Диссертация (1150526), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Заметим, что нам достаточно взять только i = m, в связи с тем, что значения ti упорядочены по возрастанию. Таким образом, доказана следующаятеорема:Теорема 4.1. Если выполнено условие (4.8), то равновесные цены имеют вид(4.6)-(4.7).Численные примерыРассмотрим конкуренцию десяти игроков, каждый из которых обслуживает свой маршрут. Значения равновесных цен и интенсивностей потоков представлены в таблицах 4.3, 4.4.79Таблица 4.3. Значение ci i = 1, 2, ..., 10 при λ=100, ti = i, i = 1, 2, ..., 10, β = 1dc1c2c3c4c5c61 47,54 42,56 40,74 39,61 38,752 24,55 21,72 20,5319,73819,01 18,39c7c8c9c1037,33 36,71 36,11 35,5317,817,23 16,68 16,143 16,89 14,77 13,79 13,07 12,43 11,85 11,28 10,7410,29,674 13,0611,310,429,759,148,588,037,496,966,445 10,769,218,47,767,176,616,075,545,024,569,237,827,066,435,855,314,774,253,733,2178,146,836,095,484,914,373,843,322,82,29Таблица 4.4.
Значение λi i = 1, 2, ..., 10 при λ=100, ti = i, i = 1, 2, ..., 10, β = 1dλ1λ2λ3λ4λ5λ6λ7λ8λ9λ101 31,31 17,65 12,04 9,06 7,22 5,97 5,07 4,39 3,86 3,432 32,34 18,01 12,13 9,01 7,09 5,78 4,84 4,12 3,57 3,123 33,37 18,37 12,22 8,96 6,95 5,594,63,85 3,272,84 34,41 18,74 12,32 8,92 6,82 5,39 4,36 3,59 2,98 2,495 35,4419,112,41 8,87 6,686 36,47 19,46 12,51 8,82 6,557 37,51 19,8212,65,24,13 3,32 2,68 2,1753,89 3,05 2,39 1,868,77 6,41 4,81 3,65 2,782,11,55Из таблиц видно, что чем больше задержка на пустой дороге игрока посравнению с конкурентами, тем ниже цена на обслуживание, которую назначает эта компания.
С ростом пропускной способности у всех игроков уменьшается цена, но поток пассажиров, предпочитающих воспользоваться услугамитранспортной компании с малыми значениями t увеличивается, а с большимизначениями этого параметра – уменьшается. Таким образом, для пассажировбольшую роль играет время нахождения в пути, чем цена.804.4.
Транспортная игра с квадратической функциейзадержкиПерейдем к рассмотрению нелинейной задержки на сегменте, состоящемиз m параллельных маршрутов, которые обслуживают игроки – транспортныекомпании, а именно β = 2.(ti( )2 )λ.1+diЗаметим, что в случае с линейной задержкой, если поток был равен пропускнойспособности, то задержка на дороге была бы в два раза больше, чем задержка напустой дороге. В случае квадратической задержки, это остается также, но еслипоток больше, чем пропускная способность, то время, пройденное по каналурастет нелинейно. Нас интересует, как именно изменится равновесие в даннойтранспортной игре.4.4.1.
Транспортная игра на двух параллельных маршрутах сквадратической функцией задержкиРассмотрим две транспортные компании, обслуживающие два параллельных маршрута. Запишем условия баланса((( )2 )( )2 )λ1λ2c1 + t1 1 += c2 + t2 1 +.d1d2(4.9)Отметим, что если задержка на канале t2 намного больше t1 при маленькомвходящем потоке, то даже если второй игрок назначит цену на обслуживаниеравную нулю, его сервисом пользоваться не будут, и, таким образом, он неучаствует в конкуренции, т.
е.(c1 + t1 1 +(λd1)2 )< t2 .Выигрыши игроков, как и раньше, имеют видH 1 = c1 λ 1 ,H2 = c2 λ2 .81Найдем наилучший ответ первого игрока на стратегию c2 второго игрока находится из условия∂H1∂λ1= λ1 + c1= 0,∂c1∂c1откудаλ1c1 = − ∂λ1 .∂c1Дифференцируем (4.9), учитывая, что λ1 + λ2 = λ()−1∂λ12t1 λ1 2t2 λ2=−+ 2.∂c1d21d2Получим, что(c1 = λ12t1 λ1 2t2 λ2+ 2d21d2).(4.10).(4.11)Для второго игрока имеем(c2 = λ22t1 λ1 2t2 λ2+ 2d21d2)Таким образом, системой уравнений (4.9)-(4.11), при условии, что λ1 + λ2 = λ,определяются равновесные цены.Численные примерыВ симметричном случае, когда t1 = t2 = t, d1 = d2 = d решением системыбудутλλ1 = λ2 = ,2( )2λc∗1 = c∗2 = t.dТаким образом, цены в равновесии пропорциональны квадрату времени на передвижение по пустой дороге.
Увеличение пропускной способности приводит кзначительному уменьшению цен.Теперь предположим, что t1 ̸= t2 , d1 = d2 = d. Вычисления представленыв таблице 4.5.82Таблица 4.5. Значение (c∗1 , c∗2 ) при λ=10, d1 = d2 = 2, β = 2t1t2цены11(c∗1 ; c∗2 )(25;25)(λ1 ; λ2 )(5;5)(c∗1 ; c∗2 )(41,62;40,95)(50;50)(λ1 ; λ2 )(5,91;4,09)(5;5)234(c∗1 ; c∗2 )2(55,08;53,74) (67,68;67,01)34(75;75)(λ1 ; λ2 )(6,42;3,58)(5,53;4,47)(5;5)(c∗1 ; c∗2 )(66,65;64,65)(83,23;81,9)(93,1;92,44) (100;100)(λ1 ; λ2 )(6,77;3,23)(5,91;4,09)(5,38;4,62)(5;5)Если положить d = 4, то, например, в случае t1 = t2 = 4 равновесными ценамибудут c1 = c2 = 25.
Таким образом, чем больше время передвижения по пустойдороге, тем выше цена, но увеличение пропускной способности d, ведущее ксокращению времени передвижения сильно уменьшает цену.4.4.2. Транспортная игра на трех параллельных маршрутах сквадратической функцией задержкиИгроки I, II и III обслуживают три параллельных маршрута. Игрокиназначают соответственно цену на своем канале и входящий поток пассажировλ разобьется на три потока λ1 , λ2 и λ3 , значения которых можно найти изуравнений баланса(((( )2 )( )2 )( )2 )λ2λ3λ1= c2 + t 2 1 += c3 + t 3 1 +, (4.12)c1 + t 1 1 +d1d2d3λ1 + λ2 + λ3 = λ.83Запишем необходимые условия для определения экстремальных точек функцииH1 при ограничениях (4.12)(((L1 = c1 λ1 + k1 c1 + t1 1 +(((+ k2 c1 + t1 1 +λ1d1λ1d1)2 )((− c 2 − t2 1 +)2 )((− c3 − t3 1 +λ3d3λ2d2)2 ))+)2 ))++ γ(λ1 + λ2 + λ3 − λ).Дифференцируя это уравнение, получим∂L1= λ1 + k1 + k2 = 0,∂c1∂L12λ1 t1= c1 + 2 (k1 + k2 ) + γ = 0,∂λ1d1∂L12λ2 t2= − 2 (k1 ) + γ = 0,∂λ2d2∂L12λ3 t3= − 2 (k2 ) + γ = 0.∂λ3d3Составляя аналогичным образом функции Лагранжа для двух оставшихся игроков, приходим к системе, которая определяет равновесие в игре с тремя параллельными маршрутами(c1 = 2λ1(c2 = 2λ2(c3 = 2λ3t1 λ1+d21t2 λ2+d22t3 λ3+d22)1d22t 2 λ2+d23t 3 λ3+d23t 3 λ31d21t 1 λ1+(4.13),(4.14).(4.15))1d21t 1 λ1,d22t 2 λ2)Таким образом, системой уравнений (4.12)-(4.15), при условии, что λ1 +λ2 +λ3 =λ, определяются равновесные цены.84Численные примерыВ симметричном случае, когда t1 = t2 = t3 = t, d1 = d2 = d2 = d решениемсистемы будутλλ1 = λ2 = λ3 = ,3( )2t λc∗1 = c∗2 = c∗2 =.3 dТаким образом, c увеличением конкуренции, как и в случае с линейным видомзадержки, цены в равновесии становятся меньше.Для несимметричного случая, вычисления представлены в таблице приd1 = d2 = d3 = 2.
Вычисления представлены в таблице 4.6.Таблица 4.6. Значение (c∗1 , c∗2 , c∗3 ) при λ=10, t1 = 1, d1 = d2 = d3 = 2, β = 2t2t3цены11(c∗1 ; c∗2 , c∗3 )(8,3;8,3;8,3)(λ1 ; λ2 , λ3 )(3,3;3,3;3,3)(c∗1 ; c∗2 , c∗3 )(10,7;10,7;9,5)(14;12,6;12,6)(λ1 ; λ2 , λ3 )(3,67;3,67;2,66)(4;3;3)(c∗1 ; c∗2 , c∗3 )(12,2;12,2;10)(16,2;14,3;13,5)(18,9;15,8;15,8)(λ1 ; λ2 , λ3 )(3,86;3,86;2,28)(4,2;3,19;2,61)(4,4;2,8;2,8)(c∗1 ; c∗2 , c∗3 )(13,3;13,3;10,2)(17,8;16;14)(20,9;17,6;16,6)(23,3;18,6;18,6)(λ1 ; λ2 , λ3 )(3,99;3,99;2,02)(4,33;3,53;2,34)(4,53;2,94;2,53)(4,66;2,67;2,67)2342344.4.3.
Транспортная игра на m параллельных маршрутах сквадратической функцией задержкиПри конкуренции m транспортных компаний на m параллельных маршруm∑тах входящий поток пассажиров λ разбивается на m потока λi ,λi = λ, гдеi=1λi можно найти из условий(((( )2 )( )2 )( )2 )λ2λmλ1= c2 + t2 1 += ...
= cm + tm 1 +.c1 + t1 1 +d1d2dm85Функция Лагранжа для нахождения наилучшего ответа первого игрока на стратегии ci , i = 2, 3, ..., m равна(((( )2 )( )2 ))m∑λ1λiL1 = c1 λ1 +ki c1 + t1 1 +− ci − ti 1 ++dd1ii=2+ γ(m∑λi − λ).i=1Запишем необходимые условия∑∂L1= λ1 +ki = 0,∂c1i=2mm∑ki∂L1i=2= c1 + 2λ1 t1+ γ = 0,∂λ1(d1 )2ki∂L1= −2λi ti+ γ = 0.∂λi(di )2Построив аналогичным образом функции Li , i = 2, ..., m приходим к равновесному решению игры m лицtλ i ici = 2λi + (di )2,m∑ (dj )2 1j=1,j̸=ii = 1, ..., m,(4.16)tj λ jЧисленные примерыВ модели с линейными задержками был рассмотрен пример для десятиигроков. Рассмотрим этот же пример конкуренции десяти игроков, но с квадратической функцией задержки. Значения равновесных цен и интенсивностейпотоков представлены в таблицах 4.7, 4.8.Заметим, что у игроков с низкой задержкой на канале, а именно для игроков с первого по четвертого, с ростом пропускной способности растет и количество пассажиров, предпочитающих воспользоваться этим сервисом.
Дляостальных игроков, увеличение пропускной способности ведет к уменьшениюпотока пассажиров.86Таблица 4.7. Значение ci i = 1, 2, ..., 10 при λ=100, ti = i, i = 1, 2, ..., 10, β = 2dc1c2c3c4c5c6c7c8c9c101 930,8 909,2 899,9 894,2 890,3 887,2 884,6 882,5 880,6 878,92 234,5 228,6 225,7 223,8 222,3221219,9 218,8 217,9 216,93 105,6 102,5 100,999,798,697,796,895,94 60,42 58,41 57,1956,255,32 54,4953,752,94 52,19 51,455 39,5436,9836,135,29 34,52 33,77 33,04 32,322625,1824,4386 28,21 26,9295,194,431,623,67 22,95 22,23 21,53 20,837 21,37 20,25 19,39 18,61 17,86 17,14 16,43 15,72 15,03 14,33Таблица 4.8. Значение λi i = 1, 2, ..., 10 при λ=1, ti = i, i = 1, 2, ..., 10, β = 2dλ1λ2λ3λ4λ5λ6λ7λ8λ9λ101 19,22 13,97 11,52 10,04 9,01 8,25 7,65 7,17 6,76 6,42219,31411,54 10,0498,23 7,63 7,14 6,73 6,383 19,44 14,08 11,58 10,0598,21 7,59 7,08 6,67 6,314 19,64 14,18 11,62 10,07 8,98 8,17 7,53 7,01 6,58 6,215 19,8914,3614,46 11,77 10,11 8,95 8,08 7,38 6,81 6,33 5,9120,211,69 10,09 8,97 8,13 7,47 6,92 6,47 6,087 20,56 14,65 11,86 10,14 8,93 8,01 7,28 6,68 6,16 5,724.5.
Транспортная игра с нелинейной функцией задержкиНа практике обычно предполагают, что коэффициент β ∈ [1, 4]. Для сравнения результатов здесь рассмотрим случаи, когда β = 3, 4. Пусть β = 3.874.5.1. Транспортная игра на двух параллельных маршрутах снелинейной функцией задержкиРассмотрим конкуренцию двух транспортных компаний. После объявления цен на рынке пассажирских перевозок распределение потока пассажировпо сервисам будет определятся из условия сбалансированных затрат((( )3 )( )3 )λ1λ2c1 + t1 1 += c2 + t2 1 +.d1d2(4.17)Зафиксируем стратегию c2 второго игрока и найдем наилучший ответ первого игрока∂H1∂λ1= λ1 + c1= 0,∂c1∂c1откудаλ1c1 = − ∂λ1 .∂c1Дифференцируем (4.17), учитывая, что λ1 + λ2 = λ)−1(∂λ13t1 λ21 3t2 λ22+ 3=−,∂c1d31d2отсюда(c1 = λ13t1 λ21 3t2 λ22+ 3d31d2).(4.18).(4.19)Для второго игрока имеем(c2 = λ23t1 λ21 3t2 λ22+ 3d31d2)Таким образом, системой уравнений (4.17)-(4.19), при условии, что λ1 + λ2 = λ,определяются равновесные цены.Численные примерыРешением системы (4.17)-(4.19) в симметричном случае, когда t1 = t2 = t,d1 = d2 = d будутλλ1 = λ2 = ,2( )3λc∗1 = c∗2 = t.d88Теперь предположим, что t1 ̸= t2 , d1 = d2 = d.
Вычисления представленыв таблице 4.9.Таблица 4.9. Значение (c∗1 , c∗2 ) при λ=10, d1 = d2 = 2, β = 3t1t2цены11(c∗1 ; c∗2 )(93,75;93,75)(λ1 ; λ2 )(5;5)(c∗1 ; c∗2 )(142,6;131,56)(187,5;187,5)(λ1 ; λ2 )(5,2;4,8)(5;5)(c∗1 ; c∗2 )(187,54;165,6)(λ1 ; λ2 )(5,31;4,69)234(c∗1 ; c∗2 )(λ1 ; λ2 )234(237,81;226,74) (281,25;281,25)(5,12;4,48)(5;5)(230,62;197,87) (285,19;263,12) (332,17;321,09) (375;375)(5,38;4,62)(5,2;4,8)(5,08;4,92)(5;5)Если положить d = 4, то, например, в случае t1 = t2 = 4 равновесными ценами будут c1 = c2 = 46, 875, что почти в два раза больше, чем равновесие вмодели с квадратическими задержками. Также отметим, что параметр β значительно увеличивает равновесные цены игроков. Он также оказывает влияниена разбиение потока пассажиров.4.5.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
