Диссертация (1150462), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Представленкритерий ограниченности решения конвективного уравнения (CBC, Convection BoundednessCriterion) для расчета одномерных течений с использованием неявных схем по времени.Дляформулировкиэтогокритерияудобноиспользоватьтакназываемуюнормализованную переменную, введенную в работе [74]:CC  CUC A  CU(3.1)Ее значения в ячейке D и на грани f соответственно равны:CD C f  CUC D  CU, Cf C A  CUC A  CU(3.2)39По данным значениям можно восстановить значение самой величины C на грани f:C f  1   f C D   f C A , где  f C f  CD1  CD(3.3)Графическое изображение разностной схемы для расчета значения на грани ячейки втерминах нормализованной переменной называется диаграммой нормализованной переменной(Normalized Variable Diagram, NVD). Она представляет собой график зависимости значениянормализованной переменной на грани f от значения нормализованной переменной в донорскойячейке D.

На рисунке 3.1 приведены изображения нескольких известных разностных схем надиаграмме нормализованной переменной.Рисунок 3.1. NVD диаграмма с изображенными на ней схемами: противопоточная первогопорядка (UD), противопоточная второго порядка (SOUD), схема QUICK, центральноразностная (CD), и схема первого порядка с дифференцированием вниз по потоку (DD)Для нормализованных переменных критерий CBC формулируется так: результатырасчетов будут локально ограниченными, если значение нормализованной переменной на гранибудет подчиняться следующим соотношениям:С  C ,при C D  0 или C D  1fD C D  C f  1, при 0  C D  1(3.4)Для явных схем критерий CBC является более жестким, и имеет вид ([74]):С  C ,при C D  0 или C D  1D f C ,D C D  C f  min 1,  , при 0  C D  1(3.5)где  – число Куранта определяемое для одномерных течений по формуле   v t  L(v – скорость течения, t – шаг по времени, L – шаг сетки).40Критерию CBC (3.4) на NVD диаграмме соответствует область, представляющая собойверхний левый треугольник над линией, соответствующей противопоточной схеме UD.

ОбластьNVD – диаграммы, соответствующая критерию CBC (3.5) для явных схем, для значения числаКуранта  =0,2, показана на рисунке 3.2 в виде серого треугольника.Чем выше значение числа Куранта, тем уже область на NVD диаграмме,соответствующая критерию CBC (3.5). При числе Куранта равном единице, толькопротивопоточная схема UD удовлетворяет критерию.Рисунок 3.2. NVD диаграмма с обозначенной на ней областью, соответствующей CBC (3.5)При расчетах двумерных и трехмерных течений в настоящей работе число Куранта,используемое в формуле (3.5) для вычисления значения нормализованной переменной на граниf, бралось равным числу Куранта донорской ячейки D (    D ).

Последнее, в свою очередь,определялось как сумма чисел Куранта, вычисленных для тех граней, поток через которыенаправлен наружу из этой ячейки, по формуле (3.6), как это предложено в работе [52]. D   max( f ,0) , где  f fv f  n f S f t(3.6)VDЗдесь VD – объем ячейки D, S f – площадь грани f, n f – нормаль к грани f, направленнаянаружу из ячейки D, v f – скорость в центре грани f, t – шаг по времени.Следует отметить, что для каждой грани f ячейка U (см. рисунок 2.2), требуемая длявычислениянормализованнойпеременной,гарантированносуществуетлишьдляструктурированных расчетных сеток.

При использовании неструктурированных расчетныхсеток (как это и делается в настоящей работе) ячейка U в общем случае не существует, ивозникает вопрос определения соответствующей нормализованной переменной. Здесь следуетзаметить, однако, что достаточно иметь определение для нормализованной переменной лишь вячейке D, по которому рассчитывается нормализованное значение на грани f, переводимое41потом по формуле (3.3) в Cf. В работе [62] было предложено модифицированное определениедля нормализованной переменной в центре ячейки D, не требующее ячейки U и пригодное длянеструктурированных сеток:CD  1 C A  CD,2C D  d(3.7)где d – вектор между центрами ячеек D и A (см.

рисунок 3.3); градиент в центре ячейкипредложено вычислять по формуле (2.23).Рисунок 3.3. К способу вычисления значения величины C в виртуальной ячейке U нанеструктурированной сеткеДля равномерных декартовых сеток выражения (3.7) и (3.2) эквивалентны. Однакоданнаяформулировканеобеспечиваетограниченностиполучаемогорешенияприиспользовании произвольных неструктурированных сеток. Для обеспечения ограниченностирешениявработе[127]предложендругойподходдляпроведениярасчетовнанеструктурированных сетках. Определение нормализованной переменной остается обычным(3.1), а значение в виртуальной ячейке U (см.

рисунок 3.3) вычисляется по следующей формуле:CU*  C A  2C D  d(3.8)Иными словами, значение в виртуальной ячейке U берется таким, чтобы центральнаяразность значений величины C в ячейках U и A дала бы значение пространственнойпроизводной вдоль линии, соединяющей центры ячеек D и A, сосчитанной в центре ячейки Dпо известному градиенту величины C. Такой способ обеспечивает второй порядокаппроксимации. Именно этот подход использовался в настоящей работе.3.1.3.

Cхема CICSAM (Compressive Interface Capturing Scheme for Arbitrary Meshes)Как было сказано ранее, для обеспечения ограниченности решения необходимо, чтобысхема аппроксимации величины на грани ячеек удовлетворяла критерию CBC. В работе [74]была предложена схема, соответствующая верхней границе критерия CBC для явных схем (3.5),то есть использующая с максимально возможным весом значение из ячейки вверх по потоку(максимально «сжимающая»), сохраняя при этом ограниченность решения. Схема была названаHYPER-C.42C fHYPERCC , D C Dmin1,,при C D  0 или C D  1(3.9)при 0  C D  1Данная схема практически полностью подавляет «размытие» межфазной границы ивообще хорошо работает в тех областях, где скорость направлена по нормали к ней. Но, как идля оригинальной схемы метода VOF [51], использование данной схемы приводит кискусственному деформированию межфазной границы в областях, где скорость направленавдоль нее [69, 74]: слишком сильное «обострение» переводит наклонный по отношению ксеточной линии фронт в ступенчатый.Напомним, что в оригинальной схеме для метода VOF предлагалось переключаться наполностью противопоточную схему первого порядка UD, когда угол между межфазнойграницей и направлением потока меньше 45о, однако, это не привело к полному избавлению отвышеназванного искривления, и результаты сильно зависели от величины предустановленногоугла переключения [69].

Также в работе [69] было показано, что противопоточная схема неявляется оптимальным вариантом для использования в случае, когда поток направлен вдоль(или почти вдоль) межфазной границы, так как тоже не обеспечивает сохранения формысвободной поверхности, вдобавок сильно размывая ее. В работе [74] представлены результатытестирования нескольких «сжимающих» схем, ограниченных в соответствии с критерием CBC.Наилучшие результаты показала схема ULTIMATE-QUICKEST (UQ), представляющая собойсхему QUICK, в которую добавлены поправка на значение числа Куранта и ограничители дляудовлетворения критерию CBC:C f UQC , D 8C  1    6C  3DDmin, C f8,HYPERC при C D  0 или C D  1при 0  C D  1(3.10)Анализируя результаты вышеназванных исследований, автор работы [127] пришел квыводу, что имеет смысл переключаться между схемой HYPER-C и «сжимающей» схемой(3.10).

При этом отдельно отмечено, что независимо от способа аппроксимации по временисхему HYPER-C следует строить, основываясь на критерии CBC в формулировке для явныхсхем (3.5) (как более жестком и включающем в себя критерий для неявных схем).В работе [126] указано, что, говоря о переключении между схемами, имеет смыслставить вопрос, не «при каком угле», а «как» проводить переключение между схемами. Этиавторы предлагают использовать плавное переключение c весовой функцией 0   f  1 ,зависящей от угла  f между нормалью к межфазной границе n , вычисленной через значение43градиента в центре ячейки D по формуле n grad C D, и вектором d  DA , соединяющимgrad C Dцентры ячеек D и A (см.

рисунок 3.4).Рисунок 3.4. Определение угла  fКогда граница раздела ориентирована по нормали к вектору DA , весовая функцияравняется единице и используется схема HYPER-C. Когда же граница раздела ориентированатак, что вектор DA направлен вдоль нее, весовая функция равняется нулю и используетсясхема UQ (3.10). Получившуюся схему авторы назвали CICSAM. Ее изображение на NVDдиаграмме приведено на рисунке 3.5.C f CICSAMf   f C f1  cos 2 f2HYPERC 1   f C f UQ.(3.11)(3.12)Рисунок 3.5.

Схема CICSAM на NVD диаграмме, при различных значениях весовой функции  f ипри числе Куранта =0,2443.1.4. Схема HRIC (High Resolution Interface Capturing scheme)Схема HRIC [91] работает в три этапа. На первом этапе нормализованное значениевеличины C на грани f рассчитывается с использование схемы, соответствующей верхнейгранице критерия критерию CBC (3.5) при  = 0,5 (см. рисунок 3.6).C , DС f *   2C D , 1,при C D  0 или C D  1при 0  C D  0,5(3.13)при 0,5  C D  1Рисунок 3.6.

NVD диаграмма схемы, применяемой на первом этапе работы схемы HRIC.На втором этапе проводится корректировка схемы с учетом расположения межфазнойграницы. Поскольку в схеме (3.13) из первого этапа для расчета значения на грани f может (приопределенных условиях) использоваться значение из ячейки вниз по потоку, такая схема можетвызыватьискусственныеискривлениямежфазнойграницы.Дляподавлениятакогоискривления на втором этапе схема (3.13) из первого этапа «смешивается» с противопоточнойсхемой с весом, зависящем от угла  f (см. рисунок 3.4).С f * *   f С f *  1   f С D , где  f cos  f(3.14)На третьем этапе производится учет значения числа Куранта. Схема корректируется сцелью привести ее в соответствие с критерием CBC (3.5).

Зависимость значения от числаКуранта является непрерывной.при   0.3 C f * *,С f  C D ,при   0.70.7  C D  C f * *  C D 0.7  0.3 , при 0.3    0.7(3.15)453.1.5. Схема M-CICSAMСхема М-CICSAM была предложена в работе [133]. Ее авторы, ссылаясь на своипредыдущие работы [131, 132], утверждают, что схема CICSAM показывает хорошиерезультаты (не искажает и не размывает контактную границу), лишь при относительно малыхзначениях числа Куранта (в разы меньше единицы), в то время как схема HRIC в меньшейстепени зависит от величины числа Куранта, но сильнее искажает контактную границу. Авторыпопытались создать схему, сочетающую в себе лучшие качества схем HRIC и CICSAM, и вформулировке которой не содержится число Куранта.За основу была взята схема (3.13), соответствующая верхней границе критерия CBC (3.5)при  = 0,5 (эта же схема положена в основу HRIC).

Характеристики

Список файлов диссертации