Диссертация (1150526), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Каждая транспортная компания объявляет цену на обслуживание насвоем маршруте ci1j , i = 1, 2, 3, j = 2, 3, 4, и входящий поток разобьется на подпотоки пассажиров, предпочитающих воспользоваться услугами той транспортной компании, затраты на посещение которой будут минимальны. Балансовыеуравнения примут вид(())(1)(1)(2)(2)(2)λ + λ13λ + λ13 + λ14(1)(2)c12 + t12 1 + 12= c12 + t13 1 + 12+d12d13(+ t32 1 +((3)c14 + t14 1 +(3)λ14+d14(3)λ13)(2)λ12d32)((2)= c14 + t13 1 +(+ t34 1 +(2)λ14)d32)((4.25),(2)λ12+(2)λ13+d13,()(1)(1)(1)λ+λλ(1)13c13 + t12 1 + 12+ t23 1 + 13 =d12d23)((2)(2)(2)λ + λ13 + λ14(2)c13 + t13 1 + 12=d13)()((3)(3)(3)λλ + λ14(3)= c13 + t14 1 + 13+ t43 1 + 13 ,d14d43(1)(2)λ12 + λ12 = λ12 ,(1)(2)(3)λ13 + λ13 + λ13 = λ13 ,(5)(2)λ14 + λ14 = λ14 .(2)λ14)+(4.26)(4.27)(4.28)(4.29)(4.30)97Составим функцию Лагранжа для нахождения наилучшего ответа первого игрока при ограничениях (4.25)-(4.30)((1) (1)(1) (1)((1)L1 = c12 λ12 + c13 λ13 + k1 c12 + t12 1 +(1)λ12+d12(1)λ13)−()())(2)(2)(2)(2)λ+λ+λλ(2)1314−c12 − t13 1 + 12− t32 1 + 12+d13d32(()()(1)(1)(1)+λλλ(1)13+ k2 c13 + t12 1 + 12+ t23 1 + 13 −d12d23())(2)(2)(2)λ + λ13 + λ14(2)−c13 − t13 1 + 12+d13((())(1)(1)(1)λ + λ13λ(1)+ t23 1 + 13 −+ k3 c13 + t12 1 + 12d12d23(()))(3)(3)(3)λ+λλ(3)14− t43 1 + 13+−c13 − t14 1 + 13d14d43(1)(2)(3)+ γ(λ13 + λ13 + λ13 − λ13 ).Дифференцируя функцию Лагранжа по всем параметрам, находим решение()()t12t12t13t32t13(1)(1)(1)c12 = λ12+++ λ13+−(4.31)d12 d13 d32d12 d13)( )2 ( (1)(1)t13λ12 + λ13−.t13t14t43d13++d13d14d43)(( )t23t12t12(1)(1)(1)+ λ13++(4.32)c13 = λ12d12d12 d23(1)(1)λ + λ13 + 12.d131t14t43 + t13+d14d43Теперь найдем наилучший ответ третьего игрока на стратегии конкурентов.Очевидно из симметрии, что решение имеет вид))((ttttt1334131414(3)(3)(3)+++ λ13+−c14 = λ14d14 d13 d34d14 d13(4.33)98(−(3)t13d13()2 (t14d14(3)c13 = λ14)(3)λ13t13d13(3)+ λ14t12t23d12 + d23+((3)+ λ13(3)(3)).t14t43+d14 d43)(4.34)+λ + λ14 + 13.d131t12t23 + t13+d12d23Теперь найдем ценовое равновесие для последнего второго игрока.
Функция Лагранжа имеет вид((2) (2)(2) (2)(2) (2)((2)L2 = c12 λ12 + c13 λ13 + c14 λ14 + k1 c12 + t13(+t32 1 +(2)λ12(d32)((1)− c12 − t12 1 +((2)(1)λ12(2)(2)(2)(2)λ + λ13 + λ141 + 12d13(1)λ13+d12))+))+(2)λ + λ13 + λ14(1)− c13 −+ k2+ t13 1 + 12d13()())(1)(1)(1)λ + λ13λ−t12 1 + 12− t23 1 + 13+d12d23(()(2)(2)(2)λ+λ+λ(2)1314−+ k3 c13 + t13 1 + 12d13()()(3)(3)(3)λ + λ14λ(3)−c13 − t14 1 + 13− t43 1 + 13 +d14d43(()()(2)(2)(2)(2)λλ+λ+λ(2)1314+ k4 c14 + t13 1 + 12+ t14 1 + 14 −d13d14))((3)(3)λ + λ14(3)+−c14 − t14 1 + 13d14(2)c13(1)(2)(3)+ γ(λ13 + λ13 + λ13 − λ13 ).Дифференцируя и решая относительно всех параметров, приходим к уравнениям((2)c12=(2)λ12t13t32t12++d12 d13 d32)(+(2)λ13t13t12+d12 d13)(+(2)λ14t13d13)−(4.35)99(−(+t14d14t12d12)(2)λ13((2)+(2)λ12 dt1212+t14d14+−(2)λ14 dt1414t43d43.(2)(2)(2)(2) t13c13 = (λ12 + λ13 + λ14 ) +d13)(())((2) t12(2) t12(2) t14t43t13+ d43 λ12 d12 + λ13 d12 + d13+ λ14 d14 dt1212 +t12d12c14)t12t23d12 + d23t12t23d12 + d23(4.36)t23d23)+ dt1414 + dt4343)()( )t13t13t14t34t13(2)(2)(2)+ λ13+ λ14+++= λ12d13d13d13 d14 d34()( ) λ(2) t12 + t23 + λ(2) t12 − λ(2) t1412 d1214 d14t14 13 d12 d23+t12t23t14t43d14d12 + d23 + d14 + d43+(t23d23,(4.37)(4.38)Численные примерыОчевидно, что если положить t12 = t14 , d12 = d14 , t23 = t43 , d23 = d43 ,(1)(3)(1)(3)(1)(3)(1)(3)то в равновесии c12 = c14 , λ12 = λ14 и c13 = c13 , λ13 = λ13 .
Вычисленияпредставлены в таблицах 4.19–4.20, где λ12 =20, λ13 =30, λ14 =10, t12 = t14 = 4,d12 = d14 = 2, t23 = t43 = 2, d23 = d43 = 1, t32 = t34 = 2, d32 = d34 = 1.(1)(2)Таблица 4.19. Значение (c12 , c12 ) в транспортной игре на графе Эйлераt13d13равновесие1(c12 ; c12 )67(2)(1)(2)(17,19;2,81)(17,73;2,27)(18,16;1,84)(18,51;1,49)(1)(2)(104,7;86,7)(114,2;90,6)(122,5;94,3)(129,9;97,5)(1)(2)(15,55;4,45)(16,1;3,9)(16,54;3,46)(16,93;3,07)(1)(2)(82;75)(88,6;77,8)(94,7;80,3)(100,4;82,7)(1)(2)(14,1;5,9)(14,57;5,43)(14,97;5,03)(15,33;4,67)(c12 ; c12 )(λ12 ; λ12 )45(1)(λ12 ; λ12 )24(c12 ; c12 )(λ12 ; λ12 )(135,9;101,9) (147,2;107) (156,5;111,3) (164,4;114,4)100(1)(2)Таблица 4.20. Значение (c13 , c13 ) в транспортной игре на графе Эйлераt13d13равновесие1(c13 ; c13 )67(2)(1)(2)(8,19;13,62)(8,73;12,54)(9,16;11,68)(1)(2)(86,7;94,4)(96,2;98,6)(104,5;102,3) (111,9;105,5)(1)(2)(6,55;16,9)(7,1;15,8)(7,54;14,92)(7,93;14,14)(1)(2)(64;83)(70,6;85,8)(76,7;88,3)(82,4;90,7)(1)(2)(5,1;19,8)(5,57;18,86)(5,97;18,06)(6,33;17,34)(c13 ; c13 )(λ13 ; λ13 )45(1)(λ13 ; λ13 )24(c13 ; c13 )(λ13 ; λ13 )(117,9;109,9) (129,2;115,1) (138,5;119,3) (146,4;122,7)(9,5;11)Из таблиц следует, что на величину потока больше влияет задержка в пути,чем цена обслуживания.
Например, при d13 = 1 цена на билет c213 меньше, чему конкурентов, а поток больше. При d13 = 4 цена c213 становится больше, чем уконкурентов, а поток все также остается больше.4.7. Выводы к четвертой главеИтак, равновесие найдено в задаче ценообразования, когда задержка намаршрутах имеет BP R-вид. Для линейного случая сформулированы условия,при которых транспортные компании будут конкурентоспособны. Предложенная модель распространена на граф Эйлера, и равновесие найдено в задачеценообразования в этом случае. Из результатов моделирования следует, чточем больше время задержки в пути, тем больше цена в равновесии.
Параметрβ отвечает за время прохождения пути, причем при образовании затора, время растет в соответствии со значением этого параметра. Увеличение параметраt, соответствующего времени прохождения незагруженного ребра, увеличивает цену в равновесии, но при конкуренции транспортных компаний, имеющихразные значения этого параметра, пассажиры предпочитают пользоваться наиболее быстрым сервисом. При увеличении пропускной способности d у одного101из игроков может оказаться так, что цена его сервиса в равновесии становитсябольше, чем у конкурента.102ЗаключениеВ работе представлены результаты исследования теоретико-игровых моделей массового обслуживания, относящиеся к задачам ценообразования, размещения сервисов и моделирования пассажиропотоков в равновесии.Исследована задача ценообразования и задача о размещении в дуополииХотеллинга на плоскости, когда город представлен в виде единичного квадрата. Город разбит на улицы, которые проходят параллельно осям x и y и формируют равномерную сетку.
Покупатели в городе располагаются равномерновдоль улиц, и расстояние, пройденное покупателем из точки x = (i1 , j1 ) в точку y = (i2 , j2 ) представлено в метрике Манхеттена. Найден аналитический видравновесия по Нэшу в задаче ценообразования, которое используется для определения оптимального расположения игроков. Для игры размещения построеноравновесное решение, в котором фирмы, предоставляющие на рынок товар, выбирают симметричное расположение. Для сравнения полученных результатов,равновесие в задаче ценообразования и размещения на плоскости, когда городпредставлен в виде единичного квадрата, было найдено для случая, когда затраты потребителей представлены в евклидовой метрике.
Сравнивая значениядля одинаковых параметров, получим, что в модели размещения с расстояниемпо Манхеттену фирмам выгоднее располагаться примерно в два раза ближе,чем в модели с евклидовой метрикой.Модель дуополии Хотеллинга распространена на модель рынка пассажирских перевозок, когда поток пассажиров образует пуассоновский процесс. Сначала рассмотрен случай двух игроков на маршруте, представляющим собойлинейный сегмент, на котором конкурируют транспортные компании.
Они назначают цену на проезд и пассажиры, которым необходимо добраться из однойточки отрезка в другую, разбиваются на два пуассоновских потока, тех, ктопредпочитает воспользоваться услугами первой компании и тех, кто предпочитает вторую. Затраты пассажира в такой постановке задачи складываются из103цены на товар и ожидаемого время пребывания пассажира в системе обслуживания. Найден аналитический вид равновесия в задаче ценообразования ипоказано, что оно существует. Также исследован случай, когда затраты пассажира учитывают ожидаемое время нахождения в очереди, и показано, что этоне влияет на равновесное решение.Далее в модель введен дополнительный игрок – муниципальный транспорт, который отличается от остальных тем, что у него фиксирована платаза проезд, и фиксированное количество транспортных единиц, которые он использует.
Найдено равновесие в задаче ценообразования в случае n игроков вусловии конкуренции и кооперации. В кооперативной постановке задачи характеристическая функция определяется не классическим образом. В случае образования коалиции, игроки из коалиции S играют как один игрок, а игроки, невходящие в эту коалицию находятся в равновесии с ней, т. е. в качестве стратегий используются равновесные цены.
Эти цены являются равновесием по Нэшув игре n − s + 1 лиц и значение характеристической функции есть выигрышрассматриваемого игрока или коалиции в ситуации равновесия по Нэшу. Численные расчеты показывают, что с увеличением конкуренции увеличиваетсяпоток пассажиров, предпочитающих использовать конкурирующий транспорт.Но, так как характеристическая функция супераддитивная, то равновесные цены на проезд, назначенные транспортными компаниями, которые формируюткоалицию, больше, чем если бы они конкурировали. Таким образом, игрокамвыгодно сформировать коалицию, даже если поток пассажиров, выбирающийуслуги этой коалиции будет меньше. Но тогда упадет доход, который получаетмуниципальный транспорт.Предложена общая теоретико-игровая модель ценообразования в транспортной игре, в которой потоки пассажиров образуют пуассоновский процесс,для различных видов транспортных сетей и различных типов задержки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
