8101,3101,73147,3147,8148,4148,9149,5150150,6151,3151,9152,61004911492849454963498250015021504250645087Таблица 4.18.
Значение λi i = 1, 2, ..., 10 при λ=1, di = i, i = 1, 2, ..., 10, β = 4tλ1λ2λ3λ4λ5λ6λ7λ8λ9λ1031,863,715,557,379,1810,9712,7414,4916,2117,9241,863,715,557,379„1810,9712,7414,4916,2117,921001,863,715,557,379,1810,9712,7414,4916,2117,924.6. Транспортная игра на графе ЭйлераПродемонстрируем применение предложенных выше методов на известномграфе Эйлера, изображенном на рисунке 4.4. Этот граф соответствует знаменитой задаче Эйлера о кёнигсбергских мостах. В данном параграфе мы ограничимся рассмотрением линейных задержек.Рис. 4.4.
Граф Эйлера96Рассмотрим следующую бескоалиционную игру. Три транспортных компании обслуживают пассажиров на представленном графе, причем первый игрокобслуживает два ребра e12 и e23 , второй обслуживает три ребра e13 , e32 и e34 , итретий обслуживает ребра e14 и e43 . Пассажиры хотят добраться из вершины v1в вершину v2 , v3 или v4 . Таким образом существует три потока пассажиров λ12 ,λ13 и λ14 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
